Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 31 Похідна складеної функції
Досі розглядались похідні функцій, аргументами яких є змінна х, наприклад у = хn, у = sin х. А як знаходити похідні функцій у = (2х + 1)10,
Кожну з них можна розглянути як функцію у = f(u), деu = h(х), тобто у = f(h(х)). Таку функцію називають складеною, а функції u = h(х) і f(u) — відповідно внутрішньою і зовнішньою функціями.
Розглядаючи у функції у = f(u) змінну u як аргумент, можна знайти і похідну цієї функції по u. Її ми позначатимемо знаком у'u. Похідні функцій по х, як і раніше, позначатимемо символами у', u'.
Теорема (про похідну складеної функції). Нехай дано функцію у = f(u), де и = h(х). Якщо в якійсь точці х існує похідна u' і у відповідній точці u існує похідна у'u, то існує також похідна у', причому у' = у'u ∙ u'.
Строге доведення цієї теореми важке, тому обмежимося тільки його схемою. Похідна у' дорівнює границі відношення , коли ∆х → 0. Вважаючи, що ∆u ≠ 0, помножимо чисельник і знаменник цього відношення на ∆u:
Якщо ∆х→ 0, то і ∆u→ 0, бо йдеться про функцію u = h(х), диференційовну в точці х, а отже — неперервну. Тому якщо ∆х → 0, то
і з рівності (*) випливає доводжувана рівність у' = у'u ∙ u
Досі йшлося про похідну у' в якійсь фіксованій точці х. Якщо ж дана складена функція у = f(h(х)) диференційовна в кожній точці х деякого проміжку, то рівність у' = у'u ∙ u' справджується для всього проміжку. Отже, користуючись цією рівністю, можна знаходити похідну даної функції і як функцію, задану на цьому проміжку.
Приклад. Знайдемо похідну функції у = (2х + 1)10. Це функція у = u10, де u - 2х + 1. Ці функції диференційовні на R, у'u =10u9, u' = 2.
Отже, у = 10u9∙ 2 = 20u9 = 20(2х + 1)9.
Не обов’язково, розв’язуючи такі вправи, вводити змінну и. Її можна тільки уявляти і відразу писати, наприклад:
Нерідко буває, що похідною даної функції у = f(х) є деяка функція від того самого аргументу х: у' = φ(х). Її також можна диференціювати: знаходити похідну від похідної. У цьому випадку кажуть про знаходження похідної другого порядку. Похідну від функції другого порядку називають похідною третього порядку.
Для прикладу розглянемо функцію у = х4 + 2х2 + 1. Знайдемо похідну цієї функції та похідні утворених функцій і запишемо відповідні назви:
у' = (х4 + 2х2 + 1)' = 4х3 + 4х = у' — похідна першого порядку;
(у')' = (4х3 + 4х)' = 12х2 + 4 = у" — похідна другого порядку;
(у»)' = (12х2 + 4)' = 24х = у'"— похідна третього порядку;
(у"')’ = (24х)' = 24 = у(4) — похідна четвертого порядку;
(у(4))' = (24)' = 0 = у(5) — похідна п’ятого порядку.
Зрозуміло, що всі похідні наступних порядків у(n)(n > 5) функції у = х4 + 2х2 + 1 також дорівнюють нулю.
Похідні другого і вищих порядків використовуються для дослідження функцій різної природи. Про це ви дізнаєтеся у наступних параграфах.
Перевірте себе
1. Яку функцію називають складеною? Наведіть приклади.
2. Як знаходять похідну складеної функції? Наведіть приклади.
3. Як позначають похідну другого порядку? А третього?
4. Як знайти похідну другого порядку? А третього?
Виконаємо разом
1. Знайдіть f(g(х)), якщо f(х) = , g(x) = sin х.
Розв’язання. За умовою f(х) = — зовнішня функція, а g(х) = sin х — внутрішня. Отже, аргументом зовнішньої функції має стати функція g(х) = sin х, тобто замість х у виразі
слід записати sinх. Маємо: f(g(х)) =
.
2. Виведіть формулу для обчислення похідної функції у = .
Розв’язання. З даної рівності маємо: u= у2, u' = 2у ∙ у', звідси
Зокрема, якщо u= х, то u' = 1. Отже,
3.Знайдіть значення похідної функції
у точці х0 = 1.
Розв’язання.
Якщо Х0 = 1, то у'(х0) = у'( 1) = 1,5.
4. Знайдіть у», якщо у = cos(x2- 1). Розв’язання.
Виконайте усно
1551. Знайдіть f(g(x)), якщо:
1552. Знайдіть f(x) і g(x), якщо:
Знайдіть похідну функції (1553-1554).
1553.
1554.
Знайдіть другу похідну функції (1555-1556).
1555.
1556.
Рівень А
Знайдіть f(g(x)), якщо відомі функції f(x) і g(x) (1557-1558).
1557.
1558.
За відомою функцією у = f(g(x)) знайдіть f(x) і g(x) (1559-1560).
1559.
1560.
Знайдіть похідну функції (1561-1566).
1561.
1562.
1563.
1564.
1565.
1566.
1567. Обчисліть значення похідної функції у точці х0 =.
1568. Обчисліть значення похідної функції у точці х0.
Рівень Б
Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0 (1569-1570).
1569.
1570.
Спростіть формулу, що задає функцію, і знайдіть її похідну (1571-1573).
1571.
1572.
1573.
Знайдіть f''(х) (1574-1577).
1574.
1575.
1576.
1577.
Знайдіть похідну функції (1578-1580).
1578.
1579.
1580.
Рівень В
1581. Обчисліть значення похідної функції у точці x0= 0.
1582. Обчисліть значення похідної функції у точці x0.
Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою x0 (1583-1584).
1583.
1584.
1585. Знайдіть площу трикутника, утвореного координатними осями і дотичною, проведеною до графіка функції у = cos3х - 3cos x sin2х у точці з абсцисою х0 = .
1586. Знайдіть площу трикутника, утвореного бісектрисами координатних кутів і дотичною, проведеною до графіка функції у =2 у точці з абсцисою x0= 3.
1587. Доведіть, що графіки функцій
і
у точці перетину мають спільну дотичну. Напишіть її рівняння.
1588. Дотична, проведена до графіка функції
у точці з абсцисою х0 = -3, має вигляд 3х + bу = а. Знайдіть а і b.
1589. Знайдіть другу похідну функції:
1590. Знайдіть похідну четвертого порядку функції:
а) у = x sin x;
б) у = x cos x.
1591. Виведіть формули для знаходження похідної n-го порядку для функції:
а) у = sin х;
б) у = соs х;
в) у = (х + 1)-1.
Вправи для повторення
1592. Побудуйте графік функції:
1593. Знайдіть період функції:
1594. Розв’яжіть систему рівнянь:
«Математика віддає свої фортеці лише сильним і сміливим».
А. Г. Конфорович