Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 Похідна та її застосування

§23 Основні правила диференціювання функцій

При знаходженні похідних функцій використовують теореми, які ми розглянемо без доведення.

Теорема 1 (похідна суми та різниці функцій)

Похідна суми та різниці двох диференційовних у точці х функцій и(х) та v(x) існує і дорівнює сумі та різниці їх похідних у цій точці, тобто

(u(x;) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x).   (1)

Ця теорема має місце для будь-якої скінченної кількості диференційовних функцій.

Теорема 2 (похідна добутку функцій)

Похідна добутку двох диференційовних у точці х функцій u(х) і v(x) існує та обчислюється за формулою

(u(x) ∙ v(x))' = u'(x)v(x) + u(X)V'(X) .   (2)

Ця теорема правильна для будь-якої скінченної кількості диференційовних функцій.

Наслідок. Якщо функція u(х) диференційовна в точці х, а С — стала, то похідна їх добутку існує і (Сu(х))' = Сu'(х), тобто сталий множник можна виносити за знак похідної.

Справедливість цього твердження випливає з теореми 2, якщо v(x) = С, С — стала, оскільки (Сu(х))' = С'u(х) + Сu'(х) = Сu'(х), бо С' = 0.

Теорема 3 (похідна частки функцій)

Похідна частки двох диференційовних у точці х функцій u(х) і v(х), якщо v(х) ≠ 0, існує та обчислюється за формулою

   (3)

Зверніть увагу:

частинні випадки формули (3), корисно мати на увазі під час практичного диференціювання функцій.

1. Якщо u(х) = С, С — стала, то за формулою (3) знайдемо:

   (4)

2. Якщо v(x) = С ≠ 0,С — стала, то формулою (3) користуватися немає потреби, бо відповідно до наслідку до теореми 2:

При диференціюванні функцій корисною стане таблиця 10.

Таблиця 10

Таблиця похідних

Задача 1 Знайдіть похідну функції: 1) y = х4; 2) y = 5х2; 3) y = 6х3 - х + 1.

Розв’язання.

1) Відповідно до таблиці похідних (п. 2) у' = (х4)' = 4х3.

2) у' = (5х2)' = 5(х2)' = 5 ∙ 2 х = 10х.

Знаходячи похідну, спочатку сталий множник 5 винесли за знак похідної, а потім знайшли похідну х2 за таблицею похідних.

3) Застосуємо спочатку правило диференціювання суми та різниці функцій, а потім знайдемо похідну кожного доданка відомим способом:

у' = (6х3 - х + 1)' = (6х3)' - х' + 1' = 18х2 - 1 + 0 = 18 х2 - 1.

Задача 2. Знайдіть похідну функції:

Розв’язання.

1) Сталий множник винесемо за знак похідної і за теоремою про похідну добутку функцій дістанемо:

у' = 2(х'(х2 + 1) + х(х2 + 1)') = 2(х2 +1 + 2х2) = 2(3х2 + 1).

2) Скористаємося теоремою про похідну частки функцій:

Дізнайтеся більше

Значний внесок у розвиток теорії функцій зробив відомий український математик, доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент АН УРСР, заслужений діяч науки Української РСР, Соросівський професор Владислав Кирилович Дзядик (1919-1998). Він народився в смт. Сахновщина Харківської обл. З 1960 р. працював в Інституті математики НАН України, де у 1963 р. створив відділ теорії функцій. Плідну наукову роботу Владислав Кирилович поєднував з викладацькою діяльністю. У 1962-1968 рр. він — завідувач кафедри математичного аналізу, а з 1967 р. — професор Київського університету імені Тараса Шевченка.

Пригадайте головне

1. Які арифметичні операції можна виконувати над диференційовними функціями?

2. Сформулюйте теореми про похідну суми, різниці, добутку та частки двох функцій. Назвіть відповідні формули диференціювання.

3. Який вигляд має формула для похідної суми та добутку трьох функцій?

4. Запишіть таблицю похідних елементарних функцій.

Розв'яжіть задачі

432. Що треба поставити замість знака *, щоб рівність була правильною:

433. Знайдіть похідну функції:

434. Використовуючи правила диференціювання та таблицю похідних, знайдіть похідну функції:

435. Знайдіть значення похідної функції f(х) у вказаних точках:

436. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 3t + 2t2 + t3(м), t — час (с). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 3 (с).

437. Два тіла рухаються прямолінійно. Одне за законом s(0 = t3 + t2 - 2 (м), t — час (с), друге — за законом s(t) = t2 + 1 (м), t — час (с). Знайдіть час, коли швидкості цих тіл будуть рівні.

438. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0:

439. Для функції f(х) обчисліть значення виразу:

440. Знайдіть точки кривих, у яких дотичні до них паралельні осі абсцис:

441. За яких значень х:

1) f'(x) > 0, якщо f(х) = х2 - 8х;

2) f'(x) < 0, якщо f(x) = х3 - 3х;

3) f'(x) = 0, якщо f(x) = 3cosx?

442. Тіло масою 3 кг рухається за законом s(t) = t3 - 3t2 - 1 (м), t — час (с). Знайдіть, яка сила діятиме на тіло через 2 (с) після початку руху.

443. Розв’яжіть нерівність: 1) f'(x) ≤ φ'(x), якщо f(х) = 2, φ(х) = х - х2;

2) f'(х) > φ'(x), якщо f(х) = х3 + х - 5, φ(х) = 3х2 + х + 5 .

444. Знайдіть точки, у яких дотичні до кривої у = f(х) паралельні заданій прямій:

445. Основа паралелограма а змінюється за законом a(t) = 2 + 31 (см), а висота h — за законом h(t) = 3t - 1(см), t — час (с). Знайдіть швидкість зміни його площі в момент часу t = 2 (с).

446. Покажіть, що якщо S — площа круга, а r — його радіус, то похідна S'(r) дорівнює довжині кола.

447. У якій з точок: х = 1 чи х = 2 — функція f(х) = х3 + х2 зростає швидше?

448. Знайдіть швидкість гармонічного коливного руху, якщо s(t) = 2 sin t, t — час (с). За якого значення t ця швидкість буде найменшою?

449. Чи правильно те, що похідною парної функції є непарна функція, а непарної — парна? Наведіть приклади.

450. Переконайтеся, що дотична, проведена в довільній точці гіперболи y = , при перетині з осями координат утворює трикутник сталої площі.

Проявіть компетентність

451. Переконайтеся, що будь-яка дотична до кривої у = х5 + 10х - 3 утворює з віссю Ох гострий кут.

452. Знайдіть функцію f(х), якщо відома її похідна:

1) f'(х) = 3х2 - 1 ; 2) f'(х) = - sin х + 2х; 3) f'(х) = cos х + х2.

453. Сторони а і b прямокутника змінюються за законами: а = 2t + 1 (см), b = 3t + 2 (CМ), t — час (с). З якою швидкістю змінюються його площа та периметр у момент часу t = 3 (с)?

454. Покажіть, що похідна площі квадрата зі змінною стороною х дорівнює його півпериметру.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити