Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 33 Екстремуми функції
Введемо кілька нових понять. Околом точки х0 називається будь-який проміжок, для якого х0 є внутрішньою точкою.
Точка х0 називається точкою мінімуму (максимуму) функції у = f(x), якщо для всіх х (х ≠ х0) з деякого околу точки х0 виконується нерівність
f(x о) <f(x) (f(x0)) >fix)).
Точки мінімуму і максимуму позначають хmin та хmax відповідно. Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції, а в точці максимуму — максимумом функції. Позначають їх: уmin та уmax.
Мал. 205
Мал. 206
Точки мінімуму і максимуму функції разом називають точками екстремуму (лат. εxtrεmum— край, кінець). Значення функції в точках її екстремуму — її екстремальні значення, або екстремуми.
Наприклад, для функції у = 2х - х2 точка х = 1 є точкою максимуму (мал. 205). Її максимум: уmax = 2 ∙ 1 - 12 = 1.
Для функції у = |х| - 3 точка х = 0 є точкою мінімуму (мал. 206). Її мінімум: уmin = 0 - 3 = -3.
Функція, графік якої зображено на малюнку 203, має чотири екстремальні точки: х2 і х4 — точки максимуму; х3 і х6 — точки мінімуму.
Точка екстремуму функції не може належати проміжку, на якому ця функція зростає або спадає (чому?). Отже, ті точки, в яких похідна функції додатна або від’ємна, не можуть бути точками її екстремуму. Всі інші точки області визначення функції є її критичними точками. Тому точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки. Це — необхідна умова існування екстремуму.
Вибрати з критичних точок функції точки екстремуму дає можливість достатня умова існування екстремуму.
Нехай функція у = f(x) неперервна на проміжку (а; b), диференційовна на кожному з проміжків (а; х0) і (х0; b), а х0 — її критична точка. Тоді: точка х0, при переході через яку в напрямі зростання аргументу похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», є точкою максимуму, а точка, при переході через яку похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», — точкою мінімуму.
Справді, якщо похідна функції f(x) на проміжку (а; х0) додатна, а на проміжку (х0; b) — від’ємна, то при переході через точку х0 зростання функції змінюється на спадання (мал. 207). У цьому випадку х0 — точка максимуму. Якщо ж при переході через точку х0 спадання функції змінюється на зростання, то х0 — точка мінімуму (мал. 208).
Мал. 207
Мал. 208
Мал. 209
Якщо ж похідна функції в точці х0 дорівнює нулю, а зліва і справа від х0 похідна функції додатна (мал. 209) або зліва і справа від’ємна, то х0 не є точкою екстремуму.
Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму й екстремальні значення функції у = 2х3 + 6х2 - 5.
Розв’язання. D(y) = R. у' = 6х2 + 12х = 6х(х + 2).
Критичні точки функції: х = -2 і х2 - 0. При переході через точку х1 = -2 похідна змінює знак з «+» на «-», тому х - -2 — точка максимуму. При переході через точку х2 = 0 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х2 = 0 — точка мінімуму (мал. 210).
уmax =2 - (-2)3 + 6 ∙ (-2)2 - 5 = 3, уmin = 2 ∙03 + 6 ∙02 - 5 = -5.
Відповідь, хmax = -2, уmax = 3; хmin = 0, уmin = -5.
Знаходження екстремумів функції можна оформляти у вигляді таблиці. Особливо це зручно при загальному дослідженні функції, коли виявляють не тільки її екстремуми, а й інші властивості, будують її графік.
Досліджують функцію, користуючись такою схемою:
1) знайти область визначення функції;
2) дослідити функцію на парність, непарність, періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;
4) дослідити функцію на монотонність, тобто знайти проміжки зростання і спадання функції;
5) знайти точки екстремуму та екстремальні значення функції;
6) знайти асимптоти графіка;
7) побудувати графік функції.
Мал. 210
Приклад 2. Дослідіть функцію
і побудуйте її графік.
Розв’язання. Область визначення функції — всі дійсні числа, крім х = -1.
Оскільки вона не симетрична відносно нуля, то функція не може бути парною чи непарною. Функція неперіодична.
Рівняння
не має розв’язків,тому графік функції не перетинає вісь х.
Вісь у він перетинає в точці з ординатою f(0) = 3.
Критичні точки: х1 = -3, х2 = 1. Складемо і заповнимо таблицю.
|
x |
(-∞; -3) |
-3 |
(-3; -1) |
-1 |
(-1; 1) |
1 |
(1; +∞) |
|
f'(x) |
+ |
0 |
- |
не існує |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
↗ |
-6 |
↘ |
не існує |
↘ |
2 |
↗ |
|
max |
min |
Мал. 211
На проміжках (- ∞; - З] і [1; + ∞) функція зростає, на проміжках [-3; -1) і (-1; 1] функція спадає.
х1 = -3 — точка максимуму, f(-3) = -6; х2 = 1 — точка мінімуму, f(1) = 2.
Графік функції має вертикальну асимптоту х = -1, бо
а
Перевірте самостійно, що пряма у = х - 1 є похилою асимптотою цього графіка.
Графік даної функції зображено на малюнку 211. За його допомогою можемо знайти область значень функції: (- ∞; - 6] ⋃ [2; + ∞).
Перевірте себе
1. Що таке точки екстремуму функції? А її екстремуми?
2. Як можна знайти точки екстремуму функції?
3. Що таке точка максимуму функції? А точка мінімуму?
Виконаємо разом
1. Чи може непарна функція мати екстремум у точці х = 0? А парна функція?
Розв’язання. Непарна функція не може. Якщо в околі точки х = 0 функція має екстремум, то з одного боку від нуля вона зростає, а з другого — спадає, і навпаки. А непарна функція — або тільки зростає, або тільки спадає в околі точки х = 0. Парна функція може. Наприклад, функція у = х2.
2. Чи існують такі числа а і b, при яких має екстремум функціяf(х) = (х - а)3 + b?
Розв’язання. При будь-яких дійсних значеннях а і bf'(х) = 3(х - а)2. У кожній точці х похідна даної функції невід’ємна. Функція f(х) зростає на R, тому не може мати екстремумів.
Відповідь. Не існують.
3. Дослідіть функцію у = 
і побудуйте її графік.
Розв’язання. 1) D(y) = (-∞;-2) ⋃ (-2;2) ⋃ (2;+∞).
2) Функція — непарна, оскільки
Отже, її графік симетричний відносно початку координат і досить дослідити функцію на множині [0;2) ⋃ (2; + ∞).
3) Якщо х = 0, то у = 0 — графік перетинає осі координат тільки в точці(0; 0).
4. Знайдемо похідну функції:
Очевидно, що у'< 0 для всіх х з області визначення. Отже, функція спадає на кожному з проміжків (∞; -2), (-2; 2) і (2; + ∞) і не має максимумів і мінімумів.
Для точнішої побудови обчислимо значення функції в кількох точках:
Графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 і вертикальні асимптоти х = -2 і х = 2. (Переконайтеся самостійно).
Графік функції подано на малюнку 212.
Мал. 212
Виконайте усно
1634. Які з проміжків (1; 3), (0; 4), (-3; 3), (2; 3), [2; 3] є околами точки х = 2?
1635. Назвіть точки екстремуму функції, графік якої зображено на малюнку 213.
Мал. 213
1636. Функція визначена і зростає на проміжку [-7; 7]. Чи може точка її екстремуму належати цьому проміжку? Чому?
1637. Доведіть, що функція у - х2 - 4х + 1 в точці х = 2 має мінімум. Чи має вона максимум?
1638. Як за допомогою похідною, знайти абсцису вершини параболи — графіка функції у = ах2 + bх + с?
1639. Скільки точок екстремуму може мати функція у = f(х), де f(х) — многочлен третього, четвертого чи п’ятого степеня?
1640. Чи існує функція, яка має безліч екстремумів?
1641. Наведіть приклад функції, яка має один екстремум.
Рівень А
1642. Знайдіть точку мінімуму функції:
1643. Знайдіть точку максимуму функції:
а) у = 5 - х2;
б) у = 1 - х - х2;
в) у = х - 2х2.
1644. Знайдіть точки екстремуму функції:
а) у = 2х3 + 3х2 - 5;
б) у = 1 + 8х2 - х4;
в) у = -x3 + 12x + 7.
Знайдіть точки екстремуму й екстремуми функції (1645-1647).
1645.
a) f(x) = 7x2 - 2х + 4;
б) f(x) = х2 + х + 1.
1646.a) f(x) = х3 - 3х + 5;
б) f(x) = 2х3 + Зх2 + 1.
1647.
a) f(x) = 8 - 12х - х3;
б) f(x) = 1 + 8х2 - х4.
Рівень Б
1648. Побудуйте графік неперервної функції, яка спадає на кожному з проміжків (- ∞; 1] і [3; 5], а зростає на двох інших [1; 3] і [5; +∞).
Врахуйте, що у даної функції мінімальні значення рівні між собою. Для побудованого графіка випишіть усі точки екстремуму й екстремальні значення функції.
Дослідіть функцію і побудуйте її графік (1649-1652).
1649.
1650.
1651.
1652.
Знайдіть точки екстремуму й екстремуми функції (1653-1656).
1653.
1654.
1655.
1656.
1657. Доведіть, що не має екстремумів функція:
a) f(x) = 2х + sin x;
б) f(x) = -3х — cos x.
1658.Доведіть, що при а > 0 і b2 < 3ас функція f(x) = ах3 + bх2 + сх + d не має екстремумів.
1659. Знайдіть точки екстремуму й екстремальні значення функції:
а) у = |х - 5|;
б) у = |2х - 3|;
в) у = |3х + б| + 1.
Знайдіть проміжки зростання, спадання та точки екстремуму функції (1660-1661).
1660.
1661.
1662. Дослідіть функцію і побудуйте її графік:
Рівень В
1663. Знайдіть проміжки монотонності й екстремуми функції:
Дослідіть функцію і побудуйте її графік (1664-1665).
1664.
1665.
1666. При яких значеннях параметра а точки екстремумів функції у = f(x) належать проміжку [-3; 8], якщо:
1667. Функція f(x) парна і має максимум у точці х = 2, а в точці х = 5 — мінімум. Чи має ця функція інші екстремуми? Які та в яких точках? Задайте графічно та аналітично (за допомогою формули) одну з таких функцій.
1668. Функція φ(х) непарна і в точці х = -3 має мінімум, а в точці х = -2 — максимум. Чи має ця функція інші екстремуми? Які та в яких точках? Задайте графічно й аналітично (за допомогою формули) одну з таких функцій.
1669. Побудуйте графік функції у = f(x) і знайдіть кількість коренів рівняння f(x) = а для кожного дійсного значення параметра а.
1670. При яких значеннях параметра т мінімум функції у = |х2- 4х + 3| + mх більший за 2?
Вправи для повторення
1671. Площа прямокутника дорівнює 120 см2. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 20 % більша за другу.
1672. Основною водною магістраллю України є Дніпро. Його загальна довжина 2285 км, а у межах України 1050 км. У ІХ-ХІІ ст. по Дніпру проходив «шлях із варяг у греки», який з’єднував Балтійське і Чорне моря. Який відсоток шляху по Дніпру купці долали територією теперішньої України?
1673. Спростіть вираз:
