Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§12 Формули додавання для синуса

Щоб дістати формулу для синуса суми двох аргументів, використаємо одну з уже встановлених формул для косинуса. Це неважко зробити, виразивши синус через косинус за допомогою формули зведення

Позначивши х = а + β, маємо:

Останній вираз перетворимо за формулою (2), вважаючи - а одним аргументом, а β — другим. Маємо:

Отже,

sin(cx + β) = since cosβ + cosasinβ.   (3)

Для виведення формули синуса різниці аргументів а і β запишемо цю різницю у вигляді суми: а - β = a + (-β) і скористаємося формулою β). Маємо:

sin(a - β) = sin(a + (-β)) = sina cos(-β) + cosa sin(-β) = sina cosβ - cosa sinβ.

Останній вираз дістали з попереднього, оскільки

cos(-β) = cosβ, sin(-β) = -sinβ.

Отже,

sin(a - β) = sina cosβ - cosa sinβ.   (4)

Дізнайтеся більше

Послідовно застосовуючи формули додавання для двох аргументів, можна дістати формули додавання тригонометричних функцій для трьох і більше аргументів. Наприклад,

sin(a + β + y) = sin((a + β + y) = sin(a + β)COSY + cos(a + β)siny =

= (sinacosβ + cosa sinβ) cosy + (cosacosβ - sina sinβ) siny =

= sina cosβ cosy + cosa sinβ cosy + cosa cosβ siny - sina sinβ siny.

Аналогічно можна довести, що

cos(a + β + y) = cosa cosβ cosy - sina sinβ cosy - sina cosβ siny - cosa sinβ siny.

Пригадайте головне

1. Як виразити синус суми аргументів х і у через відповідні тригонометричні функції кожного із цих аргументів?

2. Дайте відповідь на аналогічне запитання щодо синуса різних аргументів і r.

3. Для встановлення формули синуса суми двох аргументів використовують відому вже формулу косинуса різниці двох аргументів. На основі якого співвідношення це можна зробити?

4. Яку властивість функції синус використовують для виведення формули синуса різниці двох аргументів?

Розв'яжіть задачі

250. Використовуючи формули додавання для синуса, доведіть формулу

зведення:

251. Обчисліть значення виразу:

252. Спростіть вираз: 1) sin(a + β) + sin(a - β); 3) cos(a + β) - cos(a - β);

2) cos(a - β) - cos(a + β);   4) sin(a + β) - sin(a - β).

253. Спростіть вираз:

254. Доведіть тотожність:

255. Спростіть вираз: 1) sin5a cosa - sina cos5a; 3) sin4cos6 + sin6 cos4;

2) sin3x cos2x + sin2x cos3x; 4) cos7 sin2 - sin7 cos2.

256. Обчисліть:

257. Доведіть тотожність: 1) sin(a + β) sin(a - β) = sin2a - sin2β;

2) sin(a + β) cos(a - β) = sina cosa + sinβ cosβ.

258. Спростіть вираз:

259. Обчисліть:

260. Доведіть тотожність:

261. Обчисліть:

262. Знайдіть:

263. Косинуси двох кутів трикутника дорівнюють 0,6 і 0,8. Знайдіть синус третього кута.

264. Доведіть тотожність:

Проявіть компетентність

265. Обчисліть, не користуючись таблицями й калькулятором:

1) sin75°; 2) sin15°; 3) sin105°; 4) sin255°.

266. Якщо a, β, у — кути трикутника, то sinacosβ + sinβcosa = siny. Доведіть це.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити