Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 35 Застосування другої похідної до дослідження функцій та побудови їх графіків

За допомогою першої похідної можна дослідити функцію на монотонність і екстремуми та схематично побудувати графік. Виявляється, що поведінку деяких функцій не завжди можна пояснити, використовуючи першу похідну. Детальніше дослідження проводиться за допомогою другої похідної. Згадаємо, що таке друга похідна (с. 289).

Нехай функція у = f(x) є диференційовною, x ∈ [a; b], її похідна f'(x) — функція, яка також диференційовна. Тоді можна знайти похідну (f'(x))' = f"(x). Це похідна другого порядку, або друга похідна функції y = f(х).

Наприклад, знайти похідну 2-го порядку функції у = x3 - 4х 2 + 5х - 6 — означає знайти похідну цієї функції у' = 3х 2 - 8х + 5 і отриману функцію про диференціювати: у" = 6х - 8.

Крива у = f(x) називається опуклою на інтервалі (а; b), якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі (на мал. 220 — 1).

Крива у = f(x) називається увігнутою на інтервалі (а; b), якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі (на мал. 220 — 2).

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від увігнутої.

Інтервали опуклості і увігнутості знаходять за допомогою такої теореми.

Теорема. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції у = f(x) від’ємна (f''(x)< 0) на інтервалі (а; b), то крива у = f(x) опукла на даному інтервалі; якщо друга похідна функції у = f(x) додатна (f"(x) > 0) на інтервалі (а; b), то крива увігнута на (а; b).

З теореми випливає, що точками перегину кривої у = f(x) можуть бути лише точки, в яких друга похідна f"(x) дорівнює нулю або не існує. Такі точки називають критичними точками другого роду.

Встановимо достатні умови існування точки перегину.

Мал. 220

Теорема. Нехай х 0 — критична точка другого роду функції у = f(x). Якщо при переході через точку х 0 похідна f"(x) змінює знак, то точка (х 0; f(x 0)) є точкою перегину кривої у = f(x).

Для знаходження проміжків опуклості та точок перегину графіка функції доцільно користуватися такою схемою:

1) знаходимо область визначення функції;

2) знаходимо критичні точки другого роду;

3) визначаємо знак другої похідної на утворених інтервалах. Якщо f"(x) < 0, то крива опукла; f"(x) >0 — крива увігнута;

4) якщо похідна f"(x) змінює знак при переході через критичну точку другого роду х 0, то точка (х 0; f(x 0)) є точкою перегину кривої у = f(x).

Приклад 1. Знайдіть інтервали опуклості і увігнутості та точки перегину кривої у = х 4 - 6х 2 + 5.

Розв’язання.

1) Область визначення функції: R.

2) Знайдемо другу похідну: у' = 4х 3 - 12х; у" = 12x 2 - 12 = 12(х 2 - 1). Критичні точки другого роду: х 1 = -1, х 2 = 1. Інших критичних точок немає.

3) Розбиваємо область визначення на інтервали (- ∞; - 1), (-1; 1), (1; + ∞) і визначаємо знак другої похідної на кожному з них.

Якщо х ∈ (-∞; - 1), то у"(х) > 0, тому крива вгнута.

Якщо х ∈ (-1;1), то у"(х) < 0, тому крива опукла.

Якщо х ∈ (1; + ∞), то у"(х) >0 — крива вгнута. Отже, точки (-1; 0) і (1; 0) — точки перегину.

Визначення точок перегину, інтервалів опуклості та асимптот суттєво допомагає у побудові графіків багатьох функцій.

Розширимо схему дослідження функцій, подану на с. 302.

Повна схема дослідження функції

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

4. Знайти інтервали знакосталості.

5. Знайти першу похідну. Встановити проміжки зростання і спадання, точки екстремуму та екстремальні значення функції.

6. Знайти другу похідну. Визначити інтервали опуклості графіка функції та точки перегину.

7. Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків визначення.

8. Знайти асимптоти графіка функції.

9. Побудувати графік функції.

Приклад 3. Дослідіть функцію у = і побудуйте її графік.

Розв’язання.

1) Область визначення функції: (- ∞; 1) U (1; + ∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, ні періодична.

3) (0; 0) — точка перетину графіка функції з осями координат.

4) у > 0, якщо х ∈ (-∞; 0) ⋃ (0; 1) ⋃ (1; + ∞).

5) Щоб знайти похідну функції, запишемо її у вигляді

Оскільки в точці х = 0 функція похідної не має, то знайдемо похідну окремо для х > 0 і х < 0. Маємо:

Функція має дві критичні точки:

х = 0 (похідна не існує) і х = -1 (похідна дорівнює нулю). Складемо і заповнимо таблицю для першої похідної.

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1;+ ∞)

y'

+

0

-

Не існує

+

Не існує

-

y

1/4

0

Не існує


mах


mіn


Із таблиці видно, що функція зростає на проміжках (- ∞; - 1] І [0; 1), а спадає на проміжках [-1; 0] і (1;+ ∞).

Перша похідна при переході через точку х = - 1 змінює знак з « + » на «-», а при переході через точку х = 0 — з «-» на « + », тому х = - 1 — точка максимуму, а х = 0 — точка мінімуму.

6) Знайдемо другу похідну:

Функція має дві критичні точки другого роду: х = 0 (друга похідна не існує) і х = -2 (друга похідна дорівнює нулю). Складемо і заповнимо таблицю для другої похідної

Як бачимо з таблиці, крива опукла на проміжку (-2; 0), а увігнута на проміжках (-∞; -2); (0; 1) і (1; + ∞).

Друга похідна при переході через точку х = -2 змінює знак з «+» на «—», а при переході через точку х = 0 - з «-» на « + », тому х = -2 і х = 0 — абсциси точок перегину. У цих точках на графіку опуклість змінюється на вгнутість і навпаки.

7) Дослідимо поведінку заданої функції на кінцях проміжків визначення:

8) Знайдемо асимптоти. Функція не визначена у точці х = 1. Оскільки

вертикальна асимптота.

Оскільки

і

то у = 0 — горизонтальна асимптота.

9) Користуючись отриманими даними, будуємо графік функції (мал. 221).

Мал. 221

Перевірте себе

1. Що таке друга похідна?

2. Яку криву називають опуклою на інтервалі?

3. Яку криву називають увігнутою на інтервалі?

4. Що таке точка перегину?

5. Як знаходять інтервали опуклості та увігнутості?

6. Що таке критичні точки другого роду?

7. Якими бувають асимптоти кривої?

Виконаємо разом

Знайдіть інтервали опуклості і увігнутості та точки перегину кривих:

а) у = Зх 2- х 3;

б) у = .

Розв’язання, а) у = Зх 2 - х 3.

1) Область визначення функції — R.

2) Знайдемо першу і другу похідні. Маємо: у' = 6х - Зх 2; у" = 6 - 6х. Знайдемо критичні точки другого роду: 6 - 6х = 0, х = 1. Інших критичних точок другого роду немає.

3) Визначимо знак другої похідної на кожному з інтервалів (- ∞; 1)(1; + ∞). Для цього досить визначити знак похідної в довільній внутрішній точці кожного інтервалу.

Якщо х ∈ (- ∞; 1), то у"(х) > 0, тому на інтервалі (-∞; 1) крива увігнута. Якщо х ∈ (1; + ∞), то у"(х) < 0, тому на інтервалі (1; + ∞) крива опукла.

Точка х = 1 є точкою перегину, оскільки при переході через цю точку друга похідна змінює знак.

Отже, М( 1; 2) — точка перегину.

б) y = .

1) Область визначення функції — R.

2) Знайдемо критичні точки другого роду:

Як бачимо, друга похідна існує на множині всіх дійсних чисел і в жодній точці в нуль не перетворюється. А тому критичних точок другого роду немає. Отже, немає і точок перегину. На всій області визначення у" > 0, тому на множині дійсних чисел крива увігнута.

Виконайте усно

1715. Знайдіть другу похідну функції:

а) у = 5х 4;

б) у = х -2;

в) у = 5 + х 4;

г) у = sin x.

1716. На малюнку 222 подано графік функції у = f(х). Установіть:

а) проміжки зростання і спадання;

б) точки екстремуму; в) інтервали опуклості і увігнутості; г) точки перегину.

1717. На малюнку 223 подано графік функції у = g(x). Встановіть:

а) проміжки зростання і спадання;

б) точки екстремуму; в) інтервали опуклості й увігнутості; г) точки перегину; ґ) асимптоти.

1718. Які асимптоти має крива, задана рівнянням:

Мал. 222

Мал. 223

Рівень А

Знайдіть другу похідну функції (1719-1720).

1719.

1720.

1721. Доведіть, що на всій області визначення:

а) функція у = 5х 2 - 12х + 6 є вгнутою;

б) функція у = -2 є опуклою.

Знайдіть інтервали опуклості і увігнутості та точки перегину кривих (1722-1723).

1722.

1723.

Рівень Б

Знайдіть інтервали опуклості і увігнутості та точки перетину кривих (1724-1725).

1724.

1725.

Скільки коренів має рівняння (1726-1727).

1726.

1727.

Проведіть повне дослідження функції і побудуйте її графік (1728—1729).

1728.

1729.

Рівень В

Знайдіть інтервали опуклості і увігнутості та точки перегину кривих (1730-1731).

1730.

1731.

Знайдіть асимптоти кривих (1732-1733).

1732.

1733.

Проведіть повне дослідження функції і побудуйте її графік (1734-1736).

1734.

1735.

1736.

Вправи для повторення

1737. Розв’яжіть рівняння:

а) tg 2x + tg x = 0;

б) sin 6х — sin 4x = 0.

1738. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = 2 - 0,5х - х2 в точці перетину її з віссю ординат.

1739. Розв’яжіть систему рівнянь:






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити