Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
§ 5 Метод інтервалів
Деякі види нерівностей (лінійні, квадратні) ви навчилися розв’язувати в попередніх класах. Розглянемо більш загальний метод розв’язування нерівностей — метод інтервалів.
Для початку розв’яжемо одну з нерівностей графічно.
Приклад 1. Розв’яжіть графічно нерівність х(х - 2) (х - 1) (х + 1) (х + 2) > 0.
Розв’язання. Графік функції у = х(х - 2) (х - 1) (х + 1) (х + 2) зображений на малюнку 54. Це неперервна (суцільна) крива, що перетинає вісь х у точках -2, -1, 0, 1 і 2. На графіку добре видно проміжки знакосталості. Якщо аргумент х належить проміжкам (-2; -1), (0; 1) і (2; ∞), то функція набуває додатних значень. В інших точках значення функції від’ємні або дорівнюють 0.
Отже, розв’язком нерівності х(х - 2)(х - 1 )(х + 1)(х + 2) > 0 є множина (-2; -1) ⋃ (0; 1) ⋃ (2; ∞) (мал. 53).
Чи завжди потрібно будувати графік, щоб встановити проміжки знакосталості для функції, що задається многочленом чи добутком кількох многочленів? Ні. Використовують таку властивість: Якщо функція f(x) неперервна і не дорівнює нулю в жодній точці проміжку (а; b), то вона на цьому проміжку зберігає знак.
Тобто її значення на всьому проміжку тільки додатні або тільки від’ємні. Доведення цієї властивості є в курсах математичного аналізу. Ми ж обмежимося тільки наочним поясненням.
Якщо графік неперервної функції на проміжку (а; b) не перетинає вісь Ох, то весь він на цьому проміжку розміщується вище від осі Ох або нижче від неї.
На цій властивості неперервних функцій ґрунтується і метод інтервалів, яким зручно розв’язувати нерівності.
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність (х - 2)(х + 3)(х + 5) < 0.
Розв’язання. Функція f(x) = (х - 2)(х + 3)(х + 5) визначена на R.
Її значення дорівнюють нулю в трьох точках: х = -5, х = -3 і х = 2. Ці точки числову вісь Rрозбивають на 4 проміжки: (- ∞; -5), (-5; -3), (-3; 2), (2; ∞). У кожному з цих проміжків значення функції f(x) не дорівнює 0, тому на кожному з цих проміжків функція f(х) зберігає знак.
Мал. 53
Які саме знаки, неважко визначити й усно: f(-10) < 0,f(-4) > 0, f(0) < 0, f(10) > 0. Отже, схематично графік функції у = f(х) можна зобразити, як показано на малюнку 54. Дивлячись на малюнок, відразу можна написати відповідь:(- ∞; -5) ⋃ (-3; 2).
Зауваження. Не треба думати, що знаки неперервної функції f(x) в сусідніх (суміжних) проміжках завжди різні. Інколи в таких проміжках знаки функції однакові. Подібне трапляється, коли функція містить парні степені множників чи їх модулі. Адже вони невід’ємні і на знак функції не впливають.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність (х - 1)(х - 2)2(х - 3) > 0.
Розв’язання. Функція f(х) = (х - 1)(х - 2)2(х - 3) визначена на R.
Її значення дорівнюють нулю в трьох точках: х = 1, х = 2 і х = 3. Ці точки числову вісь R розбивають на 4 проміжки: (- ∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; ∞). На кожному з цих проміжків функція f(x) зберігає знак: f(0) > 0, f(1,5) < 0, f(2,5) < 0, f(4) > 0.
Отже, схематично графік функції у = f(х) можна зобразити, як показано на малюнку 55, дивлячись на який відразу можна написати відповідь:(- ∞; 1] ⋃ {2} ⋃ [3; +∞).
Описаний спосіб розв’язування нерівності називають методом інтервалів.
За допомогою методу інтервалів розв’язують нерівності, у яких одна частина є неперервною функцією, а інша — нулем. Насамперед це стосується цілих раціональних нерівностей, оскільки їх можна звести до вигляду Р(х) <0 або Р(х) > 0, де Р(х) — ціла раціональна функція, яка завпеди неперервна на множині R.
Щоб розв’язати цілу раціональну нерівність Р(х) < 0, користуються таким алгоритмом:
1) знайти точки, у яких функція Р(х) дорівнює нулю (тобто розв’язати рівняння Р(х) = 0);
2) на числову вісь нанести знайдені точки, які розбивають її на проміжки, на кожному з яких функція Р(х) зберігає знак;
3) на кожному з проміжків вибрати по одній точці, визначити знак функції Р(х) у цих точках, а отже, і на відповідному проміжку;
4) вибрати проміжки, на яких Р(х) < 0, і записати відповідь у вигляді об’єднання цих проміжків.
Аналогічно розв’язують нерівності виду Р(х) > 0, Р(х) ≤ 0 або Р(х) ≥ 0.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 4. Розв’яжіть нерівність (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) < 0.
Розв’язання. 1) Знайдемо корені рівняння (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) = 0 як корені сукупності рівнянь х2 - 4 = 0 або х2 - 8х + 15 = 0. Маємо: х1 = -2, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 5.
Мал. 55
Мал. 54
2) Нанесемо знайдені точки на числову вісь: утворилося п’ять проміжків (мал. 56).
3) Виберемо по одній точці на кожному з проміжків і визначимо знак функції у = (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) у цих точках: -3(-∞;-2), у(-3) = 5 · 48 > 0;
Мал. 56
0(-2;2), y(0) = -4 · 15 < 0; 2,5
(2;3), у(2,5) = 2,25 · 1,25 > 0; 4
(3;5), у(4) = 12 · (-1) < 0; 6
(5; + ∞), у(6) = 32 · 3 > 0.
Мал. 57
Поставимо відповідні знаки на кожному із проміжків (мал. 57).
4) Виберемо проміжки, на яких функція у =(х2 - 4)(х2 - 8х + 15) має знак «-», і запишемо відповідь як об’єднання відповідних проміжків.
Відповідь. (-2; 2) ⋃ (3; 5).
Примітка. Множина розв’язків нерівності (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) ≤ 0 містить точки х1 = -2, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 5, а тому має вигляд: [-2; 2] ⋃ [3; 5].
За допомогою малюнка 57 легко записати множини розв’язків нерівностей (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) > 0 і (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) > 0.
Це множини: (-∞; -2) У (2; 3) У (5; + ∞) і (-∞; -2] ⋃ [2; 3] ⋃ [5; +∞).
Оскільки дробово-раціональна функція не завжди визначена на всій множині R, то для розв’язування дробових нерівностей (особливо нестрогих) зручно користуватися рівносильним переходом до змішаної системи, яка містить цілу нерівність і умову нерівності знаменника нулю. З цією метою обидві частини дробово-раціональної нерівності — ≤ 0 домножують (усно)на квадрат знаменника. Маємо:
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність
Розв’язання.
Спростимо ліву частину нерівності (5х2 - 2х - 3)(х2 + х - 2) ≥ 0, розклавши на множники многочлени 5х2 - 2х - 3 = (х - 1)(5х + 3) і х2 + х - 2 = (х - 1)(х + 2). Отримаємо рівносильну їй нерівність (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) ≥ 0. Розв’яжемо її за вище описаним алгоритмом.
Рівняння (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) = 0 має корені х1 = 1, х2 = -2, х3 = -0,6. Відкладемо їх на числовій прямій у вигляді зафарбованих і порожніх кружечків, урахувавши умову нерівності знаменника нулю. За допомогою окремих точок знайдемо знак функції у = (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) на кожному з утворених проміжків (мал. 58).
Мал. 58
Вибираємо проміжки, на яких функція у = (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) має знак «+», і записуємо відповідь як об’єднання відповідних проміжків і чисел, які відповідають зафарбованим кружечкам.
Відповідь. (-∞; - 2) ⋃ [- 0,6; 1) ⋃ (1; +∞).
Примітка. Якщо праву частину нерівності — ≥ 0 скоротити на х - 1, то одержимо нерівність
> 0, яка не рівносильна даній.
Перевірте себе
1. У чому полягає сутність методу інтервалів?
2. Як розв’язати цілу нерівність методом інтервалів?
3. Як розв’язати методом інтервалів дробову нерівність?
Виконаємо разом
1. Розв’яжіть нерівність 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х > 0. Розв’язання. Винесемо змінну х за дужки у многочлені в лівій частині. Маємо: 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х = х(2х4 - 21х3 + 74х2 - 105х + 50). Випишемо дільники вільного члена многочлена, що у дужках, і знайдемо його корені: ±1; ±2; ±5; ±10….
Від’ємні числа не можуть бути коренями цього многочлена (обґрунтуйте). Перевіркою встановлюємо, що коренями є числа 1 і 2.
Ще 2 корені (5 і 2,5) знаходимо, скориставшись схемою Горнера чи діленням кутом.
Отже, многочлен, що стоїть у лівій частині, має 5 коренів (0; 1; 2; 2,5; 5). Відкладемо їх на числовій прямій у вигляді порожніх кружечків. За допомогою окремих точок знайдемо знак функції у = 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х на кожному з утворених проміжків, скориставшись EXCEL(мал. 59).
Маємо: f(-1) < 0, f(0,5) > 0; f(1,5) < 0,f(2,25) > 0, f(2,75) < 0, f(6) > 0.
Використовуючи малюнок 60, можемо записати розв’язки нерівності (0; 1) ⋃ (2; 2,5) ⋃ (5; ∞).
Відповідь. (0; 1) ⋃ (2; 2,5) ⋃ (5; ∞).
Мал. 59
Мал. 60
2. Розв’яжіть нерівність
Розв’язання. Перенесемо всі члени нерівності в ліву частину і зведемо їх до спільного знаменника. Отримаємо рівносильну нерівність
або
Остання нерівність рівносильна системі
Позначимо на числовій осі точки 0,1, 3 і -3 і визначимо знак лівої частини нерівності на кожному з утворених інтервалів (мал. 61).
Вибираємо проміжки зі знаком «-» і записуємо відповідь як об’єднання відповідних проміжків і чисел, які відповідають зафарбованим кружечкам.
Відповідь. (-∞; -3) ⋃ {0; 1} ⋃ (3; +∞).
Мал. 61
Виконайте усно
248. Чи є розв’язком нерівності Зх - 2 > 5х + 1 число:
а) 0;
б) -10;
в) 10;
г) (-2)2;
ґ) -22?
249. Чи має розв’язки нерівність:
а) х4 ≤ 0;
б) |х| ≥ -10;
в) х2 < 0;
г) х2 > -1;
ґ)|х - 1|<-1?
Розв’яжіть нерівність (250-252).
250.
а) 2х ≤ 5;
б) 15 ≥ Зх;
в) -5х < 10;
г) -0,5х > 1.
251.
а) х + 2 ≤ 5;
б) 15 ≥ 3 + х;
в) -5 + х < 10;
г) х - 1 > 1.
252.
а) х2 < 1;
б) х2 > 4;
в) х3 ≥ 8;
г) х3 < -1.
253. Чи рівносильні нерівності:
а) х2 - 4 ≤ 0 і х ≤ 2;
б) -0,5х > 1 і 4х + 8 < 0;
в) х2 - 5 < 0 і (х - 5)2 < 0?
Рівень А
254. Які з чисел -3; -2; -1; 0,1; 2; 3 задовольняють нерівність:
а) 3х > 7;
б) -2х < 5;
в) х + 2 ≥ 0;
г) 5 - х < 0?
255. Які з чисел -2; -; -1; 0; 1 задовольняють нерівність:
а) 7х - 5 > 2х + 3;
б) 5 - 3х > х - 1;
в) х2 < 3х + 1?
256. Яке найменше натуральне число є розв’язком нерівності:
а) 4(х - 1) < 7х + 2;
б) 4х - 9 ≥ 3(х - 2);
в) 2(3х - 5) ≥ 5(2х - 3);
г) 5(х - 2) + 2 > 3х?
257. Яке найбільше натуральне число є розв’язком нерівності:
а) 4(х + 2) > 5(х - 1);
б) 7(х - 1) ≤ 17 + 5х;
в) 3(2х - 4) ≥ 9х - 17;
г) 0,3(х - 2) > 0,5(х - 3)?
Розв’яжіть нерівність (258 - 261).
258.
а) х2 + 2х > 0;
б) х2 - х ≥ 0;
в) 2х2 + 5х ≤ 0;
г) Зх2 - х < 0.
259.
а) х2 - Зх + 2 > 0;
б) х2 - х - 2 < 0;
в) х2 + 5х + 6 < 0;
г) х2 + 2х - 15 ≥ 0.
260.
а) Зх2 - х - 4 > 0;
б) 6х2 + 5х + 1 < 0;
в) 5х2 - 2х - 3 > 0;
г) 10х2 - 9х + 2 < 0.
261.
а) х2 + 10х + 25 > 0;
б) 4х2- 12х + 9 < 0;
в) 9х2 + 6х + 1 < 0;
г) х2 - 4х + 4 > 0.
Знайдіть розв’язки нерівності (262 - 265).
262.
а) (2х + 1)(х + 1) > 0;
б) (х - 7)(3х + 1) < 0;
в) (Зх - 2)(2х + 3) > 0;
г) (2х - 5)(3х - 6) > 0.
263.
а) (х - 1)(2 - х) > 0;
б) (3 - х)(5 + х) ≤ 0;
в) (3 + х)(х + 7) < 0;
г) (5 - х)(1 - х) ≥ 0.
264.
265.
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (266 - 269).
266.
а) (5 + х)(х - 7)(х + 3) > 0;
б) (х - 7)(х + 3)(х - 1) < 0;
в) (х + 2)(х+1)(х- 5) ≤ 0.
267.
а) (х + 1)(х - 2)(х + 3) ≤ 0;
б) (х + 1)(х - 3)(х + 6) > 0;
в) (х - 2)(х + 1)(х - 11) < 0.
268.
а) х(х - 3)(х + 2)< 0;
б) (х - 2)(х + 1)(х - 1) ≥ 0;
в) (х - 4)(х - 5)(х - 6) ≥ 0.
269.
а) (2х - 3)(3х - 5)(х + 6) ≤ 0;
б) х(х + 4)(х2 + 2) < 0;
в) (3х - 4)(2х + 3)(х - 7) ≥ 0.
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (274 - 279).
274.
275.
276.
277.
278.
279.
Розв’яжіть нерівність (280 - 281) і встановіть кількість її цілих розв’язків з проміжку [-5; 5].
280.
281.
Розв’яжіть дробово-раціональну нерівність (282 - 285).
282.
283.
284.
285.
Рівень В
Розв’яжіть нерівність (286 - 287).
286.
287.
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (288 - 292).
288.
289.
290.
291.
292.
Розв’яжіть нерівність з модулем (293 - 294).
293.
294.
Знайдіть область визначення функції (295-296).
295.
296.
Розв’яжіть систему нерівностей (297 - 298).
297.
298.
Для кожного значення а розв’яжіть нерівність (299 - 300).
299.
300.
Розв’яжіть нерівність (301 - 305).
301.
302.
303.
304.
305.
Вправи для повторення
306. Знайдіть переріз та об’єднання множин А і В, якщо:
а) А = {0, 2, 4, 6}, В = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3};
б) А = (-7; 7), В = (-∞; -1] ⋃ [3; 5).
307. Задача Леонардо Ліванського. Знайдіть число, якого дорівнюють квадрату самого числа.
308. Розв’яжіть рівняння:
а) |2х| = 5;
б) |2х + 3| = 5;
в) |2 - х| = -12;
г) |2х| = (-2)2