Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§16 Графіки функцій у = sin x та y = cosx

Графік функції у = sinx. Для побудови даного графіка знайдемо кілька «опорних» точок, через які він проходить, а потім проведемо через них плавну лінію. Побудувати такі точки можна принаймні двома способами:

1) традиційним, склавши таблицю значень аргументу х і відповідних значень функції, знайдених за допомогою спеціальних таблиць або калькулятора, та за встановленими координатами (х; у) побудувати точки;

2) геометричним, знайшовши значення функції та точки графіка за допомогою малюнка. Скористаємося другим способом.

Розглянемо І і II чверті одиничного кола. Точками його дуги зображаються всі дійсні числа від 0 до (мал. 63). Поділимо цю дугу, наприклад, на 6 рівних частин і позначимо числа, які відповідають точкам поділу. Зазначимо, що довжина перпендикуляра, проведеного з точки поділу дуги кола до горизонтального діаметра, дорівнює ординаті цієї точки, тобто синусу відповідного числа.

Мал. 63

Мал. 64

Відкладемо від початку координат на осі абсцис відрізок довжиною ≈ 3,14, взявши за одиницю довжини радіус одиничного кола. Поділимо його також на 6 рівних частин і запишемо біля кожної точки поділу відповідне число. Якщо х = 0, то у = sin0 = 0. Отже, перша точка графіка функції у = sinx на відрізку [0; ] має координати (0; 0) — тобто це початок координат. Для побудови точки графіка з абсцисою треба на перпендикулярі, проведеному до осі абсцис через точку , відкласти значення sin . Воно дорівнює ординаті відповідної точки одиничного кола.

Якщо через цю точку провести пряму, паралельну осі абсцис, до перетину із зазначеним перпендикуляром, то дістанемо шукану точку. Аналогічно будують інші точки графіка. Сполучивши їх суцільною плавною лінією, дістанемо ескіз графіка функції у = sinx на відрізку [0; ]. Слово «ескіз» підкреслює відносну точність графіка, зумовлену кількістю побудованих точок. Що більше точок побудовано, то точніше ескіз відображає справжню форму графіка.

Оскільки синус — непарна функція, то її графік симетричний відносно початку координат, тобто крива, що симетрична побудованій відносно початку координат, буде ескізом графіка функції у = sinx на відрізку [-; 0] (мал. 64).

Маючи графік синуса на відрізку [-; ] довжиною в період цієї функції й беручи до уваги, що найменший додатний період функції синус дорівнює 2я, можемо вказати спосіб побудови інших точок графіка. Для цього треба здійснити паралельне перенесення побудованої на проміжку [-; ] його частини на 2, 4, 6 і т. д. одиниць праворуч і ліворуч уздовж осі абсцис. Утворена крива (мал. 65) називається синусоїдою.

Мал. 65

Мал. 66

Графік функції у = cosx. Графік косинуса достатньо просто побудувати, скориставшись формулою зведення:

А графік функції враховуючи відомі правила перетворення графіків функцій, дістають паралельним перенесенням графіка функції у = sinx уздовж осі Ох на одиниць ліворуч (мал. 66).

Графік функції у = cosx називають косинусоїдою.

За графіками синуса й косинуса можна встановити ще деякі властивості цих функцій.

З’ясуємо, наприклад, на яких проміжках синус зростає, а на яких — спадає. Для цього скористаємося таким візуальним орієнтиром: на проміжку зростання графік функції під час руху вздовж нього зліва направо (що відповідає зростанню х) піднімається вгору (що відповідає зростанню у), а графік спадної функції прямує вниз.

Аналізуючи за цією ознакою графік функції у = sinx (див. мал. 68), бачимо, що одним із проміжків зростання синуса є відрізок

З властивості періодичності синуса випливає, що він зростає на всіх проміжках виду

Відповідно проміжками спадання синуса є проміжки виду

Задача. Що більше: sin2 чи sin3?

Розв’язання. Числа 2 і 3 належать проміжку оскільки ≈1,57, ≈ 4,71. На цьому проміжку функція синус спадає. Це означає, що більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Оскільки 3 > 2, то sin3 < sin2.

Деякі інші властивості синуса і косинуса ви встановите самостійно, користуючись графіками цих функцій під час виконання відповідних вправ.

Дізнайтеся більше

Тригонометричні функції використовують для опису коливальних процесів. Одним з найбільш поширених процесів такого виду є гармонічні коливання, які описуються формулою у = Asin(ω + φ). Інакше кажучи, математичною моделлю таких коливань є зазначена формула, яку називають рівнянням або законом гармонічного коливання. За цим законом відбувається, наприклад, коливання математичного маятника, тягарця, підвішеного на пружині, коливання електрорушійної сили індукції та індукційного струму в генераторі тощо.

У зазначеному рівнянні величини, що входять до нього, відповідно до сутності процесу, який воно описує, мають певний фізичний зміст. Зокрема, якщо йдеться про коливання струму, який виробляється генератором, то А, що має назву амплітуди коливання, — це максимальне значення, якого може набувати сила струму індукції за даного значення со — кутової швидкості обертання ротора генератора; t — час, у кожний момент якого можна знайти відповідне значення сили струму.

Якщо ротор обертається зі швидкість со рад/с, то повний оберт він зробить за с, а за одну секунду — обертів. Цю величину називають частотою коливання. У нашій країні зазвичай прийнято використовувати струм частотою 50 коливань за секунду. Це значення прийнято за одиницю вимірювання частоти, яка має назву герц.

Пригадайте головне

1. Як побудувати графік функції у = sinx?

2. Як побудувати графік функції у = cosx?

3. Як називається крива, що є графіком функції синус (косинус)?

4. Які властивості тригонометричних функцій використовують під час побудови графіків: синуса; косинуса?

Розв'яжіть задачі

326. Користуючись графіком функції у = cosx, установіть і запишіть по два проміжки зростання й спадання функції у = cosx.

327. Користуючись графіком функції у = sinx, знайдіть і запишіть усі проміжки, що належать проміжку на яких ця функція:

1) зростає; 2) спадає; 3) набуває додатних значень; 4) набуває від’ємних значень.

Укажіть і запишіть нулі функції у = sinx на зазначеному проміжку (значення аргумента, за якого значення функції дорівнює нулю).

328. Користуючись графіком функції у = cosx, знайдіть і запишіть усі проміжки, що належать проміжку на яких ця функція:

1) зростає; 2) спадає; 3) набуває додатних значень; 4) набуває від’ємних значень.

Укажіть і запишіть нулі функції у = cosx на зазначеному проміжку.

329. Запишіть у загальному вигляді множину проміжків зростання і проміжків спадання функції косинус.

330. Порівняйте числа:

331. За графіком функції у = sinx знайдіть три наближених значення х, за яких sinx = . Скільки існує таких значень х, що задовольняють дане рівняння?

332. Користуючись графіком функції у = sinx, запишіть два числових проміжки, на яких синус набуває додатних значень.

Скільки таких проміжків існує? Запишіть множину цих проміжків у загальному вигляді.

333. Користуючись графіком функції у = sinx, знайдіть на проміжку [-2; 2] значення аргументу, за якого:

1) синус набуває найбільшого значення;

2) синус набуває найменшого значення.

334. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для косинуса.

335. Користуючись графіком функції у = sinx, розв’яжіть нерівність sinx < 0, якщо х ∉ [0; 2]. Використовуючи здобутий результат, запишіть множину розв’язків нерівності sinx < 0 у загальному вигляді.

336. За графіком функції у = cosx знайдіть і запишіть два проміжки, на яких косинус набуває додатних значень. Проаналізуйте, як, маючи один з них, дістати другий. Скільки таких проміжків існує? Запишіть їх множину в загальному вигляді.

337. Скільки існує числових проміжків, на яких косинус від’ємний? Укажіть один з них. Запишіть множину таких проміжків у загальному вигляді. Яку нерівність ви розв’язали?

338. Користуючись графіками функцій у = sinx та у = cosx, запишіть у загальному вигляді нулі кожної із цих функцій.

339. Використовуючи графік функції у = sinx, побудуйте в тій самій системі координат графік функцій: 1) у = 2sinx; 2) у = sinx.

340. Використовуючи графік функції у = cosx, побудуйте в тій самій системі координат графік функцій: 1) у = cos2x; 2) у = cos .

341. Використовуючи графік функції у = sinx, побудуйте в тій самій системі координат графік функції у = -sinx.

342. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = sinx та у = cosx. Знайдіть графічно кілька значень х, для яких sinx = cosx. Скільки таких значень можна вказати?

343. Накресліть і виріжте із цупкого паперу або картону шаблон графіка функції: а) у = sinx; б) у = sin2x; в) у = sin .

Користуючись ним, побудуйте графік функції:

344. Укажіть послідовність і сутність перетворень, які слід здійснити щодо графіка функції у = sinx, щоб дістати графік функції:

Визначте основний період та найбільше й найменше значення кожної із цих функцій.

345. Чим відрізняються графіки функцій

Проявіть компетентність

346. За графіком функції у = sinx установіть числовий проміжок, що належить проміжку (0; 2), на якому sinx > . Ураховуючи періодичність функції синус, запишіть множину проміжків, на яких sinx > .

347. За графіком функції у = cosx установіть проміжок, що належить проміжку (-; ), на якому cosx > -. Запишіть у загальному вигляді множину розв’язів нерівності cosx > -.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити