Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 Похідна та її застосування

§21 Задачі, що приводять до поняття похідної

1. ПОНЯТТЯ ПРО ГРАНИЦЮ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ

Поняття похідної є одним з фундаментальних понять математики. Розділ математики, у якому вивчається поняття похідної та її застосування до розв’язування прикладних задач, називають диференціальним численням.

Поняття похідної ґрунтується на понятті границі. Пояснимо зміст останнього на прикладі. Розглянемо функцію f(х) = х2 і знайдемо її значення в точці х = 2. Маємо: f(2) = 22 = 4. Тепер обчислимо значення цієї функції в кількох точках ліворуч і праворуч від точки 2. Ліворуч: х1 = 1,8, f(x1) = 1,82 = 3,24; х2 = 1,9, f(х2) = 1,92 = 3,61; х3 = 1,99, f(х3) = 1,992 = 3,9601. Праворуч: х1 = 2,2, f(х'1) = 2,22 = 4,84; х'2 = 2,1, f(х1') = 2,12 = 4,41; х'3 = 2,01, f(х'3) = 2,012 = 4,041.

Бачимо, що ближче значення аргументу х (не важливо, ліворуч чи праворуч) наближаються до значення х = 2 (кажуть, що х прямує до двох), то ближчими до числа 4 стають відповідні значення функції f(х) = х2 (кажуть, що х2 прямує до чотирьох). Цей факт можна записати так: х2  4, якщо х 2, або символічно

Кажуть, що в даному разі число 4 є границею функції f(х) = х2 у точці х = 2.

У загальному вигляді запис означає, що число А є границею функції f(х) у точці х0 Цей запис читають так: границя функції f(х), якщо х прямує до х0, дорівнює А.

Границя функції в точці характеризує поведінку функції в деякому околі цієї точки й може дорівнювати значенню функції в даній точці (як у розглянутому вище прикладі), а може відрізнятися від нього.

Якщо границя функції в точці дорівнює значенню функції в цій точці, то функцію називають неперервною в даній точці. Отже, функція f(х) неперервна в точці х0, якщо

   (1)

Функція f(х) називається неперервною на інтервалі (а; b), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Графіком неперервної функції є неперервна (суцільна) крива.

Прикладами неперервних на інтервалі (-∞;+∞ ) функцій є відомі вам функції у = х2, у = sinx, у = cosx . Графіками цих функцій є неперервні криві: парабола, синусоїда та косинусоїда відповідно.

Рівність (1) водночас дає правило обчислення границь неперервних функцій: для обчислення границі функції f(x), неперервної в точці х0, коли х —> х0, досить обчислити значення функції в цій точці, тобто знайти f(х0).

Ви вже мали змогу не один раз пересвідчитися в тому, що математичні поняття пов’язані з реальною дійсністю. Саме це дозволяє використовувати математику при розв’язуванні різноманітних прикладних задач природознавства та техніки.

Поняття похідної виникло в XVII ст. у зв’язку з необхідністю розв’язання ряду математичних і фізичних задач. Основними з них були визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху та побудова дотичної до довільної плоскої кривої. Першу із цих задач розв’язав І. Ньютон, а другу остаточно розв’язав Г. Лейбніц.

До розгляду цих задач, які стали класичними в диференціальному численні, ми зараз і приступаємо.

2. ЗАДАЧА ПРО МИТТЄВУ ШВИДКІСТЬ

Нехай точка рухається по прямій за законом s = s(t), де s — довжина шляху, розглядувана від деякої початкової точки М0, t — час, за який пройдено шлях s. Нехай М1 — положення точки в момент t0 , а М2 — у момент часу t0 + ∆t , і ∆s(t0) = s(t0 + ∆t) - s(t0) — довжина шляху, пройденого за час ∆t (мал. 77).

Мал. 77

Відношення

   (2)

у механіці називають середньою швидкістю руху точки на відрізку шляху М1М2. Рух зі сталою середньою швидкістю називають рівномірним. Якщо середня швидкість є різною в різні проміжки часу, то рух називають нерівномірним. Очевидно, що за рівномірного руху точка за рівні проміжки часу проходить однакові відрізки шляху. За нерівномірного руху точка за рівні проміжки часу проходить різні відрізки шляху. Тому, щоб охарактеризувати нерівномірний рух, треба ввести поняття швидкості в певний момент часу, яку називають миттєвою швидкістю. Поняття миттєвої швидкості є важливим при вивченні різних процесів. Наприклад, важливо знати, якою була швидкість потягу в момент проїзду його повз світлофор; від швидкості входу спортсмена у воду під час стрибку залежить глибина його занурення; від швидкості запуску супутника залежить його вихід на задану орбіту тощо. При знаходженні миттєвої

швидкості використовують середню швидкість руху за малий проміжок часу ∆t.

Границю відношення (2), якщо ∆t → 0, називають величиною швидкості руху в точці М1 або величиною миттєвої швидкості руху в момент часу t0.

Якщо величину миттєвої швидкості в момент t0 позначити через v(t0), то

   (3)

Оскільки прискорення а(t0) — це швидкість зміни швидкості v(t) у момент часу t0, то

   (4)

Якщо прискорення a(t) = С, С — стала, в довільний момент часу t, то рух є рівномірно прискореним при С > 0 , рівномірно сповільненим при С < 0 і рівномірним, якщо С = 0 .

Задача 1. Закон прямолінійного руху точки визначається функцією s(t) = 2t2 - 1 (м), t — час (c). Знайдіть швидкість руху в момент часу t0 = 3 (с).

Розв’язання. Скористуємося формулою (3).

Спочатку знайдемо приріст шляху в точці t0 = 3 :

∆s(3) = s(3 + ∆t) - s(3) = 2(3 + ∆t)2- 1 - 17 = 12∆t + 2∆t2.

Далі

і тоді

3. ЗАДАЧА ПРО ДОТИЧНУ ДО КРИВОЇ

Вам уже відоме поняття дотичної до кола, як прямої, що має з колом одну спільну точку. Однак у такому вигляді означення дотичної не можна поширити на незамкнені криві. Справді, побудуйте параболу, рівняння якої у = х2. Осі координат мають із цією кривою по одній спільній точці, але вісь ординат (пряма х = 0) не є дотичною до цієї кривої. Ще один приклад. Пригадайте графік функції у = sin х . Прямі у = ±1 мають з ним безліч спільних точок (а не одну!) і є дотичними до синусоїди в кожній із цих точок.

Виникає запитання: яким же має бути означення дотичної до кривої, яке було прийнятним як для замкнених, так і для незамкнених кривих?

Спробуємо ввести таке означення.

Розглянемо довільну криву l (мал. 78).

Візьмемо на ній дві точки M0 та М, проведемо через них пряму M0M. Цю пряму називають січною. Точка М може бути розміщена ліворуч від точки М0. Уявіть, що точка М рухається вздовж кривої l і зліва, і справа до точки М0. Якщо при цьому січна M0M, приймаючи різні положення, прямуватиме до деякого граничного положення M0T, за умови, що величина кута ММ0Т прямує до нуля, то пряму M0T називають дотичною до кривої l у точці М0. Цілком очевидно, що до кривої в одній точці може існувати тільки одна дотична.

Мал. 78

Мал. 79

Чи існує дотична в точці M0 до кривої, зображеної на малюнку 79?

У цьому разі січні М0М1 та M0M2 мають різні граничні положення M0T1 та M0T2, і тому дотична до цієї кривої в точці M0 не існує.

З’ясуємо зміст поняття дотичної до кривої.

Розглянемо графік функції у = f(х). Припустимо, що в точці М00;f(х0)) цієї кривої існує дотична, не паралельна осі Оу, яка утворює з додатним напрямом осі Ох кут а. Нехай М(х0 + ∆х; f(х0 + ∆х)) — ще одна точка цієї кривої, і січна M0M утворює з додатним напрямом осі Ох кут φ (мал. 80).

Цілком зрозуміло, що для знаходження дотичної до кривої досить знайти її кутовий коефіцієнт k = tga.

З ∆М0МК знаходимо, що

Якщо Ах спрямувати до нуля, то х0 + ∆х → х0 і точка М наближатиметься до точки М0, при цьому φ → a, tgφ → tga , і січна М0М займе своє граничне положення — положення дотичної М0Т до кривої у = f(х) у точці М0.

Мал. 80

Отже, кутовий коефіцієнт k = tga дотичної М0Т до графіка функції y = f(x) у точці М можна знайти за формулою

   (5)

Якщо k > 0, тобто tga > 0 , то кут а гострий; якщо k < 0 , тобто tga < 0, то кут a — тупий; якщо k = 0, тобто tga = 0 , то a = 0, і дотична до кривої У = f(x) У відповідній точці паралельна осі Ох.

Зверніть увагу:

в тому разі, коли дотична до кривої у = f(х) паралельна осі Оу, тобто a = , то к = tga = +∞ . Це означає, що границя у формулі (5) в цьому випадку нескінченна.

Задача 2. Доведіть, що дотичною до параболи у = х2 у точці 0(0; 0) є вісь абсцис.

Розв’язання. Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до даної кривої у точці 0(0; 0).

Маємо ∆f(0) = f(0 + ∆х) - f(0) = (0 + ∆х)2 - 02 = ∆х2.

Тому тобто дотичною до параболи у = х2 у точці 0(0; 0) є вісь абсцис.

Дізнайтеся більше

Задача.

Нехай точка рухається рівномірно прискорено з прискоренням а та початковою швидкістю v0. Знайдіть значення швидкості її руху в момент часу t0.

Розв’язання.

Відомо, що залежність шляху від часу при рівномірно прискореному русі визначається за формулою

Знайдемо приріст шляху в точці t0:

Далі і, нарешті,

тобто дістали відому у фізиці формулу v(t0) = v0 + at0.

Пригадайте головне

1. Наведіть приклади задач, які приводять до поняття похідної.

2. Якщо закон руху визначається функцією s = s(t), то що означає величина ∆s(t0)?

3. Що називають середньою швидкістю прямолінійного руху точки?

4. Як можна знайти миттєву швидкість руху точки в момент часу t0?

5. Як визначається прискорення руху точки в момент часу t0?

6. Що розуміють під дотичною до кривої?

7. Що таке кутовий коефіцієнт дотичної і як його знайти?

8. Для яких функцій дотична до графіка збігається із самим графіком? Наведіть приклади.

9. Чи може одна і та сама пряма бути дотичною до графіка функції в кількох точках? Наведіть приклади.

Розв'яжіть задачі

403. За даним законом прямолінійного руху s = s(t)(м), t — час (с), знайдіть середню швидкість vc (м/с) на проміжку часу [t0;t0 + ∆t] та миттєву швидкість v(t) (м/с) в довільний момент часу t:

1) s(f) - 9t + 1, t0 = 3, ∆t > 0; 2) s(t) = t2 - 1, t0 = 1, ∆t = 2 ;

3) s(f) = t2 + 3t + 2, t0 = , ∆t = 1 .

404. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v = 3t2 - 1 (м/с), t — час (c). Знайдіть середнє прискорення ас(м/с2) на проміжку часу [2; 2 + ∆t] та прискорення в момент часу t0 = 2 , якщо:

1) ∆t = 2 ; 2) ∆t = 0,1 ; 3) ∆t = 0,01.

405. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = 4х2 у точці з абсцисою:

1) х0 = 1; 2) х0 = -2 ; 3) х0 = 3 .

406. Закон прямолінійного руху визначається функцією s(t) = 2t + 1 (м), t — час (с). Чи є цей рух рівномірним? Намалюйте графік цього руху.

407. Знайдіть кут між дотичною до графіка функції f(х) = 2х2 + 3х +1 у точці з абсцисою х0 та додатним напрямом осі Ох :

408. Тіло обертається навколо осі за законом φ(t) = 3t2 - 12t + 2 (рад), t — час (с). Знайдіть кутову швидкість ω(t) обертання в довільний момент часу t і при t = 4 (с).

409. Знайдіть точки кривої у = f(х), у яких дотична паралельна заданій прямій:

1) у = х2 - 2х, у = 3 ;

2) у = х2 - 6х + 4, у = 2х .

410. Якщо закон прямолінійного руху визначається квадратичною функцією s(t) = at2 + bt + с (м), t — час (с), то такий рух є рівномірним. Доведіть.

411. Знайдіть точки, у яких дотичні до кривих y = х3 - х - 1 та y = 3х2 - 4х + 1 паралельні.

Проявіть компетентність

412. Закон прямолінійного руху матеріальної точки в залежності часу t (с) визначається функцією S(t) = 3t2 - 6t (м). У який момент часу тіло зупиниться?

413. На кривій у = х2 + 2х знайдіть точку, в якій дотична паралельна осі Ох.

414. Пряма у = -7х + 3 паралельна дотичній до параболи у = 2х2 + х . Знайдіть координати точки дотику.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити