Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 3 Властивості функції

Для того, щоб вивчати процеси і явища навколишнього світу, потрібно вміти досліджувати відповідні математичні моделі, зокрема і функції. Дослідити функцію — означає виявити її найважливіші властивості:

1) вказати область визначення;

2) вказати область значень;

3) з’ясувати, чи є дана функція парною або непарною;

4) знайти точку перетину графіка функції з віссю у;

5) знайти нулі функції та проміжки знакосталості;

6) визначити проміжки зростання чи спадання;

7) з’ясувати, чи має функція найбільше і найменше значення;

8) побудувати графік функції.

Область визначення і область значень. Встановлюючи область визначення функції, вказують усі значення, яких може набувати аргумент. Якщо функцію задано формулою, а про її область визначення нічого не сказано, то розуміють, що вона така сама, як і область допустимих значень змінної, яка входить до цієї формули.

Якщо функцію задано графічно, то область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функції — проекція її графіка на вісь у (мал. 15). Наприклад, область визначення функції у = х 2 — множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; + ∞).

Парність чи непарність функцій. Функцію у = f(x) називають парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(-x) = f(x).

Функцію у = f(x) називають непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(-x) = -f(x).

Існують функції ні парні, ні непарні. Це такі функції, в яких або область визначення не симетрична відносно нуля, або для яких не виконується жодна з умов f(-x) = ±f(х).

Якщо функцію задано графічно, то дослідити її на парність або непарність досить просто, оскільки графік парної функції симетричний відносно осі у (мал. 36), а непарної — відносно початку координат (мал. 37).

Мал. 36

Мал. 37

Наприклад, з функцій, заданих на R, у = х 2, у = 2 - х 2, у = |х| - 3 — парні, у = х 3, у = х 3 + х — непарні, а у = 2х + 3, у = х 2 + х — ні парні, ні непарні. Побудуйте їхні графіки та переконайтеся в цьому.

Нулі функції та проміжки знакосталості. Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Проміжки області визначення функції, на яких функція не змінює знака (тобто має тільки додатні або тільки від’ємні значення), називають проміжками знакосталості (йдеться про проміжки найбільшої довжини).

Щоб знайти нулі функції у = f(x), потрібно розв’язати рівняння f(x) = 0. Корені цього рівняння є нулями функції.

Щоб знайти проміжки знакосталості, потрібно розв’язати нерівності f(х) > 0 і f(x) < 0.

Наприклад, нулями функції f(x) = х 2 - 9 є числа 3 і -3, бо f(3) = 0 і f(-3) = 0. Функція набуває від’ємних значень, якщо х 2 - 9 < 0, тобто коли х (-3; 3).

Для знаходження проміжків знакосталості та нулів функції можна скористатися її графіком. На проміжках області визначення, де f(x) > 0, графік функції у = f(x) розташований вище осі абсцис. Графік функції у = f(х) розташований нижче осі абсцис на проміжках області визначення, де f(x) < 0.

Абсциси точок перетину графіка функції з віссю х — це нулі функції. Для прикладу розглянемо графік функції У = f(х), де х [-2; 10] (мал. 38). На проміжках (0; 3,5) і (5,5; 9) — функціянабуває лише додатних значень, а на проміжках (-2; 0), (3,5; 5,5) і (9; 10) — лише від’ємних. Нулями функції f(x) є числа 0; 3,5; 5,5 і 9.

Монотонність. Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Якщо для будь-яких x 1 і х 2 з проміжку X, таких, що х 1 < х 2, виконується нерівність f(х 1) < f(x 2), то функція f(х) — зростаюча на проміжку X.

Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

Якщо для будь-яких x 1 і х 2 з проміжку X, таких, що х 1 < х 2, виконується нерівність f(х 1) > f(х 2), то функція f(х) — спадна на проміжку X.

Якщо функція на всій області визначення зростає або на всій області визначення спадає, її називають монотонною. Якщо ж функція зростає на деякому проміжку або спадає на ньому, то говорять, що вона монотонна на даному проміжку (проміжки найбільшої довжини). Наприклад, монотонною є функція у = 2х - 3, бо вона на всій області визначення зростає (мал. 39).

Мал. 38

Мал. 39

Функція у = 2-х 2 монотонна на проміжку (-∞; 0),на якому зростає, і на проміжку (0; +∞), на якому спадає. На всій області визначення вона не монотонна (мал. 40).

Проміжок, на якому функція не змінює свого значення, називають проміжком сталості функції. Наприклад, функція у = |х - 1| + |х - 2| на проміжку (-∞; 1) спадає, на проміжку [1; 2] набуває значення у = 1, а на проміжку (2; +∞) — зростає (мал. 41). Отже, проміжок [1; 2] — проміжок сталості цієї функції.

Мал. 40

Мал. 41

Мал. 42

Найбільше і найменше значення функції. Характеризуючи властивості функції, часто відмічають також, у яких точках вона набуває найбільшого значення, а у яких — найменшого.

Найбільше (найменше) значення функції f(х) на деякому проміжку X — це саме велике (мале) серед усіх значень, яких функція f(х) набуває на цьому проміжку X.

Наприклад, найбільше значення функції у = 2 - х 2 дорівнює 2 (мал. 40), а найменше значення функції у = |х - 1| + |х - 2| дорівнює 1 (мал. 41).

Залежно від проміжку X та властивостей функції f(х) вона може мати і найбільше і найменше значення, може мати тільки одне з них, а може не мати жодного. Наприклад, функція у = 2-х 2, задана на проміжку [-1; 2], у точці х = 0 має найбільше значення 2, а в точці х = 2 — найменше значення, яке дорівнює -2 (мал. 42).

У загальному вигляді квадратична функція у = ах 2 + bх + с, визначена на R, набуває найбільшого або найменшого значення у точці, що відповідає вершині параболи. Якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору, і в абсцисі вершини параболи функція набуває найменшого значення. Якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз, і у точці, що відповідає абсцисі вершини параболи, функція набуватиме найбільшого значення. Вершина параболи має координати ; . Отже, квадратична функціяу = ах 2 + bх + с, визначена на R, має найбільше або найменше значення у точці з абсцисою х = ; і воно дорівнює у = .

Деякі з властивостей функцій досить просто з’ясувати, дивлячись на її графік. Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 43, має такі властивості.

1. Область визначення D(y) = [-2; 24].

2. Область значень Е(у) = [-2; 4].

3. Функція ні парна, ні непарна.

4. Графік функції з віссю у перетинається в одній точці — (0; 1).

5. Функція має два нулі: х 1 = 2 і х 2 = 9.

f(x) > 0, якщо х (-2; 2) (9; 24), af(x) < 0, якщо х (2;9).

6. Функція спадає на двох проміжках х (-2; 6) і х (17; 24); зростає функція на одному проміжку х (6; 17).

7. Функція має найбільше значення у = 4 при х = 17 і найменше значення у = -2 при х = 6.

Мал. 43

Функції оборотні і необоротні. Нехай задано функцію у= f(х) (мал. 44), тобто деяку відповідність між множинами D(f) і E(f). Якщо обернена відповідність q (мал. 45) є функцією, то її називають функцією, оберненою до f.

Мал. 44

Мал. 45

Функцію, яка має обернену, називають оборотною, а функцію, яка не має оберненої, — необоротною.

Функція оборотна тоді і тільки тоді, коли кожне своє значення вона набуває тільки один раз. Графічна інтерпретація: функція у = f(х) є оборотною тоді і тільки тоді, коли будь-яка пряма, що паралельна осі х, і сама вісь х перетинають графік функції не більше, ніж в одній точці. Наприклад, функція у = х 3 — оборотна, а у = х 2 — необоротна.

Якщо функція д обернена до f, то і f — обернена до q. Такі дві функції називають взаємно оберненими.

З означення оберненої функції випливає, що область визначення прямої функції f є областю значень оберненої функції q, і навпаки. Тобто:

D(f) = E(q) і D(q) = E(f).

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. На малюнку 46 зображено графіки функцій у = і у = х 2, визначені на множині [0; + ∞).

Ці функції взаємно обернені на множині [0; + ∞). їх графіки симетричні відносно прямої у = х.

Теорема (про обернену функцію). Якщо функція монотонна на деякому проміжку, то вона оборотна.

Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 39, має обернену, оскільки вона монотонна (зростаюча). А функції, графіки яких зображено на малюнках 36 і 37, — не мають обернених, оскільки на множині R вони не монотонні.

Зверніть увагу! Якщо функція у = f(х) — зростає (спадає) на деякому проміжку, то обернена до неї функція також зростає (спадає).

Щоб знайти функцію f, обернену до функції q, що задана графічно, досить побудувати графік, симетричний графіку функції q відносно прямої у = х. А як знайти функцію, обернену до функції, що задана формулою? Розглянемо конкретний приклад.

Нехай дано функцію у = 5х + 2. Якщо виразити х через у, матимемо х = . Якщо в отриманій рівності замість х написати у, а замість у написати х, дістанемо: у = . Це функція, обернена до даної. Дану функцію можна також назвати оберненою до здобутої.

Мал. 46

Хочете знати ще більше?

Властивості монотонності (зростання і спадання) є важливими характеристиками функцій, що часто використовують для розв’язування задач. Під час розв’язування рівнянь користуються такими твердженнями:

1. Якщо функції у = f(х) і у = q(х) - зростаючі (спадні) на деякому проміжку М, то функція у = f(х) + q(х) також зростаюча (спадна) на цьому проміжку М.

2. Якщо функція у = f(х) — зростаюча (спадна) на деякому проміжку М, то рівняння f(х) = а, де а — деяке число, має не більше одного кореня.

3. Якщо на деякому проміжку М функція у = f(x) — зростаюча, а у = q(x) — спадна, то на цьому проміжку рівняння f(x) = q(x) має не більше одного кореня.

На основі останнього твердження можна встановити, що рівняння = має лише один корінь х = 4, який легко знаходять випробуванням.

Перевірте себе

1. Що таке область визначення і область значень функції? Як їх знайти за допомогою графіка?

2. Що називають нулями функції? А проміжками знакосталості?

3. Які функції називають зростаючими? А спадними?

4. Чи може функція на одному проміжку спадати, а на іншому — зростати?

5. Які функції називають парними? Наведіть приклади парних функцій.

6. Які функції називають непарними? Наведіть приклади.

7. Чи правильно, що кожна функція є парною або непарною?

8. Чи існують функції, які одночасно є і парними, і непарними?

9. Які функції називають оборотними?

Виконаємо разом

1. Побудуйте графік функції у = х 2 + 4х і визначте проміжки, на яких задана функція спадає, а на яких — зростає. При якому значенні х значення даної функції найменше?

Розв’язання. Дана функція квадратична, її графік — парабола, вітки якої напрямлені вгору, а вершина має координати: х = -2 і у = -4. Знайдемо нулі функції: х 2 + 4х = 0, або х(х + 4) = 0, звідки х = 0, х = -4.

За знайденими координатами будуємо параболу (мал. 47).

Як видно з графіка, дана функція спадає на проміжку (-∞; - 2), зростає на проміжку (- 2; +∞), а найменше значення дорівнює -4, якщо х = -2.

Мал. 47

2. Парною чи непарною є функція:

Розв’язання. а) Область визначення D(y) функції у = 5х 2 + 3 — множина всіх дійсних чисел R, симетрична відносно 0. Знайдемо f(-x):

f(-x) = 5(-х) 2 + 3 = 5х 2 + 3 = f(x). Отже, функція у = 5х 2 + 3 — парна.

б) Область визначення функції у = : D(y) = (- ∞; - 1) (-1;1) (1; + ∞)є симетричною відносно 0. f(-x) = = - = -f(x). Отже, функція у = — непарна.

в) D(y) = (-∞;1) U (1; + ∞). Отже, область визначення не симетрична відносно нуля, тобто функція загального виду — ні парна, ні непарна. Хоча,якщо перетворити дану функцію, то отримаємо у = = , а функція у = х — непарна. Тому умова про симетричність області визначення відносно нуля так само важлива, як і друга умова про f(-х).

3. Доведіть, що функція f(х) = 0,5х 3 + 1 зростає на всій області визначення.

Розв’язання. Нехай х 1 < х 2. Тоді f(x 1) = 0,5х 31 + 1, а f(х 2) = 0,5х 32 + 1. Порівняємо значення f(х 2) і f(х 1). Знайдемо їхню різницю:

f(х 1) - f(х 2) = 0,5х 31 + 1 - 0,5х 32 - 1 = 0,5(х 31 - х 32) = 0,5(х 12)(х 21 + х 1х 2 + х 22).

Перший множник від’ємний за припущенням, а другий — додатний при всіх значеннях х 1 і х 2 Маємо: f(х 1) - f(х 2) < 0, тобто f(х 1) < f(х 2). Оскільки меншому значенню аргументу відповідає менше значення функції, то функція f(х) = 0,5х 3 + 1 зростає на всій області визначення.

Виконайте усно

132. Які з функцій визначені на всій числовій осі:

а) у = Зх - 5;

б) у = х 2 + 10;

в) у = х -1 + 1;

г) ?

133. Функція у = f(х) має найменше значення, що дорівнює 4. Яке найменше значення має функція:

а) у = f(х) + 5;

б) у = f(х) - 7?

134. Функція f(х) має найбільше значення в точці х = 7. У якій точці має найбільше значення функція:

а) у = f(х) - 5;

б) у = f(х) + 7?

135. Функція f(х) має найбільше значення в точці х = 7. У якій точці має найбільше значення функція:

а) у = f(х - 5);

б) у = f(х + 7)?

136. Які з функцій зростаючі, а які — спадні:

а) у = 2х + 3;

б) у = 7 - х;

в) у = ;

г) у = ?

137. На яких проміжках зростає і на яких спадає функція:

а) у = х 2;

б) у = -х 2;

в) у = 1 + х 2;

г) у = (х + З) 2?

138. Функція у = f(х) — парна. Чи буде парною функція:

а) у = -f(x);

б) у = f(x) + b;

в) у = f(x+ а), якщо ≠0?

139. Які з функцій оборотні, а які — ні:

а) у = 2х - 3;

б) у = 7 - 0,5х;

в) у = 2х 2;

г) у = ?

140. Побудуйте графік функції у = 0,5х + 3 і визначте проміжки знакосталості та нулі функції. Чи має функція найбільше та найменше значення?

141. Побудуйте графіки функцій у = 0,1х - 2 і у = 1 - 2х. Знайдіть область визначення і область значень цих функцій. Яка з цих функцій зрос­таюча, а яка — спадна?

142. Знайдіть область визначення функцій.

143. Знайдіть область визначення функцій.

144. Знайдіть область значень функції у = х + 3, заданої на проміжку:

а) [-3; 3];

б) [1; 7);

в) [0; +∞).

145. Знайдіть область значень функції у = 4 - х, заданої на проміжку:

а) [-3; 0];

б) [1; 5);

в) (-∞; 0).

146. Покажіть, що функція:

а) f(x) = 3х + 1 ні парна, ні непарна;

б) f(x) = 0; х [-3; 1];

в) у = 0, х [- 1; 1] — парна і непарна.

Спробуйте навести приклади інших функцій, які водночас є парними і непарними.

147. Доведіть, що дана функція парна:

а) у = х 2 + 3;

б) у = 4 : х 2;

в) у = -х 2 + 1;

г) у = 2 + х 4.

148. Доведіть, що дана функція непарна:

а) у = -х 3;

б) у = х + х 3;

в) у = 5х;

г) у = х 5.

149. Покажіть, що дана функція ні парна, ні непарна:

а) у = х 3 + 2;

б) у = 4х;

в) у = х 2 + 3х;

г) у = (х - З) 2.

150. Які з функцій парні, які — непарні, які — ні парні, ні непарні:

а) у = 3х;

б) у = х 3 - 1;

в) у = х 2 + 3;

г) у = х(1 - х);

ґ) у =

151. Перемалюйте графіки з малюнка 48 у зошит. Кожний із графіків до­будуйте так, щоб одержана функція була парною. Для побудованих графіків установіть:

а) нулі функції;

б) проміжки знакосталості;

в) інтервали зростання і спадання;

г) найбільше і найменше значення функції.

Мал. 48

152. Перемалюйте графіки з мал. 48 у зошит. Кожний з графіків добудуйте так, щоб одержана функція стала непарною.

Для побудованих графіків установіть: а) нулі функції; б) проміжки знакосталості; в) проміжки зростання і спадання; г) найбіль­ше і найменше значення функції.

153. Скільки нулів має функція:

а) у = х + 3;

б) у = 6х;

в) у = х 2 - 1;

г) у = х 2 - 7x?

154. Знайдіть нулі функції:

а) у = 12х - 3;

б) у = х 2 - 4;

в) у = - 5;

г) у = х 2 - 4х.

155. Запишіть проміжки знакосталості функції:

а) у = х + 3;

б) у = Зх;

в) у = х 2 - 25;

г) у = -х 2 + 9.

156. Які з функцій зростаючі, а які — спадні:

а) у = 2х;

б) у = -х - 2;

в) у = х 3;

г) у = х?

157. Побудуйте графік функції та встановіть, при яких значеннях х вона зростає, а при яких — спадає:

а) у = 5х;

б) у = -х 2 + 4;

в) у = (х + 1)(х - 1);

г) у = х 3 + 2.

158. На малюнку 49 подано графік електричного навантаження житлового будинку за одну добу взимку (залежність електроспоживання від часу доби). Встановіть:

а) проміжки спадання і зростання заданої функції; б) протягом якого часу мешканці споживають найбільшу кількість електроенергії; в) в які години електричне навантаження житлового будинку не перевищує 25 % . Дізнайтеся, що таке двотарифний лічильник, як він функціонує і за яких умов його доцільно використовувати для житлових будинків.

Мал. 49

159. Побудуйте графік функції та запишіть її властивості:

а) у = 5х - 1;

б) у = -2х;

в) у = 0,5х 2;

г) у = х 3 - 1.

160. Які з даних функцій оборотні, які — необоротні?

а) у = -х + 3;

б) у = 6х 3;

в) у = х 2 - 1;

г) у = х 2 - 7х?

161. На наслідки ураження людини електричним струмом впливає вид та частота струму, що проходить через тіло людини. На малюнку 50 зображено залежність ураження людини змінним струмом від його частоти. Використовуючи графік, установіть:

а)зростаючою чи спадною є задана функція;

б)за якої частоти небезпека ураження не перевищує 50 %;

в)яка частота змінного струму небезпечніша.

Мал. 50

162. Знайдіть область визначення і область значень функції g(x), оберненої до функції f(х), якщо:

а) D(f) = R, E(f) = [-5; 12];

б) D(f) = (1; 6), E(f) = R.

Знайдіть область визначення функції, заданої формулою (163—164).

163.

164.

165. Які з функцій парні, які — непарні, які — ні парні, ні непарні:

а) у = х 3 - х;

б) у = -х 2 + 3;

в) у = 2х(1 - х);

г) у = ;

ґ) у = 5 · х -2.

166. Функція у = f(х) — непарна. На проміжку (-∞; - 2) вона зростає, а на проміжку (-2; 0) — спадає. Якою вона є на решті області визначення?

167. Функція у = f(х) — парна. На проміжку (-∞; -3) вона спадає, а на проміжку (-3; 0) — зростає. Якою вона є на решті області визначення?

168. Намалюйте схематично графік непарної функції, яка на проміжку [-4; -2] зростає від 1 до 5, а на проміжку [-2; 0] — спадає від 5 до -1.

169. Намалюйте схематично графік парної функції, яка на проміжку [-4; -1] спадає від 3 до -3, а на проміжку [-1; 0] — зростає від -3 до 0.

170. Знайдіть нулі функції у та проміжки її знакосталості, якщо:

а) у = х 2 + 10х - 11;

б) у = х 4 - 18х 2 + 81;

в) у = 6х 4 - 5х 2 - 1;

г) у = 2х 2 + 3х - 9.

171. За яких значень х дана функція має найменше значення:

а) у= х 2 - 6х + 9;

б) у= х 2 + 4х + 7;

в) у = 4x 2 - 12x - 3;

г) у = 4x 2 - 4x + 1?

172. Знайдіть найбільше значення функції:

а) у= 3 - (х - 2) 2;

б) у= -0,25(х + 5) 2;

в) у = 6х - х 2 - 10;

г) у = -5x 2 + 4x + 1.

173. Не будуючи графіка функції у, установіть, за яких значень х вона набуває додатних значень:

а) у = 2х + 5;

б) у = 0,5x - 3;

в) у =-х + 4;

г) у = -Зх - 2;

ґ) у = х 2 - 4;

д) у = - 5;

е) у = 4x 2 - 1;

є) у = х 2 - 7х.

174. Побудуйте графік функції та встановіть, за яких значень х вона зрос­тає або спадає:

а) у = 5х;

б) у = -х 2 + 4;

в) у =(х + 1)(1- х);

г) у =х 3 + 2;

ґ) у = х 2- 3;

д) у = 4 : х 2;

е) у = ;

є) у = х 2 + Зх.

Мал. 51

175. Задайте формулою функцію, що виражає за­лежність площі зафарбованого квадрата від: а) радіуса вирізаного круга (мал. 51, а); б) діа­гоналі квадрата (мал. 51,б). Для кожної функції укажіть область визначення та область значень. Установіть, зростаючою чи спадною є кожна з цих функцій.

176. Доведіть, що функція:

а) у = 3х + 5 зростає на R;

б) у = 1 — спадає на [0; +∞);

в) у = -х спадає на R;

г) у = 2х 2 зростає на [0; +∞).

177. На малюнку 52 зображено графік функції у = f(х). Знайдіть: а) область визначення і область значень функції; б) нулі функції; в) проміжки знакосталості; г) проміжки, на яких функція зростає; ґ) проміжки, на яких функція спадає; д) най­більше і найменше значення функції. Побудуйте графік функції у = -f(х). Порівняйте властивості функцій у = f(х) і у = - f(х).

Мал. 52

178. Виведіть формулу, яка задає функцію g(x), обернену до функції f(х):

a) f(x) = 2х - 5;

б) f(х) = 3 - 5х;

в) f(x) = х 3 - 3;

г) f(x) = + 5.

179. Задайте функцію, обернену до даної, та побудуйте її графік:

a) f(x) = 4х - 3;

б) f(x) = 4 - х;

в) f(х) = +1.

180. Побудуйте графік функції та запишіть її властивості:

а) у = |х 2 - 2х - 8|;

б) y = х 2 - 4|х| + 3;

в) y = ;

г) у = ||х| - 1|.

181. Установіть відповідність між функціями (1-4) та їх властивостями (А-Д).

1.

у = х 2 - 4х + 1

А

E(y)=(-∞; 2]

2.

у = 2 —

Б

Парна

3.

y =

В

D(y) = ( 2; +∞)

4.

y =

Г

Найменше значення дорівнює -3


Д

Зростає на R

Рівень В

182. Знайдіть:

а) найбільше значення функції у = ;

б) найменше значення функції у = .

183. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = |3 - |х|| на від­різку [-2; 5].

184. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = х 2 - 4|х| на від­різку [-1; 3].

185. Задайте функцію, обернену до даної, та побудуйте їх графіки:

186. За якого значення параметра а найменше значення функції у = х 2 - 4ах + а дорівнює За?

187. За якого значення параметра а:

а)найменше значення функції f(x) = х 2 - 2ах + 3 належить проміжку[-5; 1];

б)найбільше значення функції f(x) = -2х 2 - 4х + а належить проміж­ку (-3; 10)?

188. Відомо, що функція у = f(x), визначена на множині всіх дійсних чисел, має нулі в точках -2 та 5, зростає на проміжках х (-∞; - 4] і [3; +∞]та спадає на проміжку [-4; 3]. Знайдіть проміжки зростання та спа­дання функції:

а) у = f(x - 4);

б) у = -f(x);

в) y = lf(x)l;

г) y = f(|x|).

189. Відомо, що функція у = f(x), визначена на множині всіх дійсних чисел, має нулі в точках -5 та 4 і f(x) > 0 при х (-∞; -5) ⋃ (4; +∞). Знайдіть нулі та проміжки знакосталості функції:

а) у = f(x + 3);

б) у = -2f(х);

в) y = |f(x)|;

г) y = f(|x|).

190. При яких значеннях параметра а має один нуль функція:

а) у = х 2 + (За +1)х + 2а 2 + За - 2;

б) у = (а + 1)х 2 - 3ах + 4а?

191. При яких значеннях параметра а всі нулі функції додатні:

а) у = х 2 + 2(2а - 1)х + За 2 - 8а - 3;

б) у = ах 2 - (2 + 3а)х + 6?

192. За якого значення параметра с функція у = 2х 2 - сх + 5с спадає на проміжку (-∞; 2]?

193. За якого значення параметра а функція у = ах 2 + (а + 1)х + 1 зростає на проміжку [-1; +∞)?

Розв’яжіть рівняння (194-195).

194.

а) = 4 - х 2;

б) 2(х-3) 3 = 5 - .

195.

a) - 1 = -х 2 - 4х - 5;

б) |х + 1| + |х - 3| = х 2 - 2х + 5.

196. Доведіть, що спільні точки графіків зростаючих взаємно обернених функцій лежать на прямій у = х.

197. Якщо функції f(x) і g(x) зростаючі і взаємно обернені, то рівнян­ня f(x) = g(x) рівносильно кожному з рівнянь f(x) = х або g(x) = x. Доведіть.

198. Розв’яжіть рівняння.

а) 2 = + 1;

б) (х-2) 2 = +2 при х ≥ 2.

199. При яких значеннях параметра а графіки функцій f(x) і g(x) мають єдину спільну точку:

а) f(х) = 3-|х| і g(x) = х 2 + а;

б) f(x) = а - (х - 2) 2 = |х - 2| -З?

200. При яких значенняg(xх параметра а має єдиний корінь рівняння:

а) 2х 2 + а|х| = а 2 - 4;

б) (2а - 1) 2|х| - 3ах 2 + 1 = а 2?

Вправи для повторення

201. Розв’яжіть систему рівнянь:

202. Які значення змінних задовольняють пропорцію:

а) (х + 1) : 2 = 4 : (х - 1);

б) (х - 4) : 3 = 3 : (х + 4)?

203. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

а) х 2 - 5х + 6;

б) 9а 2 + За - 2;

в) 2х 2 - 12х + 16;

г) 2х 2 + 5х - 3.

204. Порівняйте значення виразів:

а) З і 2 ;

б) -5 і -2 ;

в) 0,2 і 0,1 .






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити