Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 30 Похідні тригонометричних функцій
Розглянемо похідні тригонометричних функцій. У кожній точці області визначення функції правильні такі формули:
Для доведення двох перших згадаємо першу чудову границю (див. с. 255), а саме: коли х → 0, то sin х все менше відрізняється від х, тобто
Теорема (про похідну синуса). Для кожного дійсного х (sin x)' = cos x. Доведення. Знайдемо приріст функції sin x на проміжку [x; х + ∆x]:
Тому
Якщо ∆x → 0, то й
→ 0. У цьому випадку
Відомо також, що функція cos х неперервна на R. Тому якщо
→ 0, то
Отже, для довільного х
Тобто завжди (sin x)' = cos x.
Теорема (про похідну косинуса). Для кожного дійсного х (cos x)' = - sin x.
Доведення.
Якщо ∆x → 0, то й 
→ 0, а sin (x + ) → sin x, оскільки функція sin x неперервна на R. Отже, при кожному дійсному x
Тобто (cos x)' = -sin x.
Формули похідних тангенса і котангенса можна вивести на основі теореми про похідну частки:
Отже, в кожній точці х області визначення функцій:
Перевірте себе
1. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну синуса.
2. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну косинуса.
3. Чому дорівнює похідна тангенса? А котангенса?
Виконаємо разом
1.Знайдіть похідну функції f(x) = 
∙ tg x.
Розв’язання. Скористаємося теоремою про похідну добутку:
Відповідь.
2. Обчисліть значення похідної функції у = 3sin х + 5соs х у точці х0 = 
.
Розв’язання. Скористаємося теоремою про похідну суми:
Якщо
Відповідь. -
.
3. У якій точці дотична, проведена до графіка функції f(x) = 
sin x — cos x + 5, х ∈ [0; 
], паралельна прямій у = 2х - 1?
Розв’язання. В шуканій точці кутовий коефіцієнт k дотичної дорівнює 2, бо паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти.
Крім того, кутовий коефіцієнт kдотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці х0, визначається формулою k= f'(x0). Можемо скласти рівняння f'(x ) = 2.
Знайдемо
Абсцису шуканої точки знайдемо, розв’язавши рівняння
Маємо:
або
звідси
Проміжку [0; ] належить тільки одна така точка: х0 = 
.
Тоді
Відповідь. (; 5) .
Виконайте усно
Знайдіть похідну функції (1509-1510).
1509.
1510.
1511. Знайдіть значення похідної функції у = f(х) у точці х, якщо:
1512. Чи правильно, що похідна функції у = сtg х набуває лише від’ємних значень? А функції у = соs х?
Рівень А
Знайдіть похідну функції (1513-1520).
1513.
1514.
1515.
1516.
1517.
1518.
1519.
1520.
Рівень Б
Знайдіть двома способами похідну функції (1521-1522).
1521.
1522.
Обчисліть значення похідної функції в даних точках (1523-1524).
1523.
1524.
1525. Обчисліть f'(0), f'(p), f'(
), → f'(3), якщо f(х) = х соs х.
Напишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в його точці з абсцисою х0 (1526-1527).
1526.
1527.
1528. В яких точках дотична, проведена до графіка функції у = 2sinх, паралельна прямій:
а) у = 2х - 5;
б) у = х + З?
1529. Знайдіть похідну функції:
Обчисліть (1530-1532).
1530. f'(0,5p), якщо:
a) f(х) = х2 + х + sinx;
б) f(х) = х + x2sinx.
1531. f'(n), якщо:
а) f(х) = 1 + х + cosx;
б) f(х) = х(1 + cosx).
1532. f'() , якщо:
Знайдіть похідну функції (1533-1534).
1533.
а) у = sin х соs х;
б) у = sin 2х.
1534.
а) у = соs2 х;
б) у = соs 2х.
Знайдіть похідну функції й обчисліть її значення в точці з абсцисою х0 = 
(1535-1538).
1535.
1536.
1537.
1538.
Рівень В
1539. Розв’яжіть рівняння f'(x) - g'(x), якщо:
а) f(x) = sin x cos x, g(x) = 0,5x + 5;
б) f(x) = x cos x, g(x) = sin x.
1540. Розв’яжіть нерівність f'(x) > g'(x), якщо:
а) f(x) = x + sin x, g(x) = x - cos x;
б) f(x) = sin x cos x, g(x) = 1 - 0,5x.
1541. При яких значеннях xправильна рівність у' ∙ у + у2 = 0, якщо:
а) у = 2sin x;
б) у = 3cos x;
в) у = 4tg x?
1542. При яких значеннях х правильна рівність (у')2 + у2 = 1, якщо:
а) у = 1 — sin x;
б) у = 1 — cos x;
в) у = sin x+ cos x?
1543. Напишіть рівняння такої дотичної до графіка функції у = f(х), х ∈ (0;), яка утворює з віссю абсцис кут 45°, якщо:
а) f(х) = х + 2sin x;
б) f(х) = 2х + sin x cos x.
1544. До графіка функції f(х) = sin x cos x проведено дотичні в точках із координатами (a; f(a)), а до графіка функції g(x) = 2 + sin x— у точках (a; g(a)). Знайдіть усі такі пари точок, дотичні в яких, проведені до графіків функцій f(х) і g(x), паралельні між собою. Запишіть рівняння однієї з пар таких дотичних.
1545. Якою формулою можна задати функцію у = f(х), якщо:
1546. Знайдіть функцію у = f(х), якщо:
1547. Знайдіть кут між дотичними, проведеними до графіків функцій у = sin х і у = соs х, у точці х0 = 0.
Вправи для повторення
1548. Обчисліть границі:
1549. При яких значеннях х дана функція має найменше значення:
1550. Витрати на виготовлення виробу становлять 1250 грн, а його ціна — 1750 грн. Обчисліть націнку на товар у відсотках.