Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§10 Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу

Тригонометричні функції пов’язані між собою численними співвідношеннями, що виражаються відповідними тотожностями. Перша серія тотожностей описує зв’язок між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

З курсу геометрії вам відомо, що для будь-якого гострого кута а

sin2a + cos2a = 1.   (1)

Цю рівність було встановлено за теоремою Піфагора. Використовуючи дану теорему, можна довести, що рівність (1) виконується для будь-якого кута, а отже, і числового аргументу.

За означенням тангенса і котангенса:

   (2)

   (3)

Помноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо:

tga ctga =1.   (4)

Поділивши почленно рівність (1) на cos2a, одержимо:

   (5)

і поділивши почленно (1) на sin2a, маємо:

(6)

Рівності (1)-(6) є тотожностями, оскільки вони правильні для всіх тих значень аргументу, за яких ліва і права частини мають зміст.

Рівність (1) правильна для будь-яких значень а. Рівність (2) правильна для всіх значень а, за яких cosa ≠ 0. Рівність (3) правильна для всіх значень а, за яких sina ≠ 0. Рівність (4) правильна для всіх значень а, за яких обидва вирази tga і ctga мають зміст. Рівність (5) правильна, якщо cosa ≠ 0, а рівність (6) — якщо sina ≠ 0.

Розглянуті рівності називають основними тригонометричними тотожностями.

Розглянемо застосування цих тотожностей.

Задача 1. Знайдіть cosa, tga і ctga, якщо sina = 0,8 і < a < .

Розв’язання. Знайдемо cosa. З формули sin2a + cos2a = 1 дістанемо: cos2a = 1 - sin2a. Відомо, що існують два протилежних числа, квадрат яких дорівнює даному додатному числу. Яке з них узяти в нашому випадку? Оскільки а є кутом II чверті, то його косинус від’ємний.

Маємо:

Знаючи синус і косинус, знаходимо тангенс і котангенс:

Для знаходження котангенса застосуємо формулу tgactga = 1, звідси

Отже,

Отже, cosa = -0,6, tga = -1 , ctga = -.

Задача 2. Знайдіть значення sinoc, cosa і ctga, якщо

Розв’язання. Кут а належить до III чверті, тому синус і косинус цього кута від’ємні, а котангенс — додатний.

За формулою

знаходимо cosa. Маємо:

За формулою sin2a = 1 -cos2a, враховуючи, що кута належить до III чверті, де синус від’ємний, знаходимо:

Нарешті,

отже,

Задача 3. Спростіть вираз

Розв’язання. Замінимо в чисельнику тангенс і котангенс відповідними відношеннями й виконаємо віднімання утворених дробів, а вираз у знаменнику розкладемо на множники як різницю квадратів sin2a і cos2a. Маємо:

Задача 4. Доведіть тотожність

Розв’язання. Для доведення тотожної рівності двох виразів один з них або обидва тотожно перетворюють, намагаючись звести їх до однакового вигляду. Часто використовують ще й такий спосіб: утворюють різницю лівої та правої частин даної рівності й спрощують її. Якщо в результаті дістали нуль, то це свідчить про тотожну рівність даних виразів. Скористаємось останнім способом. Маємо:

Отже,

Тотожність доведено.

Пригадайте головне

1. Яка формула дає можливість за даним значенням синуса (косинуса) кута знайти значення його конуса (синуса)?

2. Як знайти тангенс числа, якщо відомо значення його котангенса?

3. Якими формулами слід скористатися, щоб за даним значенням тангенса кута знайти його синус?

Розв'яжіть задачі

208. Знайдіть косинус гострого кута а, якщо:

209. Знайдіть синус гострого кута В, якщо:

210. Знайдіть tga і ctga, якщо:

211. Знайдіть ctga, якщо:

212. Знайдіть tga, якщо:

213. Чи може тангенс кута дорівнювати 6, а його котангенс дорівнювати 7?

214. Спростіть вираз:

215. Доведіть тотожність:

1) (sina + cosa)2= 1 + 2sinacosa; 2) (sina - cosa)2 = 1 - 2sinacosa.

216. Дано: Знайдіть cosa і tga.

217. Дано: Знайдіть sina і ctga.

218. Дано: tga = 3,0 < a < . Знайдіть cosa і ctga.

219. Дано: ctga = -1, < a < . Знайдіть tga і sina.

220. Спростіть вираз:

221. Чи існує таке значення х, для якого:

222. Обчисліть значення решти тригонометричних функцій аргументу а за даним значенням однієї з них:

223. Спростіть вираз:

224. Покажіть, що значення виразу (asinβ + bcosβ)2+ (bsinβ - acosβ)2 не залежить від значення β.

225. Доведіть тотожність:

226. Якщо а і β — гострі кути прямокутного трикутника, то tgactgβ = 1. Доведіть це.

227. Спростіть вираз:

228. Обчисліть значення виразу, спочатку спростивши його:

229. Знаючи, що знайдіть значення cosa, tga, ctga.

230. Знаючи, що знайдіть значення sina, cosa, tga.

231. Дано: sina + cosa = p. Знайдіть: sina ∙ cosa.

232. Обчисліть: tgl° ∙ tg2° ∙ tg3° ∙ ... ∙ tg87° ∙ tg88° ∙ tg89°.

Проявіть компетентність

233. Дано:

1) ctg(60° - 2a) + ctg(30° + 2a) = p. Знайдіть ctg2(60° - 2a) + ctg2(30° + 2a);

Знайдіть



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити