Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§9 Формули зведення

Формулами зведення називають формули, що виражають тригонометричні функції кутів (чисел) через тригонометричні функції кута (числа) а, де а — довільний кут (число).

Формули зведення мають велике практичне застосування. За їх допомогою можна подати значення тригонометричних функцій будь-якого кута (числа) через значення відповідних тригонометричних функцій гострого кута або числа з проміжку

Це дає змогу обмежитися складанням таблиць значень тригонометричних функцій тільки для гострих кутів.

У курсі геометрії було встановлено формули зведення для кутів виду 90° - а і 180° - а. Зокрема, sin(90° - а) = cosa, cos(90°-a) = sina, sin(180° - a) = sina, cos(180° - a) = -cosa. Звідси та на основі означення тангенса й котангенса кута дістаємо такі формули зведення:

Аналогічно ctg(90° - a) = tga, ctg(180° - a) = -ctga.

Використовуючи радіанну міру кута, зазначені формули можна записати у вигляді:

Маючи ці формули, можна дістати всі інші формули зведення. Розглянемо це на прикладі кута виду 90° + а.

Перетворимо вираз 90° + а на такий, для якого формулу зведення вже встановлено. Це перетворення можна здійснити принаймні двома способами. Розглянемо кожний з них.

І спосіб

Запишемо суму 90° + а у вигляді різниці: 90° + a = 90° - (-а). Увівши позначення -а = β, дістанемо: 90° + a = 90° - β. Застосуємо до кута виду 90° - В відомі формули зведення. Маємо:

sin(90° + a) = sin(90° - β) = cosβ,

cos(90° + a) = cos(90° - β) = sinβ,

tg(90° + a) = tg(90° - β) = ctgβ,

ctg(90° + a) = ctg(90° - β) = tgβ.

Оскільки β = -а, то cosβ = cos(-a) = cosa, sinβ = sin(-a) = -sina, tgβ = tg(-a) = -tga, ctgβ = ctg(-a) = -ctga.

Остаточно маємо:

sin(90° + a) = cosa; tg(90° + a) = -ctga;

cos(90° + a) = -sina; ctg(90° + a) = -tga.

II спосіб

Оскільки 90° = 180° - 90°, то 90° + a = 180° - 90° + a = 180° - (90° - a). Позначивши 90° - a = β, застосуємо до кута виду 180° - β відомі формули зведення, а потім знову перейдемо до кута а. Маємо:

sin(90° + a) = sin(180° - β) = sinβ = sin(90° - a) = cosa;

cos(90° + a) = cos(180° - β) = -cosβ = -cos(90° - a) = -sina;

ctg(90° + a) = -tga.

Усі формули зведення подано в таблиці 7.

Таблиия7

Треба пам’ятати, що розглянуті формули справедливі для будь-якого кута (числа) а.

З таблиці видно, що для кутів (чисел) ± а, 2 ± а назва функції, яку зводять, зберігається. Тобто в результаті заміни, наприклад, виразу sin( + а) або tg(2 - а) на простіший дістанемо відповідно синус або тангенс а. Для кутів (чисел) назва функції, яку зводять, замінюється на схожу (кажуть, на кофункцію), тобто синус на косинус, тангенс на котангенс, і навпаки.

Отже, замінюючи, наприклад, вираз на простіший, слід записати відповідно синус або тангенс а.

Знак результату в усіх випадках визначається за знаком функції, яку зводять, у відповідній чверті, зважаючи, що a — гострий кут

Наприклад, кут -а за такої умови розташований у III чверті. Синус у цій чверті від’ємний. Тому

Косинус тут також від’ємний, отже, а тангенс і котангенс — додатні,

Задача 1. Зведіть до тригонометричної функції додатного кута, меншого від 45°: 1) sin143°; 2)cos167°; 3)tg115°.

Розв’язання.

1) Використовуючи кути, що входять до формул зведення, кут 143° можна подати двома способами: 143° = 90° + 53°, або 173° = 180° - 37°. Оскільки, за умовою, треба звести до функції кута, меншого від 45°, то, очевидно, слід скористатися другим записом, тобто 143° = 180° - 37°. Отже, sin143° = sin(180° - 37°). Далі міркуємо так: оскільки міру кута подано через 180°, то в результаті зведення назва функції збережеться, тобто залишиться синус. Кут 180° = 37° є кутом II чверті, тому значення його синуса додатне. Остаточно sin 143° = sin(180° - 37°) = sin37°.

2) cos167° = cos(180°- 13°) = -cos13°;

3) tg115° = tg(90° + 25°) = -ctg25°;

Задача 2. Функцію даного кута зведіть до тієї самої функції гострого кута: 1) sin230°; 2) cos340°; 3) tg 198°; 4) ctg251°.

Розв’язання. Щоб зберегти назву функції, слід скористатися формулами зведення для кутів 180° ± а або 360° ± ос. Зробимо це.

1) sin230° = sin(180° + 50°) = -sin50°;

2) cos340° = cos(360° - 20°) = cos20°;

3) tg198° = tg(180° + 18°) = tg18°;

4) ctg251° = ctg( 180° + 71°) = ctg71°.

З геометрії вам відомі значення синуса, косинуса, тангенса кутів 30°, 45°, 60°:

Оскільки то, знаючи тангенс зазначених кутів, можна знайти значення їх котангенса:

Використовуючи ці значення, а також формули зведення, можна обчислити тригонометричні функції часто вживаних кутів у межах першого оберту. Це кути, градусні міри яких обчислюють з даних додаванням до них 90°, 180° і 270°. Наприклад,

Щоб знайти, наприклад, sin120°, зведемо виконання цього завдання до знаходження значення тригонометричної функції гострого кута. Маємо:

Аналогічно обчислюємо

Обчислені в такий спосіб значення тригонометричних функцій усіх зазначених кутів наведено в таблиці 8. У правильності наведених значень відповідних тригонометричних функцій пропонуємо вам переконатися самостійно, зокрема і під час розв’язування прикладів і задач.

Таблиця 8

Пригадайте головне

1. Що таке формули зведення? Укажіть види кутів (чисел), для яких ці формули встановлено.

2. Для яких кутів (чисел) назва функції, яку зводять, не змінюється, а для яких — змінюється?

3. Як визначити знак перед функцією, до якої зводять дану функцію?

4. Чому для складання таблиць значень тригонометричних функцій достатньо обчислити значення цих функцій лише для додатних кутів до 45°?

Розв'яжіть задачі

187. Вважаючи а гострим кутом, укажіть чверть, до якої належить кут:

188. Установіть знак виразу, якщо а — гострий кут:

189. Використовуючи табличні значення тригонометричних функцій кутів і формули зведення, обчисліть:

190. Спростіть вираз, скориставшись формулами зведення:

191. Знайдіть числове значення виразу:

192. Знайдіть числове значення виразу:

193. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють 1 і . Знайдіть значення тригонометричних функцій третього кута.

194. Замініть тригонометричну функцію функцією доповняльного кута:

195. Зведіть дану функцію до функції додатного гострого кута:

196. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного кута, меншого від

197. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного гострого кута, зберігши назву функції, що зводиться:

198. Якщо а, β, у — кути трикутника, то:

Доведіть це.

199. Знайдіть соsх, якщо

200. Обчисліть:

201. Доведіть твердження:

1) синус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 1;

2) косинус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 0.

202. Косинус одного із суміжних кутів дорівнює - . Знайдіть синус і тангенс іншого кута.

203. Тангенс кута при основі рівнобедренного трикутника дорівнює Знайдіть значення тригонометричних функцій кута при вершині.

204. Синус тупого кута ромба дорівнює . Знайдіть значення тригонометричних функцій гострого кута цього ромба.

205. Обчисліть суму:

1) cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°;

2) tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180°;

3) sin0° + sin1° + sin2° + ... + sin358° + sin359°;

4) ctg15° + ctg30° + ctg45° + ... + ctg150° + ctg165°.

206. Доведіть тотожність:

207. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють Знайдіть значення тригонометричних функцій третього кута. Скільки розв’язків має задача?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити