Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 34 Найбільше і найменше значення функції

Від максимумів і мінімумів функції слід відрізняти її найбільше і найменше значення на проміжку. Функція може мати кілька максимумів (мінімумів) на деякому проміжку (мал. 214), але не більше одного найбільшого (найменшого) значення. Функція може не мати максимуму (мінімуму) на проміжку, але мати найбільше (найменше) значення.

Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 214, найбільше значення має у точці х2, а найменше — у точці х3, а функція f(х) = х2, задана на проміжку [-1; 2], має найменше значення f(0) = 0 і найбільше значення f(2) = 4 (мал. 215).

Мал. 214

Мал. 215

Найбільше і найменше значення функції тісно пов’язані з її областю значень. Якщо область значень неперервної функції — проміжок [m; М], то m — найменше значення даної функції, М — найбільше її значення.

Оскільки неперервна функція найбільше і найменше значення може мати тільки в точках екстремуму або на кінцях відрізка, то для знаходження цих значень користуються таким правилом.

Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції f(x) на проміжку [а; b], треба обчислити її значення f(a) і f(b) на кінцях даного проміжку і в критичних точках, що належать цьому проміжку, та вибрати з них найбільше і найменше.

Позначаються вони

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х3 + Зх2 - 9х - 10 на проміжку [-4; 4].

Розв’язання, f'(х) = Зх2 + 6х - 9 = 3(х + 3)(х - 1). Критичні точки: х = -3, х2 = 1. Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка. f(-4) = 10, f(-3) = 17, f(1) = -15, f(4) = 66.

З цих чотирьох значень функції найменшим є —15, а найбільшим — 66.

Відповідь.

Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

якщо х ∈ [0; 1].

Розв’язання. Знайдемо похідну та критичні точки функції

Якщо у' = 0, то

звідки х = 1; 1 ∈ [0; 1].

у' — не існує, якщо х1 = 0 і х2 = 2. Ці точки не є критичними. Чому? Знайдемо у(0) = 0 і у(1) = 1.

Маємо:

Відповідь.

Приклад 3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = 0,5sin 2х + Зsin х - х на проміжку [-0,5; 0,5].

Розв’язання. Знайдемо похідну функції у = 0,5sin 2х + Зsin х - х. Маємо: у' = соs 2х + 3соs х - 1.

Розв’яжемо рівняння соs 2х + 3соs x -1 = 0 або 2соs2х + 3соs х -2 = 0.

Нехай соs х = у. Рівняння 2у2 + Зy -2 = 0 має два корені: у = -2і у = 0,5. Значення косинуса не може дорівнювати -2. Отже, соs х = 0,5,звідси х = ± + 2n — критичні точки функції. Точки - і належатьпроміжку [-0,5; 0,5].

Знайдемо значення функції у цих точках і на кінцях проміжку:

До знаходження найбільшого або найменшого значення функції зводиться розв’язання багатьох прикладних задач.

Приклад 4. Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см. Знайдіть розміри квадратів, які треба вирізати в кутах цього листа, щоб з одержаної заготовки зробити коробку найбільшого об’єму (мал. 216).

Розв’язання. Щоб одержати коробку (у формі прямокутного паралелепіпеда), треба вирізати рівні квадрати в кутах цього листа. Нехай х — довжина сторони такого квадрата. Тоді висота коробки дорівнює х, а сторона основи 60 - 2х.

Об’єм коробки V(х) = (60 - 2х)2х — функція від х. Маємо дослідити математичну модель задачі: при якому значенні х функція V(х) = (60 - 2х)2х на проміжку (0; 30) набуває найбільшого значення.

Значення х = 30 не належить проміжку (0; 30). Тому х = 10.

Оскільки V'(х) > 0 при х < 10, а V'(х) < 0 при х > 10,то х = 10 — точка максимуму. Отже, в цій точці функція V(х) набуває найбільшого значення.

Відповідь. Треба вирізати квадрати, сторони яких дорівнюють 10 см.

Мал. 216

Перевірте себе

1. Що таке найбільше (найменше) значення функції на даному проміжку?

2. Чи одне і те саме означають максимальне значення функції і її найбільше значення?

3. Як знайти найбільше або найменше значення неперервної функції на проміжку [а; b]?

Виконаємо разом

1. Знайдіть область значень функції у = х3 - 9х2 - 7, якщо х ∈ [0;10].

Розв’язання, у' = (х3 - 9х2 - 7)' = Зх2 - 18х. Знайдемо критичні точки: у' = 0, якщо Зх2 - 18х = 0 або 3х(х - 6) = 0, звідси х = 0, х = 6.

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку [0; 10] і в критичних точках: у(0) = -7; у(6) = -115; y( 10) = 93.

Задана функція неперервна, її найбільше значення 93, найменше -115. Отже область її значень — відрізок [-115; 93].

Відповідь. [-115; 93].

2. Знайдіть найкоротшу відстань від точки А(10; 2) до графіка функціїy = х2.

Розв’язання. Нехай найближча до А точка графіка функції М має абсцису х, її ордината дорівнює х2 (мал. 217, с. 310). Знайдемо квадрат відстані між точками М(х; х2) і А(10; 2):

Мал. 217

Довжина відстані AM найменша, коли її квадрат найменший. Отже, знайдемо найменше значення функції f(х) - х4 - Зх2 - 20х + 104.

f'(х) = 4х3 - 6х - 20 = 2(х - 2)(2х2 + 4х + 5).

Рівняння 2х2 + 4х + 5 = 0 дійсних коренів не має, тому функція f(x) має одну критичну точку х - 2. Якщо х < 2, то f'(х) < 0, якщо х > 2, то f'(х) > 0. Отже, х = 2 — точка мінімуму. В цій точці функція f(х) набуває найменшого значення.

Найменше значення квадрата відстані

Відповідь. 2.

Виконайте усно

1674. Чи має найбільше значення функція:

а) у = х3;

б) у = 3х;

в) у = -х2;

г) у = 2х + 1?

1675. Укажіть найменше значення функції:

а) у = х4;

б) у = sin х;

в) у = ;

г) у = 2 -|х|.

1676. Укажіть найбільше і найменше значення функції у = х2 на заданому проміжку:

а) [0; 2];

б) [-1; 1];

в) [-2; 0];

г) [-5; 2].

1677. Чи може:

а) значення функції у точці максимуму бути меншим від її значення у точці мінімуму?

б) найбільше значення функції бути меншим від її максимуму? А навпаки?

Рівень А

1678. Знайдіть найменше і найбільше значення функції у = х3 - 1 на заданому проміжку:

а) [0; 2];

б) [-1; 1];

в) [-2; 0];

г) [-3; 3].

1679. Знайдіть найменше і найбільше значення функції у = х2 - 2х на заданому проміжку:

а) [-1; 0];

б) [-1; 1];

в) [-2; 0];

г) [0; 3].

Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку (1680-1682).

1680.

a) f(x) = х2 - 4х; х ∈ [-3; 3];

б) f(x) = 0,5х2 (х - 3); х ∈ [1; 4].

1681.

a) а(х) = 5x3 - Зх5; х ∈ [-2; 2];

б) f(x) = х2(3 - х); х ∈ [1; 4].

1682.

a) f(x) = х4 - 8х2 -3; х ∈ [3; 1];

б) f(x) = sin x; х ∈ [0; p].

1683. Чи має функція у = х3 - Зх2 найменше або найбільше значення на заданому проміжку? Встановіть, яке саме, якщо:

а) х ∈ (-∞; 1);

б) х ∈ (1; +∞)

в) х ∈ (-∞; 2);

г) х ∈ (0; + ∞).

1684. Число 10 розбийте на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

1685. Яке додатне число разом з оберненим дає найменшу суму?

1686. Яке число в сумі з його квадратом має найменше значення?

1687. Площа прямокутного загону для страусів дорівнює 40 000 м2. Якими мають бути його розміри, щоб на огорожу пішло найменше сітки рабиці?

1688.Треба відгородити два пасовища у формі рівних прямокутників зі спільною стороною, щоб сума їх площ дорівнювала 6 га. Знайдіть найменшу можливу довжину огорожі.

Рівень Б

Знайдіть найбільше і найменше значення заданої функції на заданому проміжку (1689-1692).

1689.

1690.

1691.

1692.

1693. Чи має найбільше або найменше значення на R функція:

1694. Знайдіть область значень функції:

1695. Довжина відрізка АВ дорівнює 6, точка М — його середина. Знайдіть на відрізку АВ таку точку X, щоб добуток довжин ХА, ХВ, ХМ був найбільшим.

1696. Який з прямокутників, вписаних у дане коло, має найбільшу площу?

1697. Який з прямокутників, вписаних у дане коло, має найбільший периметр?

1698. Із пунктів А і В прямолінійними дорогами АО і ВО виїхали одночасно два велосипедисти зі швидкостями 12 км/год і 15 км/год. Коли відстань між велосипедистами буде найменшою, якщо АО = ВО = 60 км, ∠AOB= 60°?

1699. У трапеції ABCD АВ = ВС = CD = a, AD > ВС. Яким повинен бути кут BAD, щоб площа трапеції була найбільшою?

1700. Якими повинні бути розміри басейну об’ємом 32 м3 з квадратним дном і вертикальними стінками, щоб на його облицювання пішло найменше плиток?

Рівень В

1701. Розгляньте всі можливі прямокутники, дві сторони яких лежать на осях координат, а одна з вершин — на графіку функції у = (мал. 218, а). Який з них має найбільшу площу? Найменший периметр?

Мал. 218

1702. Яку найбільшу площу може мати прямокутник, вписаний у фігуру, обмежену віссю Ох і графіком функції у = 4 - х2 (мал. 218, б)?

1703. Фігура обмежена віссю Ох, графіком функції у = і прямою х = 27. Знайдіть сторони прямокутника, вписаного в цю фігуру, якщо він має найбільшу площу.

1704. У точках А, В і С (як показано на малюнку 219) розміщено столи з комп’ютерами, що мають вихід на один принтер Р. У якій точці на АN слід розмістити принтер, щоб загальна довжина кабелів АР + ВР + СР була найменшою?

1705. За допомогою програмного забезпечення будують графік функції у = х - 2соs х для всіх х, які

Мал. 219

належать проміжку [-p; p]. Знайдіть розміри найменшого прямокутника, який містить цей графік.

1706. Знайдіть координати точки на графіку функції у =-, найменшвіддаленої від початку координат.

1707. Якими слід робити літрові консервні банки циліндричної форми, щоб на їх виготовлення йшло найменше жерсті? Допусками на шви можна нехтувати.

1708. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:

а) f(х) = х2 - 3х|х - 3|, х ∈ [0; 4];

б) f(х) = 4х3 - 3х|х - 2|, х ∈ [0; 3].

1709. Розв’яжіть рівняння:

«Ніякі людські дослідження не можна назвати справжньою наукою, якщо вони не пройшли через математичні доведення».

Леонардо да Вінчі

1710. При яких значеннях параметра а найбільше значення функції у = -х2 + 2ах - а2 + 2а - 3 на відрізку [0; 1] дорівнює -2?

1711. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких:

а) найменше значення функції f(х) = sin2x - 8а ∙ sin x + 8 на відрізку [0; 0,5] додатне;

б) найбільше значення функції f(x) = - cos2x+ 4а cos x - 7 на відрізку [-0,5; 0] від’ємне.

Вправи для повторення

1712. Відкрита задача. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = (х + 2)(х - 4), якщо ця дотична … .

1713. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1714. У сімейному фермерському господарстві розводили гусей і тримали кілька собак, які їх охороняли. Скільки гусей і скільки собак було на фермі, якщо разом вони мали 98 голів і 202 ноги?






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити