Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 33 Екстремуми функції

Введемо кілька нових понять. Околом точки х0 називається будь-який проміжок, для якого х0 є внутрішньою точкою.

Точка х0 називається точкою мінімуму (максимуму) функції у = f(x), якщо для всіх х (х ≠ х0) з деякого околу точки х0 виконується нерівність

f(x о) <f(x) (f(x0)) >fix)).

Точки мінімуму і максимуму позначають хmin та хmax відповідно. Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції, а в точці максимуму — максимумом функції. Позначають їх: уmin та уmax.

Мал. 205

Мал. 206

Точки мінімуму і максимуму функції разом називають точками екстремуму (лат. εxtrεmum— край, кінець). Значення функції в точках її екстремуму — її екстремальні значення, або екстремуми.

Наприклад, для функції у = 2х - х2 точка х = 1 є точкою максимуму (мал. 205). Її максимум: уmax = 2 ∙ 1 - 12 = 1.

Для функції у = |х| - 3 точка х = 0 є точкою мінімуму (мал. 206). Її мінімум: уmin = 0 - 3 = -3.

Функція, графік якої зображено на малюнку 203, має чотири екстремальні точки: х2 і х4 — точки максимуму; х3 і х6 — точки мінімуму.

Точка екстремуму функції не може належати проміжку, на якому ця функція зростає або спадає (чому?). Отже, ті точки, в яких похідна функції додатна або від’ємна, не можуть бути точками її екстремуму. Всі інші точки області визначення функції є її критичними точками. Тому точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки. Це — необхідна умова існування екстремуму.

Вибрати з критичних точок функції точки екстремуму дає можливість достатня умова існування екстремуму.

Нехай функція у = f(x) неперервна на проміжку (а; b), диференційовна на кожному з проміжків (а; х0) і (х0; b), а х0 — її критична точка. Тоді: точка х0, при переході через яку в напрямі зростання аргументу похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», є точкою максимуму, а точка, при переході через яку похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», — точкою мінімуму.

Справді, якщо похідна функції f(x) на проміжку (а; х0) додатна, а на проміжку (х0; b) — від’ємна, то при переході через точку х0 зростання функції змінюється на спадання (мал. 207). У цьому випадку х0 — точка максимуму. Якщо ж при переході через точку х0 спадання функції змінюється на зростання, то х0 — точка мінімуму (мал. 208).

Мал. 207

Мал. 208

Мал. 209

Якщо ж похідна функції в точці х0 дорівнює нулю, а зліва і справа від х0 похідна функції додатна (мал. 209) або зліва і справа від’ємна, то х0 не є точкою екстремуму.

Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму й екстремальні значення функції у = 2х3 + 6х2 - 5.

Розв’язання. D(y) = R. у' = 6х2 + 12х = 6х(х + 2).

Критичні точки функції: х = -2 і х2 - 0. При переході через точку х1 = -2 похідна змінює знак з «+» на «-», тому х - -2 — точка максимуму. При переході через точку х2 = 0 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х2 = 0 — точка мінімуму (мал. 210).

уmax =2 - (-2)3 + 6 ∙ (-2)2 - 5 = 3, уmin = 2 ∙03 + 6 ∙02 - 5 = -5.

Відповідь, хmax = -2, уmax = 3; хmin = 0, уmin = -5.

Знаходження екстремумів функції можна оформляти у вигляді таблиці. Особливо це зручно при загальному дослідженні функції, коли виявляють не тільки її екстремуми, а й інші властивості, будують її графік.

Досліджують функцію, користуючись такою схемою:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність, непарність, періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) дослідити функцію на монотонність, тобто знайти проміжки зростання і спадання функції;

5) знайти точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6) знайти асимптоти графіка;

7) побудувати графік функції.

Мал. 210

Приклад 2. Дослідіть функцію

і побудуйте її графік.

Розв’язання. Область визначення функції — всі дійсні числа, крім х = -1.

Оскільки вона не симетрична відносно нуля, то функція не може бути парною чи непарною. Функція неперіодична.

Рівняння

не має розв’язків,тому графік функції не перетинає вісь х.

Вісь у він перетинає в точці з ординатою f(0) = 3.

Критичні точки: х1 = -3, х2 = 1. Складемо і заповнимо таблицю.

x

(-∞; -3)

-3

(-3; -1)

-1

(-1; 1)

1

(1; +∞)

f'(x)

+

0

-

не існує

-

0

+

f(x)

-6

не існує

2



max




min


Мал. 211

На проміжках (- ∞; - З] і [1; + ∞) функція зростає, на проміжках [-3; -1) і (-1; 1] функція спадає.

х1 = -3 — точка максимуму, f(-3) = -6; х2 = 1 — точка мінімуму, f(1) = 2.

Графік функції має вертикальну асимптоту х = -1, бо

а

Перевірте самостійно, що пряма у = х - 1 є похилою асимптотою цього графіка.

Графік даної функції зображено на малюнку 211. За його допомогою можемо знайти область значень функції: (- ∞; - 6] ⋃ [2; + ∞).

Перевірте себе

1. Що таке точки екстремуму функції? А її екстремуми?

2. Як можна знайти точки екстремуму функції?

3. Що таке точка максимуму функції? А точка мінімуму?

Виконаємо разом

1. Чи може непарна функція мати екстремум у точці х = 0? А парна функція?

Розв’язання. Непарна функція не може. Якщо в околі точки х = 0 функція має екстремум, то з одного боку від нуля вона зростає, а з другого — спадає, і навпаки. А непарна функція — або тільки зростає, або тільки спадає в околі точки х = 0. Парна функція може. Наприклад, функція у = х2.

2. Чи існують такі числа а і b, при яких має екстремум функціяf(х) = (х - а)3 + b?

Розв’язання. При будь-яких дійсних значеннях а і bf'(х) = 3(х - а)2. У кожній точці х похідна даної функції невід’ємна. Функція f(х) зростає на R, тому не може мати екстремумів.

Відповідь. Не існують.

3. Дослідіть функцію у = і побудуйте її графік.

Розв’язання. 1) D(y) = (-∞;-2) ⋃ (-2;2) ⋃ (2;+∞).

2) Функція — непарна, оскільки

Отже, її графік симетричний відносно початку координат і досить дослідити функцію на множині [0;2) ⋃ (2; + ∞).

3) Якщо х = 0, то у = 0 — графік перетинає осі координат тільки в точці(0; 0).

4. Знайдемо похідну функції:

Очевидно, що у'< 0 для всіх х з області визначення. Отже, функція спадає на кожному з проміжків (∞; -2), (-2; 2) і (2; + ∞) і не має максимумів і мінімумів.

Для точнішої побудови обчислимо значення функції в кількох точках:

Графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 і вертикальні асимптоти х = -2 і х = 2. (Переконайтеся самостійно).

Графік функції подано на малюнку 212.

Мал. 212

Виконайте усно

1634. Які з проміжків (1; 3), (0; 4), (-3; 3), (2; 3), [2; 3] є околами точки х = 2?

1635. Назвіть точки екстремуму функції, графік якої зображено на малюнку 213.

Мал. 213

1636. Функція визначена і зростає на проміжку [-7; 7]. Чи може точка її екстремуму належати цьому проміжку? Чому?

1637. Доведіть, що функція у - х2 - 4х + 1 в точці х = 2 має мінімум. Чи має вона максимум?

1638. Як за допомогою похідною, знайти абсцису вершини параболи — графіка функції у = ах2 + bх + с?

1639. Скільки точок екстремуму може мати функція у = f(х), де f(х) — многочлен третього, четвертого чи п’ятого степеня?

1640. Чи існує функція, яка має безліч екстремумів?

1641. Наведіть приклад функції, яка має один екстремум.

Рівень А

1642. Знайдіть точку мінімуму функції:

1643. Знайдіть точку максимуму функції:

а) у = 5 - х2;

б) у = 1 - х - х2;

в) у = х - 2х2.

1644. Знайдіть точки екстремуму функції:

а) у = 2х3 + 3х2 - 5;

б) у = 1 + 8х2 - х4;

в) у = -x3 + 12x + 7.

Знайдіть точки екстремуму й екстремуми функції (1645-1647).

1645.

a) f(x) = 7x2 - 2х + 4;

б) f(x) = х2 + х + 1.

1646.a) f(x) = х3 - 3х + 5;

б) f(x) = 2х3 + Зх2 + 1.

1647.

a) f(x) = 8 - 12х - х3;

б) f(x) = 1 + 8х2 - х4.

Рівень Б

1648. Побудуйте графік неперервної функції, яка спадає на кожному з проміжків (- ∞; 1] і [3; 5], а зростає на двох інших [1; 3] і [5; +∞).

Врахуйте, що у даної функції мінімальні значення рівні між собою. Для побудованого графіка випишіть усі точки екстремуму й екстремальні значення функції.

Дослідіть функцію і побудуйте її графік (1649-1652).

1649.

1650.

1651.

1652.

Знайдіть точки екстремуму й екстремуми функції (1653-1656).

1653.

1654.

1655.

1656.

1657. Доведіть, що не має екстремумів функція:

a) f(x) = 2х + sin x;

б) f(x) = -3х — cos x.

1658.Доведіть, що при а > 0 і b2 < 3ас функція f(x) = ах3 + bх2 + сх + d не має екстремумів.

1659. Знайдіть точки екстремуму й екстремальні значення функції:

а) у = |х - 5|;

б) у = |2х - 3|;

в) у = |3х + б| + 1.

Знайдіть проміжки зростання, спадання та точки екстремуму функції (1660-1661).

1660.

1661.

1662. Дослідіть функцію і побудуйте її графік:

Рівень В

1663. Знайдіть проміжки монотонності й екстремуми функції:

Дослідіть функцію і побудуйте її графік (1664-1665).

1664.

1665.

1666. При яких значеннях параметра а точки екстремумів функції у = f(x) належать проміжку [-3; 8], якщо:

1667. Функція f(x) парна і має максимум у точці х = 2, а в точці х = 5 — мінімум. Чи має ця функція інші екстремуми? Які та в яких точках? Задайте графічно та аналітично (за допомогою формули) одну з таких функцій.

1668. Функція φ(х) непарна і в точці х = -3 має мінімум, а в точці х = -2 — максимум. Чи має ця функція інші екстремуми? Які та в яких точках? Задайте графічно й аналітично (за допомогою формули) одну з таких функцій.

1669. Побудуйте графік функції у = f(x) і знайдіть кількість коренів рівняння f(x) = а для кожного дійсного значення параметра а.

1670. При яких значеннях параметра т мінімум функції у = |х2- 4х + 3| + mх більший за 2?

Вправи для повторення

1671. Площа прямокутника дорівнює 120 см2. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 20 % більша за другу.

1672. Основною водною магістраллю України є Дніпро. Його загальна довжина 2285 км, а у межах України 1050 км. У ІХ-ХІІ ст. по Дніпру проходив «шлях із варяг у греки», який з’єднував Балтійське і Чорне моря. Який відсоток шляху по Дніпру купці долали територією теперішньої України?

1673. Спростіть вираз:






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити