Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 31 Похідна складеної функції

Досі розглядались похідні функцій, аргументами яких є змінна х, наприклад у = хn, у = sin х. А як знаходити похідні функцій у = (2х + 1)10,

Кожну з них можна розглянути як функцію у = f(u), деu = h(х), тобто у = f(h(х)). Таку функцію називають складеною, а функції u = h(х) і f(u) — відповідно внутрішньою і зовнішньою функціями.

Розглядаючи у функції у = f(u) змінну u як аргумент, можна знайти і похідну цієї функції по u. Її ми позначатимемо знаком у'u. Похідні функцій по х, як і раніше, позначатимемо символами у', u'.

Теорема (про похідну складеної функції). Нехай дано функцію у = f(u), де и = h(х). Якщо в якійсь точці х існує похідна u' і у відповідній точці u існує похідна у'u, то існує також похідна у', причому у' = у'u ∙ u'.

Строге доведення цієї теореми важке, тому обмежимося тільки його схемою. Похідна у' дорівнює границі відношення , коли ∆х → 0. Вважаючи, що ∆u ≠ 0, помножимо чисельник і знаменник цього відношення на ∆u:

Якщо ∆х→ 0, то і ∆u→ 0, бо йдеться про функцію u = h(х), диференційовну в точці х, а отже — неперервну. Тому якщо ∆х → 0, то

і з рівності (*) випливає доводжувана рівність у' = у'u ∙ u

Досі йшлося про похідну у' в якійсь фіксованій точці х. Якщо ж дана складена функція у = f(h(х)) диференційовна в кожній точці х деякого проміжку, то рівність у' = у'u ∙ u' справджується для всього проміжку. Отже, користуючись цією рівністю, можна знаходити похідну даної функції і як функцію, задану на цьому проміжку.

Приклад. Знайдемо похідну функції у = (2х + 1)10. Це функція у = u10, де u - 2х + 1. Ці функції диференційовні на R, у'u =10u9, u' = 2.

Отже, у = 10u9∙ 2 = 20u9 = 20(2х + 1)9.

Не обов’язково, розв’язуючи такі вправи, вводити змінну и. Її можна тільки уявляти і відразу писати, наприклад:

Нерідко буває, що похідною даної функції у = f(х) є деяка функція від того самого аргументу х: у' = φ(х). Її також можна диференціювати: знаходити похідну від похідної. У цьому випадку кажуть про знаходження похідної другого порядку. Похідну від функції другого порядку називають похідною третього порядку.

Для прикладу розглянемо функцію у = х4 + 2х2 + 1. Знайдемо похідну цієї функції та похідні утворених функцій і запишемо відповідні назви:

у' = (х4 + 2х2 + 1)' = 4х3 + 4х = у' — похідна першого порядку;

(у')' = (4х3 + 4х)' = 12х2 + 4 = у" — похідна другого порядку;

(у»)' = (12х2 + 4)' = 24х = у'"— похідна третього порядку;

(у"')’ = (24х)' = 24 = у(4) — похідна четвертого порядку;

(4))' = (24)' = 0 = у(5) — похідна п’ятого порядку.

Зрозуміло, що всі похідні наступних порядків у(n)(n > 5) функції у = х4 + 2х2 + 1 також дорівнюють нулю.

Похідні другого і вищих порядків використовуються для дослідження функцій різної природи. Про це ви дізнаєтеся у наступних параграфах.

Перевірте себе

1. Яку функцію називають складеною? Наведіть приклади.

2. Як знаходять похідну складеної функції? Наведіть приклади.

3. Як позначають похідну другого порядку? А третього?

4. Як знайти похідну другого порядку? А третього?

Виконаємо разом

1. Знайдіть f(g(х)), якщо f(х) = , g(x) = sin х.

Розв’язання. За умовою f(х) = — зовнішня функція, а g(х) = sin х — внутрішня. Отже, аргументом зовнішньої функції має стати функція g(х) = sin х, тобто замість х у виразі слід записати sinх. Маємо: f(g(х)) = .

2. Виведіть формулу для обчислення похідної функції у = .

Розв’язання. З даної рівності маємо: u= у2, u' = 2у ∙ у', звідси

Зокрема, якщо u= х, то u' = 1. Отже,

3.Знайдіть значення похідної функції

у точці х0 = 1.

Розв’язання.

Якщо Х0 = 1, то у'(х0) = у'( 1) = 1,5.

4. Знайдіть у», якщо у = cos(x2- 1). Розв’язання.

Виконайте усно

1551. Знайдіть f(g(x)), якщо:

1552. Знайдіть f(x) і g(x), якщо:

Знайдіть похідну функції (1553-1554).

1553.

1554.

Знайдіть другу похідну функції (1555-1556).

1555.

1556.

Рівень А

Знайдіть f(g(x)), якщо відомі функції f(x) і g(x) (1557-1558).

1557.

1558.

За відомою функцією у = f(g(x)) знайдіть f(x) і g(x) (1559-1560).

1559.

1560.

Знайдіть похідну функції (1561-1566).

1561.

1562.

1563.

1564.

1565.

1566.

1567. Обчисліть значення похідної функції у точці х0 =.

1568. Обчисліть значення похідної функції у точці х0.

Рівень Б

Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0 (1569-1570).

1569.

1570.

Спростіть формулу, що задає функцію, і знайдіть її похідну (1571-1573).

1571.

1572.

1573.

Знайдіть f''(х) (1574-1577).

1574.

1575.

1576.

1577.

Знайдіть похідну функції (1578-1580).

1578.

1579.

1580.

Рівень В

1581. Обчисліть значення похідної функції у точці x0= 0.

1582. Обчисліть значення похідної функції у точці x0.

Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою x0 (1583-1584).

1583.

1584.

1585. Знайдіть площу трикутника, утвореного координатними осями і дотичною, проведеною до графіка функції у = cos3х - 3cos x sin2х у точці з абсцисою х0 = .

1586. Знайдіть площу трикутника, утвореного бісектрисами координатних кутів і дотичною, проведеною до графіка функції у =2 у точці з абсцисою x0= 3.

1587. Доведіть, що графіки функцій

і

у точці перетину мають спільну дотичну. Напишіть її рівняння.

1588. Дотична, проведена до графіка функції

у точці з абсцисою х0 = -3, має вигляд 3х + bу = а. Знайдіть а і b.

1589. Знайдіть другу похідну функції:

1590. Знайдіть похідну четвертого порядку функції:

а) у = x sin x;

б) у = x cos x.

1591. Виведіть формули для знаходження похідної n-го порядку для функції:

а) у = sin х;

б) у = соs х;

в) у = (х + 1)-1.

Вправи для повторення

1592. Побудуйте графік функції:

1593. Знайдіть період функції:

1594. Розв’яжіть систему рівнянь:

«Математика віддає свої фортеці лише сильним і сміливим».

А. Г. Конфорович






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити