Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§18 Рівняння sin х = а

Рівняння sinx = а належить до тригонометричних рівнянь. Тригонометричними називають рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції.

Наприклад, cosx = 2tgx, 2cos2 х = 3 sinx+ 2, sinxtgx = — тригонометричні рівняння.

Розв’язати тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх значень змінної, що задовольняють його. Ці значення змінної називають розв’язками, або коренями, рівняння.

Зверніть увагу:

якщо число х0 є розв’язком тригонометричного рівняння, то з огляду на періодичність тригонометричних функцій розв’язком цього рівняння є будь-яке інше число, яке визначають, додаючи до даного або віднімаючи від нього певну кількість основних періодів.

Наприклад, число є розв’язком рівняння

Оскільки основний період функції синус дорівнює 2, то розв’язком даного рівняння будуть також усі числа виду + 2n, де n — ціле число (n ∈ Z).

Якщо одним із розв’язків рівняння tgx = а є число m, то всі числа виду m + n, дe n ∈ Z, є також розв’язками цього рівняння, бо основний період функції тангенс дорівнює п. Отже, тригонометричне рівняння або не має розв’язків, або має їх безліч.

Розв’язування будь-якого тригонометричного рівняння намагаються звести до розв’язування рівнянь виду sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = а, що називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Розглянемо, як розв’язати кожне з них.

Мал. 70

Почнемо з рівняння sinx = а. Відомо, що область значень синуса — відрізок [-1; 1]. Тому якщо |а| > 1, то рівняння sinx = а не має розв’язків.

Нехай |а| < 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = а та у = sinx (мал. 70). З малюнка видно, що пряма у = а перетинає синусоїду безліч разів. Це означає, якщо |а| < 1, то рівняння sinx = а має безліч коренів. Оскільки синус має найменший додатний період 2л, то достатньо спочатку знайти всі розв’язки в межах одного періоду. За графіком на малюнку 73 видно, якщо |а| < 1, то на відрізку [0; 2] є два числа х1 і х2, синус яких дорівнює а. Якщо одне з них а, то друге - а. Усі інші розв’язки рівняння sinx = а (|а| < 1) можна дістати з двох знайдених додаванням періоду.

Отже, розв’язки цього рівняння визначаємо за формулами:

х = а + 2k і х = - а + 2k = -а + (2k + 1), k ∈ Z.

Ці дві серії розв’язків можна записати однією формулою: х = (-1)kа + k, k ∈ Z.

Справді, якщо k — парне число (k = 2n, n ∈ Z), то маємо: х = (-1)2n а + 2 n = а + 2n, тобто першу підмножину розв’язків; якщо k — непарне число (k = 2n + 1, n ∈ Z), то

х = (-1)2n + 1 а + (2n + 1) = -а + 2n + = - а + 2n, тобто маємо другу підмножину розв’язків.

Розв’яжемо, наприклад, рівняння

Один з його розв’язків дорівнює . Отже, загальна формула, що задає всі розв’язки даного рівняння, така:

Конкретні значення х дістають, підставляючи в цю формулу замість k його значення з множини цілих чисел.

Наприклад,

Зазначимо, що встановлена загальна формула виражає множину розв’язків рівняння sinx = а через один з них — число а. Тобто замість а можна взяти будь-яке число, що задовольняє рівняння sinx = а.

Наприклад, множину розв’язків рівняння можна записати не лише у вигляді формули х = (-1)k  + k, k ∈ Z, а й формули х = (-1)k  + k, k ∈ Z, оскільки — це також корінь даного рівняння.

Кожна з наведених формул визначає одну й ту саму множину розв’язків. У цьому легко переконатися, знаходячи конкретні значення х у кожному з випадків.

Щоб досягти однозначності в записі розв’язків найпростіших тригонометричних рівнянь, домовилися вибирати значення одного з коренів а з того проміжку, на якому відповідна тригонометрична функція набуває всіх своїх значень, до того ж — кожного з них лише один раз, тобто з проміжку зростання або спадання функції.

Для функції у = sinx таким проміжком обрано відрізок

Тут вона зростає та набуває по одному разу всіх своїх значень від -1 до 1.

Розв’язок рівняння sinx = а, взятий із проміжку називають головним і позначають arcsina (читається «арксинус а»). Інакше кажучи, arcsina — це число (кут) із проміжку синус якого дорівнює а.

Наприклад,

 

Узагалі, слід пам’ятати, що

arcsin(-a) = -arcsina, а > 0.

Отже, загальна формула розв’язків рівняння sinx = а має вигляд:

х = (-1)k arcsina + k, k ∈ Z.

Розглянемо приклади розв’язування окремих рівнянь.

Задача 1. Розв’яжіть рівняння sinx = -.

Розв’язання. Загальна формула розв’язків

Задача 2. Розв’яжіть рівняння sinx = 0.

Розв’язання, х = (-1 )k arcsin0 + k, k ∈ Z; arcsin0 = 0. Отже, x = k, k ∈ Z.

Задача 3. Розв’яжіть рівняння sinx = .

Розв’язання. x = (-1)k arcsin + k, k ∈ Z. У такому вигляді розв’язки подібних рівнянь, як правило, залишають. Для обчислення конкретних значень х значення arcsin знаходять за відповідними таблицями або за допомогою калькулятора.

Задача 4. Розв’яжіть рівняння sinx = 1.

Розв’язання. Розв’яжемо це рівняння двома способами.

І спосіб. За загальною формулою коренів:

х = (-1 )k arcsin 1 + k, k ∈ Z; arcsin1 = , отже, x = (-1)k  + k, k ∈ Z.

II спосіб. З малюнка 71 видно, що всі числа (кути), синус яких дорівнює 1, зображаються на одиничному колі єдиною точкою А. Одне з таких чисел , а їх множину задає формула

х = + 2n, n ∈ Z. Отже, розв’язками рівняння sinx = 1 є числа виду х = + 2n, n ∈ Z.

Мал. 71

Чи суперечить це результату, який одержали, розв’язуючи дане рівняння першим способом? Зовсім ні. Покажемо це.

Розглянемо першу формулу. Якщо k — парне число (k = 2n), то вона набуває вигляду:

Якщо k — непарне число (k = 2n + 1), то маємо:

Тобто маємо одну й ту саму множину, що збігається з множиною коренів, яку одержали, розв’язуючи рівняння другим способом.

Задача 5. Розв’яжіть рівняння sin2x - sinx = 0.

Розв’язання. Розкладемо ліву частину даного рівняння на множники, винісши за дужки sinx. Маємо: sinx(sinx - 1) = 0. Прирівняємо кожний із множників до нуля. Одержимо два рівняння: sinx = 0 і sinx – 1 = 0, які легко розв’язати. Зробіть це самостійно.

Задача 6. Розв’яжіть рівняння sin4x = .

Розв’язання. Застосуємо загальну формулу розв’язків рівняння sinx = а, беручи до уваги, що в даному випадку під знаком мінуса стоїть 4х. Маємо:

4х = (-1)" arcsin + 7n, n ∈ Z, тобто 4х = (-1)n  + 7n, n ∈ Z. Звідси

Пригадайте головне

1. Які рівняння належать до тригонометричних?

2. Скільки розв’язків може мати тригонометричне рівняння?

3. За яких умов рівняння sinx = а не має розв’язків? Наведіть приклади.

4. Скільки є чисел (кутів), синус яких дорівнює ? Яке з них позначається так: arcsin ?

5. Як ви розумієте запис arcsinb?

6. За якою формулою знаходять числа, синус яких дорівнює m(-1 ≤ m ≤ 1)?

Розв'яжіть задані

362. Поясніть записи й обчисліть:

363. Запишіть загальну формулу розв’язків рівняння Використовуючи її та один з результатів розв’язання завдань попереднього номера, знайдіть три конкретні розв’язки цього рівняння, надавши параметру k значень 1; 2; 3.

364. Запишіть загальну формулу розв’язків рівняння Використовуючи її, знайдіть чотири конкретні розв’язки цього рівняння.

365. Знайдіть по чотири розв’язки кожного рівняння:

366. Розв’яжіть рівняння sinx = -1 двома способами: використовуючи відповідну загальну формулу розв’язків і за допомогою одиничного кола. Який з одержаних записів простіший? Запам’ятайте його та використовуйте в подальшому.

367. Який з виразів не має змісту:

368. Чому не можна писати адже

369. Позначте на одиничному колі число та відповідний кут:

370. Розв’яжіть рівняння:

Знайдіть по два додатних розв’язки кожного із цих рівнянь і позначте їх точками на одиничному колі.

371. Спростіть вираз:

372. Розв’яжіть рівняння:

373. Обчисліть:

374. Розв’яжіть рівняння:

375. Скільки коренів рівняння sin2x = - належать проміжку

376. Розв’яжіть рівняння:

1) sin2 x + sinx = 0;   2) 1 - sinx = cos2 x;

3) cos 2x - sin x; = 1;   4) 1 - cos2x = 0.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити