Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 36 Похідна як швидкість

Досі ми мали справу з геометричним змістом похідної, тобто розуміли під похідною кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції. Не менш важливо зрозуміти і фізичний зміст похідної. Похідна функції — це швидкість її зміни, тобто швидкість протікання процесу, який описується даною функцією.

Нехай тіло рухається по прямій зі змінною швидкістю. Відстань в, пройдена тілом за час t, залежить від t. Ця залежність s = f(t) — закон руху даного тіла. Знайдемо його миттєву швидкість v(t0) у момент t0.

За час від t0 до t0 + ∆t тіло проходить відстань ∆t = f(t0 + ∆t) - f(t0). За цей проміжок часу ∆t тіло рухається з середньою швидкістю . Якщо∆t → 0, то→ v(t0), v(t0) — швидкість руху тіла в момент t0. З другого боку — якщо при ∆t → 0→ v(t0), то v(t0) — похідна функції в у точці t0.

Отже, якщо s = f(t) — закон руху, то похідна цієї функції — швидкість руху в момент t.

Розглянемо конкретний приклад. Як відомо, вільне падіння тіла відбувається за законом s = t2, де стала g = 9,8 м/с2 — його прискорення. З якою швидкістю тіло падає в момент t і після початку падіння?

Розв’язувати задачу можна так. За час від t до t + ∆t тіло проходить відстань

із середньою швидкістю

Якщо ∆t → 0, то→ gt, тобто v(t) = gt.

Дістали результат, добре відомий із фізики.

Такий спосіб розв’язування задачі нераціональний, так змушені міркувати ті, хто не знає похідної та її фізичного змісту. Якщо ж ми знаємо, що швидкість прямолінійного руху — це похідна функції, яка виражає закон цього руху, то задачу можна розв’язати простіше:

Так можна знаходити не тільки швидкість прямолінійного руху, а й швидкість протікання багатьох процесів: хімічної реакції, радіоактивного розпаду, нагрівання тіла, танення криги, плавлення металу, розмноження бактерій тощо. Взагалі, якщо деякий процес відбувається за законом у = f(t), то швидкість протікання цього процесу в момент часу tможна визначити за формулою v(t) = f'(t).

Коротко говорять: похідна — це швидкість.

Швидкість руху також може змінюватись. Швидкість зміни швидкості руху — його прискорення. Отже, прискорення — похідна швидкості. Якщо, наприклад, швидкість руху виражається формулою v(t) = gt, то його прискорення a(t) = (gt)' = g.

Інший приклад. Якщо якийсь процес відбувається за законом s(t) = 2t3- 5t2+ З,

то швидкість його протікання в момент t: v(t) = s'(t) = 6t2 - 10t, а його прискорення в цей самий момент: a(t) = v'(t) = 12t- 10.

За допомогою похідної розв’язують багато задач із різних галузей науки і практики. Наведемо приклади часто вживаних формул, які містять похідну:

(t) = '(t) — кутова швидкість — похідна від кута повороту

а(t) = '(t) — кутове прискорення — похідна від кутової швидкості

I(T) = q'(t) — сила струму — похідна від кількості електрики

N(t) = А'(t) — потужність — похідна від роботи

С(t) = Q'(t) — теплоємність — похідна від кількості теплоти

Р(t) = V'(t) — продуктивність праці — похідна від обсягу продукції

Виконаємо разом

1. Сигнальна ракета летить вертикально вгору так, що її рух описується законом s(t) = 98t - 4,9t2 (час t — у секундах, відстань s — у метрах). Знайдіть:

а) швидкість ракети через 5 секунд руху;

б) на яку максимальну висоту злетить ракета?

Розв’язання, а) Знайдемо швидкість ракети у будь-який момент часу як похідну від функції v(t) = або v(t) = (98t - 4,9t2)' = 98 - 9,8t.

Тоді v(5) = 98 - 9,8 ∙ 5 - 98 - 49 = 49 (м/с).

б) Знайдемо точку екстремуму функції s(t), розв’язавши рівняння s'(t) = 0 або 98 - 9,8t = 0. Звідси t = 10 (с).

Якщо t< 10, то s'(t)> 0, якщо t> 10, то s'(t) < 0. Отже, t = 10 с — точка максимуму. Тоді s(10) = 98 ∙ 10 - 4,9 ∙ 102 = 490 (м).

Відповідь, а) 49 м/с; б) 490 м.

2. Кількість теплоти Q(t), яка необхідна для нагрівання води масою 1 кг від 0 °С до температури t °С (0° <t< 95 °), наближено можна визначити за формулою Q(t) = 0,396 ∙ t + 2,081 ∙ 10-3t2 - 5,024 ∙ 10-7t3.

Установіть залежність теплоємності води С(t) від температури.

Розв’язання.

3. Тіло масою 10 кг рухається прямолінійно за законом х(t) = t2 + t + 1 (час t — у секундах, координата х — у метрах). Знайдіть: а) кінетичну енергію тіла через 5 с після початку руху; б) силу, що діє на тіло в цей час. Розв’язання, а) Кінетична енергія тіла визначається за формулою

Е =, де m — маса тіла, а v — швидкість. Знайдемо швидкість тіла v(t)у будь-який момент часу t і через 5 с після початку руху — v(5).

Тоді

б) Сила, що діє на рухоме тіло, визначається за формулою F = та. Знайдемо прискорення тіла а(t) у будь-який момент часу t і через 5 с після початку руху — а(5).

Тоді F = та = 10 ∙ 2 = 20 (Н).

Відповідь, а) 605 Дж; б) 20 Н.

Перевірте себе

1. У чому полягає суть геометричного змісту похідної функції в точці?

2. Яка суть фізичного змісту похідної функції в точці?

3. Як розуміти вислів «похідна — це швидкість»?

Виконайте усно

1740. Знайдіть швидкість тіла, що рухається за законом s(t), де t вимірюється в секундах, a s — у метрах:

a) s(t) = 5t2 + t;

б) s(t) = 1 + 3t;

в) s(t) = t2 - 1;

г) s(t) = 2t3 + t.

1741. Знайдіть прискорення тіла, що рухається за законом s(t), де t вимірюється в секундах, a s — у метрах:

a) s(t) = t2 + t;

б) s(t) = 1 - 3t2;

в) s(t) = 5t - 1;

г) s(t) = 2t3 + 5.

1742. Як залежить продуктивність праці молодого фахівця від часу роботи, якщо обсяг виготовленої ним продукції виражається формулою v(t) = 10 + 6t2 - t3?

Рівень А

1743. Точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 100 + t2(час t — у секундах, координата х — у метрах). Знайдіть швидкість v цієї точки в момент часу: a) t = 5 с; б) t = 23 с.

1744. Робота, яку виконує двигун автомобіля, визначається формулою A(t) = 15t2 + 360 (A(t) вимірюється у джоулях, t — у секундах). Яку потужність розвиває цей двигун у момент часу t?

1745. Визначте швидкість коливання тіла, що рухається за законом:

a) x(t) = 10cost;

б) x(t) = 2sin(t - );

в) x(t) = 0,1cos10t.

1746. Точка рухається так, що шлях (у метрах), пройдений нею за t секунд, виражається формулою s = 4t2 + 3t. Знайдіть:

а)швидкість точки у будь-який момент часу;

б)прискорення точки в будь-який момент часу;

в)швидкість і прискорення точки в момент часу t = 5 с.

1747. Точка обертається навколо осі за законом φ(t) = 3t2 - 4t + 2 (час t — у секундах, кут повороту φ(t) — у радіанах). Знайдіть кутову швидкість точки:а)в довільний момент t; б) у момент t = 4 с.

1748. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 7t3 - 5t (у метрах). Знайдіть його миттєву швидкість і прискорення в момент:

a) t = 1 с;

б) t = 2 с;

в) t = 3 с.

1749. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 6t + 2t2 - t3 (шлях s—у метрах, час t — у секундах). У який момент часу тіло рухається з найбільшою швидкістю?

1750. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання за законом x(t) = 4sin t, де х — зміщення точки від положення рівноваги (у м), t — час руху (у с). Знайдіть наближене значення миттєвої швидкості точки в момент часу:

a) t = 0,5 с;

б) 1 с.

1751. Маховик, затримуваний гальмом, обертається за законом φ(t) = 4t - 0,3t2 (час t — у секундах, кут φ(t) — у радіанах). В який момент він зупиниться?

1752. Під час нагрівання тіла його температура Т із часом змінюється за законом Т = 0,4t2, де Т — температура в градусах, t — час у секундах. Знайдіть швидкість зміни температури в момент t = 5 с.

1753. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 2 + 8t - t2 (в — шлях у метрах, t — час у секундах). Яку відстань пройшло тіло до моменту, коли його швидкість стала дорівнювати нулю?

1754. Два тіла рухаються прямолінійно відповідно до законів s1(t) = t3 + 3t2 - 2t + 2 і s2(t) = t3 + 2t2 + 5t - 4 (s1, s2 — шлях у метрах, t — час у секундах). Знайдіть прискорення кожного з тіл у момент часу, коли вони пройшли однаковий шлях.

1755. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 6t - t2 (шлях s — у метрах, час t — у секундах). Знайдіть:

а) миттєву швидкість тіла в момент часу: t1 = 1 с, t2 = 2 с;

б) кінетичну енергію тіла через 1,5 с після початку руху, якщо його маса дорівнює 2 кг.

1756. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = t3 + 3t2 (шлях s — у метрах, час t — у секундах). Знайдіть:

а) прискорення його руху в момент t = 5 с;

б) силу, що діє на тіло через 3 с після початку руху, якщо його маса дорівнює 5 г.

1757. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 6t + 2t2 - t3 (шлях s — у метрах, час t — у секундах). Визначте кінетичну енергію тіла в той момент, коли його швидкість стане найбільшою (m - 2 кг).

1758. Тіло, підкинуте вертикально вгору зі швидкістю v0 = 60 м/с, рухається за законом h(t) = v0t - , де h— шлях у метрах, t — час у секундах, g = 10 м/с2 — прискорення вільного падіння. Знайдіть:

а) швидкість тіла через 2 с після початку руху;

б) час, коли швидкість тіла дорівнює нулю;

в) найбільшу висоту, якої досягне тіло.

1759. Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 40 м/с. Коли і на якій відстані від землі воно досягне найвищої точки?

1760. Обсяг продукції V майстерні, яка виготовляє ялинкові прикраси, протягом дня виражається залежністю

де t ∈ [1; 8]. Обчисліть продуктивність праці майстерні протягом кожної години роботи.

1761. Через поперечний переріз провідника у кожний момент часу t про­ходить заряд q(t) = 5 (д вимірюється в кулонах, а t — у секун­дах). Знайдіть силу струму в момент часу t = 10 с.

1762. Маса кристалів у розчині змінюється за законом m = , де m — маса кристалів у грамах, t — час у годинах. Знайдіть швидкість зростання маси кристалів через 4 год після початку кристалізації.

1763. Кулька коливається за законом х(t) = 2sin Зt. Доведіть, що її при­скорення пропорційне координаті х. При яких значеннях t приско­рення кульки додатне?

1764. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = . Доведіть, що його прискорення пропор­ційне кубу швидкості.

1765. Колесо обертається так, що кут його повороту пропорційний квадрату часу. Перший оберт воно зробило за 8 с. Знайдіть його кутову швидкість через 48 с після початку обертання.

1766. Драбина завдовжки 5 м стояла вертикально.

Потім її нижній кінець став переміщатись по під­лозі зі сталою швидкістю 2 м/с (мал. 224). З якою швидкістю в момент t опускався верхній кінець драбини?

Мал. 224

Вправи для повторення

1767. Доведіть, що многочлен n5 -5n3 +4n для будь-якого цілого значення я становить число, що ділиться на 120.

1768. Знайдіть середнє арифметичне усіх цілих чисел х, таких, що:

1769. Розв’яжіть систему рівнянь:

1770. На українських дорогах у 2016 році трапилося понад 138 тисяч ДТП. Загинуло внаслідок ДТП 4 тисячі громадян, іще понад 31 тис людей травмовано. У 7 з 10 випадків ДТП спричинені перевищенням швидкості. В половині випадків люди гинуть через нетверезе керування автотранспортом, а в 4 із 10 випад­ків смерть спричинена недбалістю та ігноруванням ременів безпеки.

Установіть, скільки громадян за­гинуло через недбалість та ігнору­вання ременів безпеки.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити