Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 5 Метод інтервалів

Деякі види нерівностей (лінійні, квадратні) ви навчилися розв’язувати в попередніх класах. Розглянемо більш загальний метод розв’язування нерівностей — метод інтервалів.

Для початку розв’яжемо одну з нерівностей графічно.

Приклад 1. Розв’яжіть графічно нерівність х(х - 2) (х - 1) (х + 1) (х + 2) > 0.

Розв’язання. Графік функції у = х(х - 2) (х - 1) (х + 1) (х + 2) зображе­ний на малюнку 54. Це неперервна (суцільна) крива, що перетинає вісь х у точках -2, -1, 0, 1 і 2. На графіку добре видно проміжки знакосталості. Якщо аргумент х належить проміжкам (-2; -1), (0; 1) і (2; ∞), то функція набуває додатних значень. В інших точках значення функції від’ємні або дорівнюють 0.

Отже, розв’язком нерівності х(х - 2)(х - 1 )(х + 1)(х + 2) > 0 є множина (-2; -1) ⋃ (0; 1) ⋃ (2; ∞) (мал. 53).

Чи завжди потрібно будувати графік, щоб встановити проміжки знакосталості для функ­ції, що задається многочленом чи добутком кількох многочленів? Ні. Використовують таку властивість: Якщо функція f(x) неперервна і не дорівнює нулю в жодній точці проміжку (а; b), то вона на цьому проміжку зберігає знак.

Тобто її значення на всьому проміжку тільки додатні або тільки від’ємні. Доведення цієї влас­тивості є в курсах математичного аналізу. Ми ж обмежимося тільки наочним поясненням.

Якщо графік неперервної функції на проміжку (а; b) не перетинає вісь Ох, то весь він на цьому проміжку розміщується вище від осі Ох або нижче від неї.

На цій властивості неперервних функцій ґрунтується і метод інтер­валів, яким зручно розв’язувати нерівності.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність (х - 2)(х + 3)(х + 5) < 0.

Розв’язання. Функція f(x) = (х - 2)(х + 3)(х + 5) визначена на R.

Її значення дорівнюють нулю в трьох точках: х = -5, х = -3 і х = 2. Ці точки числову вісь Rрозбивають на 4 проміжки: (- ∞; -5), (-5; -3), (-3; 2), (2; ∞). У кожному з цих проміжків значення функції f(x) не дорівнює 0, тому на кожному з цих проміжків функція f(х) зберігає знак.

Мал. 53

Які саме знаки, неважко визначити й усно: f(-10) < 0,f(-4) > 0, f(0) < 0, f(10) > 0. Отже, схематично графік функ­ції у = f(х) можна зобразити, як показано на малюнку 54. Дивлячись на малюнок, відразу можна написати відповідь:(- ∞; -5) ⋃ (-3; 2).

Зауваження. Не треба думати, що знаки неперервної функції f(x) в сусідніх (суміжних) проміжках завжди різні. Інколи в таких проміжках знаки функції однакові. Подібне трапляється, коли функція містить парні степені множників чи їх модулі. Адже вони невід’ємні і на знак функції не впливають.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність (х - 1)(х - 2)2(х - 3) > 0.

Розв’язання. Функція f(х) = (х - 1)(х - 2)2(х - 3) визначена на R.

Її значення дорівнюють нулю в трьох точках: х = 1, х = 2 і х = 3. Ці точки числову вісь R розбивають на 4 проміжки: (- ∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; ∞). На кожному з цих проміжків функція f(x) зберігає знак: f(0) > 0, f(1,5) < 0, f(2,5) < 0, f(4) > 0.

Отже, схематично графік функції у = f(х) можна зобразити, як показа­но на малюнку 55, дивлячись на який відразу можна написати відповідь:(- ∞; 1] ⋃ {2} ⋃ [3; +∞).

Описаний спосіб розв’язування нерівності називають методом інтервалів.

За допомогою методу інтервалів розв’язують нерівності, у яких одна частина є неперервною функцією, а інша — нулем. Насамперед це стосуєть­ся цілих раціональних нерівностей, оскільки їх можна звести до вигляду Р(х) <0 або Р(х) > 0, де Р(х) — ціла раціональна функція, яка завпеди неперервна на множині R.

Щоб розв’язати цілу раціональну нерівність Р(х) < 0, користуються таким алгоритмом:

1) знайти точки, у яких функція Р(х) дорівнює нулю (тобто розв’язати рівняння Р(х) = 0);

2) на числову вісь нанести знайдені точки, які розбивають її на проміж­ки, на кожному з яких функція Р(х) зберігає знак;

3) на кожному з проміжків вибрати по одній точці, визначити знак функції Р(х) у цих точках, а отже, і на відповідному проміжку;

4) вибрати проміжки, на яких Р(х) < 0, і записати відповідь у вигляді об’єднання цих проміжків.

Аналогічно розв’язують нерівності виду Р(х) > 0, Р(х) ≤ 0 або Р(х) ≥ 0.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) < 0.

Розв’язання. 1) Знайдемо корені рівняння (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) = 0 як корені сукупності рівнянь х2 - 4 = 0 або х2 - 8х + 15 = 0. Маємо: х1 = -2, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 5.

Мал. 55

Мал. 54

2) Нанесемо знайдені точки на число­ву вісь: утворилося п’ять проміжків (мал. 56).

3) Виберемо по одній точці на кожному з проміжків і визначимо знак функ­ції у = (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) у цих точках: -3(-∞;-2), у(-3) = 5 · 48 > 0;

Мал. 56

0(-2;2), y(0) = -4 · 15 < 0; 2,5 (2;3), у(2,5) = 2,25 · 1,25 > 0; 4(3;5), у(4) = 12 · (-1) < 0; 6(5; + ∞), у(6) = 32 · 3 > 0.

Мал. 57

Поставимо відповідні знаки на кожному із проміжків (мал. 57).

4) Виберемо проміжки, на яких функ­ція у =(х2 - 4)(х2 - 8х + 15) має знак «-», і запишемо відповідь як об’єднання від­повідних проміжків.

Відповідь. (-2; 2) ⋃ (3; 5).

Примітка. Множина розв’язків нерівності (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) ≤ 0 містить точки х1 = -2, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 5, а тому має вигляд: [-2; 2] ⋃ [3; 5].

За допомогою малюнка 57 легко записати множини розв’язків нерівно­стей (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) > 0 і (х2 - 4)(х2 - 8х + 15) > 0.

Це множини: (-∞; -2) У (2; 3) У (5; + ∞) і (-∞; -2] ⋃ [2; 3] ⋃ [5; +∞).

Оскільки дробово-раціональна функція не завжди визначена на всій множині R, то для розв’язування дробових нерівностей (особливо нестрогих) зручно користуватися рівносильним переходом до змішаної системи, яка містить цілу нерівність і умову нерівності знаменника нулю. З цією метою обидві частини дробово-раціональної нерівності — ≤ 0 домножують (усно)на квадрат знаменника. Маємо:

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання.

Спростимо ліву частину нерівності (5х2 - 2х - 3)(х2 + х - 2) ≥ 0, розклавши на множники многочлени 5х2 - 2х - 3 = (х - 1)(5х + 3) і х2 + х - 2 = (х - 1)(х + 2). Отримаємо рівносильну їй нерівність (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) ≥ 0. Розв’яжемо її за вище описаним алгоритмом.

Рівняння (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) = 0 має корені х1 = 1, х2 = -2, х3 = -0,6. Відкладемо їх на числовій прямій у вигляді зафарбова­них і порожніх кружечків, урахувавши умову нерівності знамен­ника нулю. За допомогою окремих точок знайдемо знак функції у = (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) на кожному з утворених проміжків (мал. 58).

Мал. 58

Вибираємо проміжки, на яких функція у = (х - 1)2(х + 2)(5х + 3) має знак «+», і записуємо відповідь як об’єднання від­повідних проміжків і чисел, які відповіда­ють зафарбованим кружечкам.

Відповідь. (-∞; - 2) ⋃ [- 0,6; 1) ⋃ (1; +∞).

Примітка. Якщо праву частину нерівності — ≥ 0 скоротити на х - 1, то одержимо нерівність > 0, яка не рівносильна даній.

Перевірте себе

1. У чому полягає сутність методу інтервалів?

2. Як розв’язати цілу нерівність методом інтервалів?

3. Як розв’язати методом інтервалів дробову нерівність?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть нерівність 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х > 0. Розв’язання. Винесемо змінну х за дужки у многочлені в лівій частині. Маємо: 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х = х(2х4 - 21х3 + 74х2 - 105х + 50). Випишемо дільники вільного члена многочлена, що у дужках, і знайдемо його корені: ±1; ±2; ±5; ±10….

Від’ємні числа не можуть бути коренями цього многочлена (обґрунтуйте). Перевіркою встановлюємо, що коренями є числа 1 і 2.

Ще 2 корені (5 і 2,5) знаходимо, скористав­шись схемою Горнера чи діленням кутом.

Отже, многочлен, що стоїть у лівій частині, має 5 коренів (0; 1; 2; 2,5; 5). Відкладемо їх на числовій прямій у вигляді порожніх кружечків. За допомогою окремих точок знай­демо знак функції у = 2х5 - 21х4 + 74х3 - 105х2 + 50х на кожному з утворених проміжків, скориставшись EXCEL(мал. 59).

Маємо: f(-1) < 0, f(0,5) > 0; f(1,5) < 0,f(2,25) > 0, f(2,75) < 0, f(6) > 0.

Використовуючи малюнок 60, мо­жемо записати розв’язки нерівності (0; 1) ⋃ (2; 2,5) ⋃ (5; ∞).

Відповідь. (0; 1) ⋃ (2; 2,5) ⋃ (5; ∞).

Мал. 59

Мал. 60

2. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Перенесемо всі члени нерівності в ліву частину і зведемо їх до спільного знаменника. Отримаємо рівносильну нерівність

або

Остання нерівність рівносильна системі

Позначимо на числовій осі точки 0,1, 3 і -3 і визначимо знак лівої частини нерівності на кожному з утворених інтер­валів (мал. 61).

Вибираємо проміжки зі знаком «-» і записуємо відповідь як об’єднання відповідних проміжків і чисел, які від­повідають зафарбованим кружечкам.

Відповідь. (-∞; -3) ⋃ {0; 1} ⋃ (3; +∞).

Мал. 61

Виконайте усно

248. Чи є розв’язком нерівності Зх - 2 > 5х + 1 число:

а) 0;

б) -10;

в) 10;

г) (-2)2;

ґ) -22?

249. Чи має розв’язки нерівність:

а) х4 ≤ 0;

б) |х| ≥ -10;

в) х2 < 0;

г) х2 > -1;

ґ)|х - 1|<-1?

Розв’яжіть нерівність (250-252).

250.

а) 2х ≤ 5;

б) 15 ≥ Зх;

в) -5х < 10;

г) -0,5х > 1.

251.

а) х + 2 ≤ 5;

б) 15 ≥ 3 + х;

в) -5 + х < 10;

г) х - 1 > 1.

252.

а) х2 < 1;

б) х2 > 4;

в) х3 ≥ 8;

г) х3 < -1.

253. Чи рівносильні нерівності:

а) х2 - 4 ≤ 0 і х ≤ 2;

б) -0,5х > 1 і 4х + 8 < 0;

в) х2 - 5 < 0 і (х - 5)2 < 0?

Рівень А

254. Які з чисел -3; -2; -1; 0,1; 2; 3 задовольняють нерівність:

а) 3х > 7;

б) -2х < 5;

в) х + 2 ≥ 0;

г) 5 - х < 0?

255. Які з чисел -2; -; -1; 0; 1 задовольняють нерівність:

а) 7х - 5 > 2х + 3;

б) 5 - 3х > х - 1;

в) х2 < 3х + 1?

256. Яке найменше натуральне число є розв’язком нерівності:

а) 4(х - 1) < 7х + 2;

б) 4х - 9 ≥ 3(х - 2);

в) 2(3х - 5) ≥ 5(2х - 3);

г) 5(х - 2) + 2 > 3х?

257. Яке найбільше натуральне число є розв’язком нерівності:

а) 4(х + 2) > 5(х - 1);

б) 7(х - 1) ≤ 17 + 5х;

в) 3(2х - 4) ≥ 9х - 17;

г) 0,3(х - 2) > 0,5(х - 3)?

Розв’яжіть нерівність (258 - 261).

258.

а) х2 + 2х > 0;

б) х2 - х ≥ 0;

в) 2х2 + 5х ≤ 0;

г) Зх2 - х < 0.

259.

а) х2 - Зх + 2 > 0;

б) х2 - х - 2 < 0;

в) х2 + 5х + 6 < 0;

г) х2 + 2х - 15 ≥ 0.

260.

а) Зх2 - х - 4 > 0;

б) 6х2 + 5х + 1 < 0;

в) 5х2 - 2х - 3 > 0;

г) 10х2 - 9х + 2 < 0.

261.

а) х2 + 10х + 25 > 0;

б) 4х2- 12х + 9 < 0;

в) 9х2 + 6х + 1 < 0;

г) х2 - 4х + 4 > 0.

Знайдіть розв’язки нерівності (262 - 265).

262.

а) (2х + 1)(х + 1) > 0;

б) (х - 7)(3х + 1) < 0;

в) (Зх - 2)(2х + 3) > 0;

г) (2х - 5)(3х - 6) > 0.

263.

а) (х - 1)(2 - х) > 0;

б) (3 - х)(5 + х) ≤ 0;

в) (3 + х)(х + 7) < 0;

г) (5 - х)(1 - х) ≥ 0.

264.

265.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (266 - 269).

266.

а) (5 + х)(х - 7)(х + 3) > 0;

б) (х - 7)(х + 3)(х - 1) < 0;

в) (х + 2)(х+1)(х- 5) ≤ 0.

267.

а) (х + 1)(х - 2)(х + 3) ≤ 0;

б) (х + 1)(х - 3)(х + 6) > 0;

в) (х - 2)(х + 1)(х - 11) < 0.

268.

а) х(х - 3)(х + 2)< 0;

б) (х - 2)(х + 1)(х - 1) ≥ 0;

в) (х - 4)(х - 5)(х - 6) ≥ 0.

269.

а) (2х - 3)(3х - 5)(х + 6) ≤ 0;

б) х(х + 4)(х2 + 2) < 0;

в) (3х - 4)(2х + 3)(х - 7) ≥ 0.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (274 - 279).

274.

275.

276.

277.

278.

279.

Розв’яжіть нерівність (280 - 281) і встановіть кількість її цілих розв’язків з проміжку [-5; 5].

280.

281.

Розв’яжіть дробово-раціональну нерівність (282 - 285).

282.

283.

284.

285.

Рівень В

Розв’яжіть нерівність (286 - 287).

286.

287.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (288 - 292).

288.

289.

290.

291.

292.

Розв’яжіть нерівність з модулем (293 - 294).

293.

294.

Знайдіть область визначення функції (295-296).

295.

296.

Розв’яжіть систему нерівностей (297 - 298).

297.

298.

Для кожного значення а розв’яжіть нерівність (299 - 300).

299.

300.

Розв’яжіть нерівність (301 - 305).

301.

302.

303.

304.

305.

Вправи для повторення

306. Знайдіть переріз та об’єднання множин А і В, якщо:

а) А = {0, 2, 4, 6}, В = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3};

б) А = (-7; 7), В = (-∞; -1] ⋃ [3; 5).

307. Задача Леонардо Ліванського. Знайдіть число, якого дорівнюють квадрату самого числа.

308. Розв’яжіть рівняння:

а) |2х| = 5;

б) |2х + 3| = 5;

в) |2 - х| = -12;

г) |2х| = (-2)2






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити