Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 32 Зростання і спадання функції

Дослідити функцію — це означає виявити її властивості: вказати її область визначення й область значень, проміжки зростання і спадання, проміжки, на яких функція набуває додатних значень, на яких — від’ємних, з’ясувати, чи є дана функція парною або непарною, і т. ін.

Одне з важливих завдань дослідження функції — визначення проміжків її зростання і спадання. Як зазначалося в § 13, у тих точках, в яких функція зростає, її похідна (кутовий коефіцієнт дотичної) додатна, а в точках спадання функції її похідна від’ємна (мал. 198). Правильні й такі твердження.

• Якщо похідна функції в кожній точці деякого проміжку додатна, то функція на цьому проміжку зростає.

• Якщо похідна в кожній точці проміжку від’ємна, то функція на цьому проміжку спадає.

Мал. 198

• Якщо похідна в кожній точці проміжку тотожно дорівнює нулю, то на цьому проміжку функція стала.

Строге доведення цих тверджень досить громіздке, тому ми його не наводимо. Зауважимо, що в ньому виражається достатня ознака зростання чи спадання функції, але не необхідна, оскільки функція може зростати і на проміжку, в деяких точках якого вона не має похідної. Наприклад, функція у = 2х + |х| зростає на R, хоч у точці х = 0 її похідна не існує (мал. 199).

Із сказаного випливає, що два сусідні проміжки, на одному з яких функція зростає, а на другому спадає, можуть розділятись тільки такою точкою, в якій похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Мал. 199

Отже, щоб визначити проміжки зростання чи спадання функції f(х), треба розв’язати нерівності f'(x) > 0 чи f'(x) < 0, або знайти всі критичні точки функції, розбити ними область визначення функції на проміжки, а далі досліджувати, на яких із них функція зростає, а на яких — спадає.

Приклад 1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х3 - 3х2 + 2.

Розв’язання. Область визначення даної функції — множина R.

у' = Зх2 - 6х = 3х(х - 2).

Рівняння. 3х(х - 2) = 0 має корені х = 0 і х = 2. Це — критичні точки. Вони розбивають множину R на три проміжки: (- ∞; 0), (0; 2),(2; + ∞) (мал. 200). Похідна функції на цих проміжках має відповідно такі знаки: +, -, +. Отже, дана функція на проміжках (- ∞; 0) і (2; +∞) зростає, а на проміжку (0; 2) спадає.

Мал. 200

Зауваження. Якщо функція неперервна в якому-небудь кінці проміжку зростання чи спадання, то цю точку можна приєднати до розглядуваного проміжку. Оскільки функція у = х2 - 3х2 + 2 в точках 0 і 2 неперервна, то можна стверджувати, що вона зростає на проміжках (- ∞; 0] і [2; + ∞), а на проміжку [0; 2] — спадає.

Приклад 2. Знайдіть проміжки спадання функції

Розв’язання. Область визначення даної функції: (-∞;3)⋃(3; + ∞).

Критичні точки: х = 0 і х = 6. Вони всю область визначення функції розбивають на проміжки: (- ∞;0), (0; 3), (3; 6), (6; + ∞) (мал. 201). Похідна у' на цих проміжках має відповідно такі знаки: +, +. Отже, функція спадає на(0; 3) і (3; 6). Оскільки в точках х = 0 і х = 6 дана функція неперервна, то відповідь можна записати і так: [0; 3) і (3; 6].

Знаходити проміжки зростання або спадання функції доводиться при розв’язуванні багатьох задач, зокрема, для відшукання наближених коренів рівнянь.

Перевірте себе

1. Що означає дослідити функцію?

2. За якої умови функція зростає (спадає) на деякому проміжку?

3. Що таке критичні точки функції? Наведіть приклади.

4. Як визначити проміжки, на яких дана функція зростає або спадає?

Мал. 201

Виконаємо разом

1. Знайдіть критичні точки функції

Розв’язання. D(y) = (-∞; -2) ⋃(-2;+ ∞). Знайдемо похідну функції:

Знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю чи не існує:у' = 0, якщо

звідси х = 4.

у' — не існує, якщо знаменник дорівнює нулю, звідси х = 0 і х = -2. Точка х = -2 не входить до області визначення функції. Отже, функція має дві критичні точки: х = 0 і х = 4.

Відповідь. 0 і 4.

2.Доведіть нерівність sin x > x для всіх х < 0.

Розв’язання. Розглянемо допоміжну функцію h(х) = sin х - х.

Оскільки h'(х) = соs х -1 ≤ 0 для всіх х ∈ R, то ця функція монотонно спадає на R.

Отже, при х < 0 h(х) > h(0).

h(0)= 0 - 0 = 0.

Тоді h(х) > 0, тобто sin х — x > 0, звідси sin x > х.

3. Установіть, на якому проміжку функція у = -3х + соs х зростає, а на якому — спадає.

Розв’язання. D(y) = (-∞; +∞). Знайдемо похідну функції:

у' = (-3х + соs х)' = -3 — sin х.

Оскільки -1 ≤ sinх ≤ 1, то у'< 0 для всіх дійсних х. Отже, функція у = -3х + соs х спадає на всій області визначення, тобто на множині R.

4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 2х + х-2.

Розв’язання. D(y) = (-∞; 0) ⋃ (0; +∞). Знайдемо похідну функції:

у' = (2х + х-2)' = 2 - 2х-3.

Знайдемо критичні точки функції: у' = 0, якщо 2 - 2х-3 = 0 або 2х-3 = 2, звідки х = 1.

Точки 0 i 1 розбивають область визначення функції на три проміжки (мал. 202).

Визначимо знак похідної на кожному з них.

у’(-1) = 2 + 2 = 4 > 0;

у'(0,5) = 2 - 16 = -14 < 0;

у'(2) = 2 - 0,25 = 1,75 > 0.

Отже, функція у = 2х + х-2 зростає на проміжку (-∞; 0) і (1; +∞), а спадає на проміжку (0; 1). Оскільки в точці х = 1 дана функція неперервна, то остаточно: функція у = 2х + х-2 зростає на проміжку (-∞; 0) і [1; +∞), а спадає на проміжку (0; 1].

Мал. 202

Виконайте усно

1595. Знайдіть критичні точки функції:

а) у = х3;

б) у = sin х;

в) у = ;

г) у = х2 + 2х+ 1.

1596. Яка з функцій зростає на всій області визначення:

а) у = sin x;

б) у = х3;

в) у = 2 - х;

г) у = 0,5х?

1597. Яка з функцій спадає на всій області визначення:

а) у = ;

б) у = cos x;

в) у = 0,5 - х;

г) у = -5x + 1

1598. Використовуючи малюнок 203, визначте:

а) критичні точки функції;

б) проміжки зростання; проміжки спадання.

Мал. 203

1599. Чи може мати тільки одну критичну точку функція: а) монотонна; б) періодична; в) парна; г) непарна?

Рівень А

Знайдіть критичні точки функції (1600-1604).

1600.

1601.

1602.

1603.

1604.

Доведіть, що функція у = f(x) зростає на всій області визначення (1605-1606).

1605.

1606.

1607. Доведіть, що функція у = f(x) спадає на всій області визначення:

Рівень Б

1608. Побудуйте графік неперервної функції, яка зростає на кожному з проміжків (- ∞; - 1) і (3; + ∞), але спадає, якщо х ∈ (-1; 3). Вкажіть,яких значень набуває функція в критичних точках.

1609. Чи мають критичні точки функції:

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції (1610-1611).

1610. a) f(x) = 3 - 2х2;

б) f(x) = 3х - х2.

1611. a) f(x) = х4 - 2х2;

б) f(x) = х2(х + 5).

1612. На малюнку 204 зображено графік функції y = f(x). Упорядкуйте числа f'(-2), f’(0) і f’(5) за спаданням.

1613. Доведіть, що на всій області визначення функція

зростає.

Мал. 204

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції (1614-1617).

1614.

1615.

1616.

1617.

1618. Яка з даних функцій зростає на всій області визначення:

1619. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1-4), та кількістю критичних точок (А-Д).

1

у = (х3- х)-5

А

жодної

2

У = (х - 1)

Б

одна

3

y = х4 - 4х 2 +3

В

дві

4

у = -2х + sin х

Г

три



Д

чотири

Рівень В

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції (1620-1624).

1620.

1621.

1622.

1623.

1624.

1625. Доведіть, що при кожному дійсному значенні а рівняння 2х + sin х = а і соs х -4х = а мають по одному кореню.

1626. При яких значеннях параметра а функція зростає на R:

1627. При яких значеннях параметра а функція спадає на R:

1628. Розв’яжіть рівняння, використовуючи похідну:

1629. Доведіть нерівність, використовуючи похідну:

1630. Розв’яжіть нерівність, використовуючи похідну:

Вправи для повторення

1631. Знайдіть НСК і НСД чисел 175 і 280.

1632. Електронна петиція (особлива форма колективного звернення громадян), адресована відповідно Президенту України, Верховній Раді України, Кабінету Міністрів України, розглядається за умови збору на її підтримку не менш як 25 000 підписів громадян протягом не більше трьох місяців з дня оприлюднення петиції. А для розгляду петиції у Київській міській раді петиція має отримати не менше 10 000 підписів протягом не більше 90 днів. За яких умов термін збору підписів на підтримку електронної петиції, адресованої Кабінету Міністрів України, перевищуватиме термін збору підписів на підтримку електронної петиції, адресованої Київській міській раді.

1633. Розв’яжіть рівняння:

а) х3 + 6х2 + 10х + 5 = 0;

б) х4-5х3 + 5х2 + 5х - 6 = 0.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити