Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 30 Похідні тригонометричних функцій

Розглянемо похідні тригонометричних функцій. У кожній точці області визначення функції правильні такі формули:

Для доведення двох перших згадаємо першу чудову границю (див. с. 255), а саме: коли х → 0, то sin х все менше відрізняється від х, тобто

Теорема (про похідну синуса). Для кожного дійсного х (sin x)' = cos x. Доведення. Знайдемо приріст функції sin x на проміжку [x; х + ∆x]:

Тому

Якщо ∆x → 0, то й → 0. У цьому випадку

Відомо також, що функція cos х неперервна на R. Тому якщо → 0, то

Отже, для довільного х

Тобто завжди (sin x)' = cos x.

Теорема (про похідну косинуса). Для кожного дійсного х (cos x)' = - sin x.

Доведення.

Якщо ∆x → 0, то й → 0, а sin (x + ) → sin x, оскільки функція sin x неперервна на R. Отже, при кожному дійсному x

Тобто (cos x)' = -sin x.

Формули похідних тангенса і котангенса можна вивести на основі теореми про похідну частки:

Отже, в кожній точці х області визначення функцій:

Перевірте себе

1. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну синуса.

2. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну косинуса.

3. Чому дорівнює похідна тангенса? А котангенса?

Виконаємо разом

1.Знайдіть похідну функції f(x) = ∙ tg x.

Розв’язання. Скористаємося теоремою про похідну добутку:

Відповідь.

2. Обчисліть значення похідної функції у = 3sin х + 5соs х у точці х0 = .

Розв’язання. Скористаємося теоремою про похідну суми:

Якщо

Відповідь. -.

3. У якій точці дотична, проведена до графіка функції f(x) = sin x — cos x + 5, х ∈ [0; ], паралельна прямій у = 2х - 1?

Розв’язання. В шуканій точці кутовий коефіцієнт k дотичної дорівнює 2, бо паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти.

Крім того, кутовий коефіцієнт kдотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці х0, визначається формулою k= f'(x0). Можемо скласти рівняння f'(x ) = 2.

Знайдемо

Абсцису шуканої точки знайдемо, розв’язавши рівняння

Маємо:

або

звідси

Проміжку [0; ] належить тільки одна така точка: х0 = .

Тоді

Відповідь. (; 5) .

Виконайте усно

Знайдіть похідну функції (1509-1510).

1509.

1510.

1511. Знайдіть значення похідної функції у = f(х) у точці х, якщо:

1512. Чи правильно, що похідна функції у = сtg х набуває лише від’ємних значень? А функції у = соs х?

Рівень А

Знайдіть похідну функції (1513-1520).

1513.

1514.

1515.

1516.

1517.

1518.

1519.

1520.

Рівень Б

Знайдіть двома способами похідну функції (1521-1522).

1521.

1522.

Обчисліть значення похідної функції в даних точках (1523-1524).

1523.

1524.

1525. Обчисліть f'(0), f'(p), f'(), → f'(3), якщо f(х) = х соs х.

Напишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в його точці з абсцисою х0 (1526-1527).

1526.

1527.

1528. В яких точках дотична, проведена до графіка функції у = 2sinх, паралельна прямій:

а) у = 2х - 5;

б) у = х + З?

1529. Знайдіть похідну функції:

Обчисліть (1530-1532).

1530. f'(0,5p), якщо:

a) f(х) = х2 + х + sinx;

б) f(х) = х + x2sinx.

1531. f'(n), якщо:

а) f(х) = 1 + х + cosx;

б) f(х) = х(1 + cosx).

1532. f'() , якщо:

Знайдіть похідну функції (1533-1534).

1533.

а) у = sin х соs х;

б) у = sin 2х.

1534.

а) у = соs2 х;

б) у = соs 2х.

Знайдіть похідну функції й обчисліть її значення в точці з абсцисою х0 = (1535-1538).

1535.

1536.

1537.

1538.

Рівень В

1539. Розв’яжіть рівняння f'(x) - g'(x), якщо:

а) f(x) = sin x cos x, g(x) = 0,5x + 5;

б) f(x) = x cos x, g(x) = sin x.

1540. Розв’яжіть нерівність f'(x) > g'(x), якщо:

а) f(x) = x + sin x, g(x) = x - cos x;

б) f(x) = sin x cos x, g(x) = 1 - 0,5x.

1541. При яких значеннях xправильна рівність у' ∙ у + у2 = 0, якщо:

а) у = 2sin x;

б) у = 3cos x;

в) у = 4tg x?

1542. При яких значеннях х правильна рівність (у')2 + у2 = 1, якщо:

а) у = 1 — sin x;

б) у = 1 — cos x;

в) у = sin x+ cos x?

1543. Напишіть рівняння такої дотичної до графіка функції у = f(х), х ∈ (0;), яка утворює з віссю абсцис кут 45°, якщо:

а) f(х) = х + 2sin x;

б) f(х) = 2х + sin x cos x.

1544. До графіка функції f(х) = sin x cos x проведено дотичні в точках із координатами (a; f(a)), а до графіка функції g(x) = 2 + sin x— у точках (a; g(a)). Знайдіть усі такі пари точок, дотичні в яких, проведені до графіків функцій f(х) і g(x), паралельні між собою. Запишіть рівняння однієї з пар таких дотичних.

1545. Якою формулою можна задати функцію у = f(х), якщо:

1546. Знайдіть функцію у = f(х), якщо:

1547. Знайдіть кут між дотичними, проведеними до графіків функцій у = sin х і у = соs х, у точці х0 = 0.

Вправи для повторення

1548. Обчисліть границі:

1549. При яких значеннях х дана функція має найменше значення:

1550. Витрати на виготовлення виробу становлять 1250 грн, а його ціна — 1750 грн. Обчисліть націнку на товар у відсотках.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити