Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 Похідна та її застосування

§22 Похідна функції, її механічний та геометричний зміст

Нехай функція f(х) визначена на інтервалі (а; b), а точки х0 та х0 + ∆х належать цьому інтервалу, х0, (х0 + ∆х) ∈ (а; b) . Величину ∆х ≠ 0 називають приростом аргументу, а різницю ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0) — приростом функції в точці х0.

Зазначимо, що приріст аргументу ∆х може бути додатним або від’ємним, а приріст функції ∆f(х0) може бути додатним, від’ємним або ж дорівнювати нулю.

Задача 1. Знайдіть приріст функції f(х) = 3х2 + 2 в точці х0, якщо:

1) х0 = 2 , ∆х = 0,1; 2) х0 =1, ∆х = -0,01.

Розв’язання. Маємо ∆f(х0) = f(x0 + ∆х) - f(х0) = 3(х0 + ∆х)2 + 2 - 3х2 - 2 = 3∆х(2х0 + ∆х). Зверніть увагу, що ∆f(х0) є функцією від ∆х.

І тоді

1) ∆f(2) = 0,3(4 + 0,1) = 1,23 ; 2) ∆f(1) =-0,03(2-0,01) = -0,0597.

За аналогією зі середньою швидкістю руху матеріальної точки відношення природно назвати середньою швидкістю зміни функції f(x) у точці х0, а границю цього відношення, якщо ∆х → 0, — швидкістю зміни функції f(х) у точці х0.

Якщо існує границя відношення приросту функції f(x) у точці х0 до приросту аргументу ∆х, за умови, що ∆х → 0 , то цю границю називають похідною функції в точці х0 і позначають а'(х0), тобто:

   (1)

Таким чином, а'(х0) — це швидкість зміни функції а(х) у точці х0.

Ми вже розглянули задачу про миттєву швидкість прямолінійного руху матеріальної точки та задачу про дотичну до графіка функції, які приводять до поняття похідної. Ці задачі дозволяють сформулювати механічний та геометричний зміст похідної (див. формули (3), (4), (5), §21).

Механічний зміст похідної: величина миттєвої швидкості руху в момент часу t0 дорівнює значенню похідної від шляху s = s(t) у точці t0: v(t0) = s'(t0);

величина прискорення руху в момент часу t0 дорівнює значенню похідної від швидкості v = v(t) у точці t0: а(t0) = v'(t0).

Геометричний зміст похідної: похідна f'(x0) функції f(х)у точці х0

дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 , тобто k = f'(х0).

Знайдемо рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці М00; у0), у0 = f(х0) (див. мал. 80).

Рівняння дотичної шукатимемо у вигляді y = kx + b, дe k i b — невідомі сталі.

Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної k = f'(х0), то матимемо рівняння у = f'(x0)x + b . Залишається знайти b. Точка М00; y0) належить дотичній, тому у0 = f'(x00 + b, звідки b = у0 = f'(х00.

Таким чином, шуканим рівнянням дотичної є

y - y0 = f'(х0)(х - х0).   (2)

Функція f(x), яка має похідну в точці х0, називається диференційовною в цій точці.

Функція f(x) називається диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона має похідну в кожній точці цього інтервалу.

Якщо функція f(х) має похідну в кожній точці х інтервалу (а; b), то матимемо

(для довільної точки х приріст функції та похідну можна позначати ∆у та у' відповідно).

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Схема знаходження похідної f'(x) за означенням.

1. Задати приріст аргументу ∆х ≠ 0 і знайти значення функції f(х + ∆х) .

2. Знайти приріст функції ∆у = f(х + ∆х) - f(х).

3. Скласти відношення .

4. Знайти границю

Зауважимо, що цю схему можна застосувати і для знаходження похідної f'(x0), тільки замість х слід писати х0.

Задача 2. Знайдіть похідну функції f(х) = ах2 + bх + с, де а, b і с — сталі.

Розв’язання. За схемою знаходження похідної для довільного значення х та ∆х ≠ 0 дістаємо:

1. f(х + ∆х) = а(х + ∆х)2 + b(x + ∆х) + с = ах2 + bх + с + 2ах∆х + а∆х2 + b∆х.

2. ∆у = f(х + ∆х) - f(х) = 2ах∆х + а∆х2 + b∆х.

3.

4.

тобто

(ах2 + bх + с)’= 2ах + b.   (3)

За цією формулою можна знайти похідну будь-якої квадратичної функції. Зафіксуємо деякі частинні випадки:

а) якщо а = 0, с = 0, b = 1, то х' = 1, тобто похідна функції х дорівнює 1;

б) якщо а = 1, с = 0, b = 0, то (х2)' = 2х, тобто похідна функції х2 дорівнює 2х;

в) якщо а = 0, b = 0, то с' = 0, тобто похідна сталої функції дорівнює нулю. Такого результату і слід було чекати, адже якщо функція стала, то швидкість її зміни дорівнює нулю.

До такого ж висновку можна дійти, якщо врахувати, що графіком сталої функції є пряма, паралельна осі Ох, тобто дотична в кожній точці графіка збігається із самим графіком функції, і тому кутовий коефіцієнт дотичної в довільній точці графіка дорівнює нулю: k = f'(х) = с' = 0 .

Задача 3 Знайдіть швидкість зміни функції f(х) = х2 + 2х - 1 у точці х0, якщо:

1) х0 = 3,1; 2) х0 =-5 .

Розв’язання. У цьому разі спочатку доцільно визначити швидкість зміни заданої функції в довільній точці х, тобто знайти f'(х), а потім знайти значення цієї похідної у вказаних точках.

Для знаходження похідної f'(х) використаємо формулу (3), поклавши в ній а = 1, b = 2, с = -1, тобто f'(х) = (х2 + 2х - 1)' = 2х + 2 для довільного значення х. Тоді

1) f'(3,1) = 2 - 3,1 + 2 = 8,2 ; 2) f'(-5) = 2 (-5) + 2 = -8 .

Задача 4. Закон прямолінійного руху матеріальної точки залежно від часу t (с) визначається функцією s(t) = 4t2 + 1 (м). Знайдіть швидкість v (м/с) та прискорення а (м/с2) в момент часу t = t0 (с), якщо:

1) t0= 5 ; 2) t0 = 10.

Розв’язання. Відповідно до механічного змісту похідної v(t0) = s'(t0) і a(t0) = v'(t0). Похідні заданої функції s(t) та v(t) знайдемо за формулою (3): s'(t) = 8t, тоді v(t) = 8t, a(t) = v'(t) = 8 для довільного значення t > 0. Оскільки прискорення руху є сталим і додатним, то розглядуваний рух є рівномірно прискореним.

І тоді

1) v(5) = 8 ∙ 5 = 40 (м/с), а(5) = 8 (м/с2);

2) v(10) = 8 ∙ 10 = 80 (м/с), а(10) = 8 (м/с2).

Задача 5. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = 2х2 - х + 5 у точці з абсцисою х0 =-.

Розв’язання. Скористаємося рівнянням (2): у - у0 =f'(х0)(х - х0). Ординату у точки дотику знайдемо з рівняння кривої у = 2х2 - х + 5, підставивши сюди замість х задане значення

Визначимо кутовий коефіцієнт дотичної, врахувавши, що похідна заданої функції відповідно до формули (3) є f'(х) = 4х - 1 (у цьому разі а = 2, b = -1, с = 5). Отже,

Таким чином, шуканим рівнянням дотичної є або 6х + 2y - 9 = 0.

Дізнайтеся більше

Крім розглянутих у §21 задач про миттєву швидкість і дотичну до кривої, можна навести ще чимало прикладних задач, у яких необхідно обчислити швидкість зміни деякої функції, тобто задач, які приводять до поняття похідної.

Наведемо деякі з них:

1) Сила змінного струму I(t) в момент часу t є похідною кількості електрики q(t).

I(t) = q'(t).

2) Теплоємність тіла С() за температури є похідною кількості тепла Q(), що отримує тіло:

C() = Q'().

3) Лінійна густина р(х) неоднорідного стержня в довільній точці х є похідною маси m(х) стержня:

р(х) = m'(х).

4) Швидкість v(t) зростання популяції в момент часу t є похідною її чисельності p(t):

v(t) = p'(t).

5) Швидкість v(t) хімічної реакції в момент часу t є похідною кількості речовини m(t):

v(t) = m'(t)

6) Продуктивність праці P(t) виробника в момент часу t є похідною обсягу W(t) виробленої продукції:

P(t) = W'(t)

(економічний зміст похідної).

Задача. Кількість одиниць виробленої майстром продукції протягом робочого часу визначається функцією W(t) = 2t2 - t, t ∈ [8;16], t — час (год).

Знайдіть продуктивність праці майстра в момент часу t0 =10 (год).

Розв’язання. Скористаємося задачею 6: Р(10) = W'(10). Якщо врахувати, що W'(t) = 4t - 1 (див. формулу (3)), то Р(10) = 4 - 10 - 1 = 39 (од.).

Пригадайте головне

1. Що називають приростом аргументу та приростом функції f(х) у точці х0?

2. Сформулюйте означення похідної функції f(х) у точці х0.

3. Що таке швидкість зміни функції в точці х0?

4. Який механічний зміст похідної?

5. Який геометричний зміст похідної?

6. Який вигляд має рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0?

7. Як називають операцію знаходження похідної функції fх)?

8. За якою схемою знаходять похідну f'(x)?

9. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х), якщо вона: паралельна осі Ох; паралельна осі Оу.

Розв'яжіть задачі

415. Похідна якої функції дорівнює 0; -1; 2х?

416. Яка з функцій на малюнку 81 має дотичну в точці (0; 0)?

Мал. 81

417. Знайдіть приріст функції f(х) = 3х2 + 1 у точці х0:

1) х0 = 1, ∆х = 0,1; 2) х0 = -1, ∆х = 0,5 .

418. Користуючись означенням, знайдіть похідну функції:

419. Користуючись означенням, обчисліть значення похідної функції f(х) = 3х2 +1 у точці:

420. Знайдіть нулі похідної функції:

1) у = 2х2 -1;   3) y = 104 + 2х - х2;

2) у = х2 - 6х +19 ;   4) у = (х + 1)(х - 2).

421. Закон прямолінійного руху точки визначається функцією s(t) = 4 + 121 - 0,25t2 (м), t — час (с). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 8 (с). У який момент часу t точка зупиниться?

422. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0:

1) y = 2х2, х0 = 1;0 ;

2) у = х2 -2х, х0 = 3 ;

3) у = х - 3х2, х0 = 2 ;

4) у = 2х2 +1, х0 = 1.

423. У якій точці графіка функції f(х) = х2 - х дотична нахилена до осі абсцис під кутом а :

1) а = 45°;

2) а = 135°;

3) а = 60°?

424. Пряма у = -3х +1 паралельна дотичній до параболи у = х2 - х. Знайдіть координати точки дотику.

425. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку (2; -1) і дотикається до кривої у = х2 - 4.

426. Тіло рухається прямолінійно за законом s(f) = 1 + 1 + t2 (м), t — час (с). Знайдіть діючу силу та кінетичну енергію руху через 2 с після початку руху, якщо маса тіла становить 2 кг.

427. Точка здійснює прямолінійний рух із прискоренням 4 см/с2. Знайдіть закон руху, якщо при t = 1 (с) точка перебувала на відстані 2 см від початку руху, а в момент t = 3 (с) вона мала швидкість 5 см/с.

Проявіть компетентність

428. У якій із точок: х = 0,5 чи х = 2 — функція у = х2 змінюється швидше?

429. Чи є пряма у = х- 4 дотичною до кривої у = х2 - 3х ?

430. У якій точці кривої у = -х2 + 2х - 3 дотична нахилена до осі Ох під кутами 0° та 45°?

431. Задано закони прямолінійного руху двох матеріальних точок S1(t) = 4t2 - 3(м) та S2(t) = t3 (м), t — час (с). Знайдіть проміжок часу, в якому швидкість першої точки більша за швидкість другої точки.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити