Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 4 Ділення многочленів

З курсу математики основної школи ви знаєте, що многочлен — це сума кількох одночленів. У загальному випадку a0xn + а1хn-1 + …+ an-1x + an(де а0, а1, …, аn — дійсні числа і a0 ≠ 0) — многочлен n-го степеня (nN) з однією змінною х.

У попередніх класах ви виконували з многочленами дії додавання, від­німання і множення. У цьому параграфі розглянемо ділення многочленів.

Багато в чому ділення многочленів нагадує ділення натуральних чисел.

Нехай F(x) та Р(х) — деякі многочлени, причому степінь многочлена F(x) не менший за степінь многочлена Р(х) і Р(х) — тотожно не дорівнює нулю. Якщо існує такий многочлен Q(x), що для будь-якого х Rвико­нується рівність F(x) = Р(х) · Q(x), то кажуть, що многочлен Р(х) ділиться на многочлен Р(х) без остачі. Позначають: F(x) : Р(х).

Наприклад, многочлен F(x) = х3 - 8 ділиться без остачі на многочлен Р(х) = х2 + 2х + 4, бо F(x) = Р(х) · (х - 2).

Многочлен F(x) називають діленим, многочлен Р(х) — дільником, а многочлен Q(x) — часткою.

Якщо один многочлен не ділиться націло на інший, то розглядається ділення з остачею.

Поділити многочлен F(x) на многочлен Р(х) з остачею — означає подати многочлен F(x) у вигляді F(x) = Р(х) · Q(x) + R(x), де степінь многочлена R(х) менший від степеня многочлена Р(х). Многочлен R(x) називають остачею.

Розглянемо, як можна виконувати ділення многочлена на многочлен за допомогою алгоритму ділення «кутом» (пригадайте аналогічне правило для ділення чисел).

Приклад 1. Розділіть многочлен:

а) x4 - 2х3 + Зх2 - 2х - 3 на многочлен х2 - х - 1;

б) -Зх5 + 5x4 - 1 на многочлен Зx3 - 2x2 + х - 1.

Розв’язання.

Відповідь.

У першому випадку многочлени поділилися наділо, що дало можли­вість розкласти многочлен вищого степеня (ділене) на множники. Такий підхід часто використовують під час розв’язування рівнянь виду F(x) = 0, де F(x) — многочлен, оскільки рівняння F(x) = 0 і многочлен F(x) мають одні й ті самі корені.

Коренем многочлена F(x) називають число а, якщо виконується умова F(a) = 0.

З деякими властивостями коренів рівнянь і многочленів ви ознайомили­ся в процесі вивчення теореми Вієта. Ще одну цікаву властивість коренів рівнянь і многочленів розкриває теорема Везу.

Теорема Безу. Остача від ділення многочлена F(x) на двочлен х — a дорівнює F(a).

Доведення. На основі ділення многочленів з остачею для будь-якого X ∈ Rвиконується рівність F(x) = Р(х) · Q(x) + R(x), де степінь многочлена R(x) менший від степеня многочлена Р(х). За умовою теореми Р(х) = х - a(має степінь 1), тому R(x) — многочлен нульового степеня або деяке число. Тобто F(x) = (х - а) · Q(x) + r, де r — деяке число.

Якщо в цю рівність підставити значення х = а, матимемо F(a) = 0 + r = r, що й потрібно було довести.

Наслідки з теореми Безу:

1) Многочлен F(x) ділиться на х - а без остачі тоді й тільки тоді, коли число а є коренем многочлена F(x).

2) Якщо а1, а2, а3, …, аk— різні корені многочлена F(x) (F(x) ≢ 0), то F(x) = (х - а1) · (х - а2) · (х - а3) · … · (х - аk) · Q(x), де Q(x) — деякий многочлен.

3) Остача від ділення многочлена F(x) на двочлен ах + b дорівнює значенню цього многочлена при х = - , тобто r = F.

Приклад 2. Знайдіть остачу від ділення многочлена:

а) Р(х) = x4 + x3 + Зх2 + 2х + 2 на х - 1;

б) Р(х) = x3 - Зх2 + 5х + 7 на 2х - 1.

Розв’язання.

а) За теоремою Безу маємо: r = Р(1) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 9;

б) за наслідком з теореми Безу маємо: r = Р(0,5) = 0,53 - 3 · 0,52 + 5 · 0,5 + 7 = 8,875.

Приклад 3. Доведіть, що многочлен F(x) = х7 - 15x6 + 37x4 - 16х2 - 7 ділиться націло на х - 1, але не ділиться без остачі на х + 1.

Розв’язання. Оскільки Р(1) = 1 - 15 + 37 - 16 - 7 = 0, тобто х = 1 — корінь многочлена F(x), то за наслідком 1 многочлен F(x) ділиться на х - 1. Оскільки Р(-1) = -1 - 15 + 37 - 16 - 7 = -2, то многочлен F(x) не ділиться без остачі на х + 1.

Теорема Безу дає змогу знайти остачу від ділення многочлена F(x) на двочлен, не виконуючи самого ділення. Але вона не дає можливості знай­ти частку від цього ділення. Ділення многочлена на двочлен, що замінює ділення «кутом», можна здійснити за схемою, яка називається схемою Горнера (детальніше про це в рубриці «Хочете знати більше»).

Ділення многочленів і розкладання їх на множники використовують під час розв’язування цілих раціональних рівнянь і нерівностей. Для розв’язування окремих видів рівнянь зручно користуватися таким правилом.

Якщо ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння х3 + 6х2 + 10х + 5 = 0.

Розв’язання. Дільниками його вільного члена є числа -5, -1, 1 і 5. Додатні числа не можуть бути коренями цього рівняння, бо всі його члени мають додатні коефіцієнти, а сума додатних чисел — число додатне.

Залишилось перевірити два числа: -5 і -1.

Якщо х = -1, то (-1)3 + 6(-1)2 + 10(-1) + 5 = -1 + 6 - 10 + 5 = 0.

Отже, х = -1 — корінь рівняння х3 + 6х2 + 10х + 5 = 0.

У цьому випадку многочлен х3 + 6х2 + 10х + 5 можна поділити на многочлен х - (-1) = х + 1 без остачі.

Маємо: х3 + 6х2 + 10х + 5 = (х +1) (х2 + 5х + 5), тобто рівняння х3 + 6х2 + 10х + 5 = 0 і (х + 1)(х2 + 5х + 5) = 0 рівносильні. Останнє рівняння рівносильне сукупності рівнянь х+ 1 = 0 і х2 + 5х + 5 = 0.

Відповідь.

Це рівняння можна розв’язати, розклавши ліву частину на множники іншим способом. Зробіть це самостійно.

Хочете знати ще більше?

Якщо многочлен Рn(х) = а0хn + а1хn-1 + а2хn-2 + … + аn-1х + аn поділити на х - а, то для будь-якого х ∈ R правильною буде рівність Рn(х) = Qn-1, (х)(х - а) + r. Тобто:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, отримаємо співвід­ношення між аn і bn і внесемо їх у таблицю.


ао

а1


аn-1

аn

а

bо = ао

b1 = а · b0 + а1


b=а · bn-2 + аn-2

r0 = а · bn-1 + аn

Такий алгоритм визначення частки й остачі при діленні многочлена на двочлен називають схемою Горнера (на честь англійського математика Вільяма Джорджа Горнера).

Приклад. Поділити многочлен -х5 + 4x3 + 32 - 8х2 на х + 2 за схемою Горнера. Запишемо коефіцієнти діленого в перший рядок таблиці. Дільник подамо у вигляді х + 2 = х - (-2). Число -2 запишемо в першому стовпчи­ку. Виконаємо дії, зазначені в таблиці.


-1

0

4

-8

0

32

-2

-1

2

0

-8

16

0

Отримали частку -х4 + 2х3 - 8х + 16. Цей многочлен ділиться на х - 2. Виконайте це ділення самостійно, склавши аналогічну таблицю або про­довживши попередню.

Перевірте себе

1. Що таке многочлен?

2. Що називають коренем многочлена?

3. Сформулюйте теорему Везу.

4. Сформулюйте наслідки з теореми Везу.

5. Яку властивість мають цілі корені цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть рівняння х4 - 2х3 - 18x2 - 6х + 9 = 0.

Розв’язання. Дільниками вільного члена рівняння є числа: ±1; ±3; ±9. Додатні числа не можуть бути коренями цього рівняння (перевірте). Підстановкою переконуємося, що числа -1 і -3 є коренями цього рівняння, а тому многочлен х4 - 2х3 - 18x2 - 6х + 9 ділиться націло на многочлен х2 + 4х + 3 = (х + 1)(х + 3). Виконаємо ділення кутом або почергово схе­мою Горнера.


1

-2

-18

-6

9

-1

1

-3

-15

9

0

-3

1

-6

3

0


Маємо: х4 - 2х3 - 18х2 - 6х + 9 = (х + 1)(х + 3)(х2 - 6х + 3).

Рівняння х2 - 6х + 3 = 0 має корені х3,4 = 3±.

Відповідь. {-3; -1; 3 -; З + .}.

2. Знайдіть усі цілі значення а і b, при яких многочлен F(x) = х3 + ах2 - х + b ділиться на х2 - 1.

Розв’язання. Якщо многочлен F(x) ділиться на х2 - 1, то ділиться на х - 1 і на х + 1. Тому F(1) = 0 і -F(-1) = 0. Для цілих а і bмаємо:

Відповідь. b = - а, а Z.

3. Знайдіть за схемою Горнера неповну частку і остачу від ділення многочлена х5 - х3 + х - 3 на двочлен х + 1.

Розв’язання.


1

0

-1

0

1

-3

-1

1

-1

0

0

1

-4

Відповідь. х5 - х3 + х - 3 = (х + 1)(х4 - х3 + 1) - 4.

Виконайте усно

205. На який із двочленів ділиться многочлен х3 + 8? А х3 - 8?

а) х + 8;

б) х - 4;

в) х + 4;

г) х + 2;

ґ) х - 2.

206. На який многочлен ділиться многочлен x3 + 2х2 + x?

а) х + 2;

б) х - 2;

в) х + 1;

г) х;

ґ) х - 1;

д) х2 + 2х + 1.

207. Знайдіть частку від ділення многочлена Р(х) на Q(х), якщо:

а) Р(х) = х3 + 1, Q(х) = х + 1;

б) Р(х) = х4 - 1, Q(х) = х2 - 2х + 1;

в) Р(х) = х3 - 1, Q(х) = х2 + х + 1;

г) Р(х) = х4 - 1, Q(х) = х - 1.

208. Назвіть дільники вільного члена многочлена х4 - 2х3 - 18х2 - 6х + 12.

209. Чи ділиться многочлен х5 + 6х4 - 2х3 - 18х2 - 6х + 12 на двочлен х - 5?

Рівень А

210. Знайдіть остачу від ділення многочлена х4 + х3 - Зх2 - 7х - 6 на двочлен:

а) х + 1;

б) х - 2;

в) х + 3;

г) х - 4.

211. Знайдіть остачу від ділення многочлена Зх4 - 8х3 + 2х2 + 5х - 2 на двочлен:

а) х + 1;

б) х - 2;

в) х + 3;

г) х - 4.

212. Доведіть, що многочлен F(х) ділиться націло на двочлен Р(х), якщо:

а) F(х) = х4 - 5х3 + 4х2 + Зх + 2, а Р(х) = х - 2;

б) F(х) = х3 + 4х2 - х - 6, а Р(х) = х + 3.

213. Доведіть, що многочлен F(х) ділиться націло на многочлен Р(х), якщо:

а) F(х) = 2х4 + 5х3- 4х2 - 2х + 20, а Р(х) = х + 2;

б) F(х) = Зх3 + 4х2 - х - 6, а Р(х) = х - 3.

214. Доведіть, що многочлен F(х) не ділиться націло на двочлен Р(х), якщо:

а) F(х) = 5х3 + 4х2 + Зх + 2, а Р(х) = х - 2;

б) F(х) = 4х3 + х2 - х - 6, а Р(х) = х + 3.

215. Знайдіть неповну частку та остачу від ділення многочлена х2 - 4х - 6 на многочлен:

а) х + 1;

б) х - 2;

в) х + 3;

г) х - 4.

216. Знайдіть неповну частку та остачу від ділення многочлена х4 - 5х3 + 4х2 + 3х + 2 на многочлен:

а) х - 1;

б) х +1;

в) х - 3;

г) х + 4.

217. Виконайте ділення «кутом»:

а) х3 - 9х2 + 23х - 15 на х + 1; х - 3; х - 5;

б) 2х3 + х2 - 1Зх + 6 на х + 3; х - 2; 2х - 1.

218. Доберіть цілий корінь рівняння:

а) х4 + 6х3 - Зх2 + 8 = 0;

б) х4 - Зх3 + 2х2 + 5х - 1 = 0.

Розв’яжіть рівняння (219-221).

219.

а) х3 + 5х2 + Зх - 9 = 0;

б) х4 +2х3 + Зх2 + 2х + 1 = 0.

220.

а) 2х3 + Зх2 + 6х + 5 = 0;

б) х4 + 2х3 - 8х - 16 = 0.

221.

а) х3 + Зх2 - 2х - 2 = 0;

б) х4 - 2х3 + Зх2 - 6х = 0.

Рівень Б

222. Знайдіть остачу від ділення многочлена 3х4 - 8х3 + 2х2 + 5х - 2 на двочлен:

а) Зх + 1;

б) Зх - 1;

в) Зх + 2;

г) Зх - 2.

223. Знайдіть остачу від ділення многочлена 5х4 + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 на многочлен:

а) х2 + 2х - 2;

б) 5х2 + х + 4;

в) 2х + 5;

г) Зх - 2.

Виконайте ділення «кутом» (224 - 225).

224. 4х4 + 12х3 - 47х2 + 12х + 4 на:

а) 2х2 - 5х + 2;

б) 2х2 + 11х + 2;

в) 4х3 + 20х2 - 7х - 2.

225. 5х4 + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 на:

а) х2 + х - 2;

б) 5х2 + 4х + 4;

в) 5х3 - х2 - 4.

226. Знайдіть кратність кореня х = 2 для многочлена Р(х), якщо:

а) Р(х) = х4 - 4х3 + 7х2 - 12х + 12;

б) Р(х) = х5 + 7х4 + 16х3 +8х2 - 16х - 16.

Розкладіть многочлен на множники (227 - 228).

227.

а) х4 + 4х3 + х2 - 6х;

б) 2х4 - 21х3 +74х2 - 105х + 50.

228.

а) х4 + 9х3 + 23х2 + 15х;

б) х5 + 4х4 - 6х3 - 24х2 - 27х - 108 = 0.

Розв’яжіть рівняння (229 - 232).

229.

а) х3 - 2х2 - х + 2 = 0;

б) х3 + 2х2 - 5х - 6 = 0;

в) х4 + х3 + 2х2 - 3х - 3 = 0.

230.

а) х4 + х3 - х2 - х = 0;

б) х3 - 2х2 + х - 2 = 0;

в) х5 - 2х4 + х3 - 8х2 + 16х - 8 = 0.

231.

а) х4 - 5х3 + 5х2 - х = 0;

б) х4 + х3 - 7х2 - х + 6 = 0;

в) х6 - 4х4 - х3 + 4х = 0.

232.

а) х4 + 2х3 - 5х2 - 6х = 0;

б) х4 - 2х3 - 9х2 + 2х + 8 = 0;

в) х6 - х4 - 8х3 + 8х = 0.

233. Доведіть, що многочлен хn - аn ділиться на х - а без остачі при будь-якому n, n N.

Рівень В

234. Доведіть тотожність:

Розв’яжіть рівняння (235 - 236).

235.

236.

237. Знайдіть область визначення функції:

238. Побудуйте графік функції:

239. При яких значеннях а і b многочлен: х4 +ах3 +bх2 + 3х - 9 ділиться без остачі на х2 - 4х + 3?

240. При яких значеннях а і b многочлен 2х3 + ах2 - 8х + b ділиться без остачі на х2 - 5х + 6?

241. При якому значенні а многочлен:

а) х3 - 2х2 - ах - 6 ділиться без остачі на х2 + х + 2;

б) х3 + 6х2 + ах + 5 ділиться без остачі на х2 + х + 1?

242. При яких значеннях а і b многочлен х3 + ах2 + 2bх + а + b при ділен­ні на х -1 дає в остачі 4, а при діленні на х -2 дає в остачі З?

243. Остачі від ділення многочлена Р(х) на двочлени х -2 і х -4 відпо­відно дорівнюють 3 і 5. Знайдіть остачу від ділення многочлена Р(х) на многочлен х2 - 6х + 8.

Вправи для повторення

244. Побудуйте графік функції у = (х + З)2 + 2. Знайдіть проміжки знакосталості та монотонності. Чи має функція найменше значення? А най­більше?

245. Обчисліть:

246. Розв’яжіть нерівність: 6(х - 1) - 4(х + 2) > -9(х + 1) + х.

247. Волонтерство — добровільна безкорисна суспільно корисна діяльність. В Україні 80 % волонтерів складає молодь, з яких 72 % - жінки. Який відсоток усіх волонтерів становлять молоді чоловіки? Чи займалися ви чи хто-небудь з вашої родини волонтерством?






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити