Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 Похідна та її застосування

§24 Ознак сталості, зростання і спадання функції

1. ОЗНАКА СТАЛОСТІ ФУНКЦІЇ

Ми вже ознайомилися з деякими застосуваннями похідної до розв’язування прикладних задач. Важливим призначенням похідної є дослідження властивостей функцій, зокрема, встановлення інтервалів сталості та монотонності функцій. Раніше для цього ми користувалися відповідними означеннями.

Виявляється, що знак похідної функції на певному інтервалі визначає, чи є функція сталою, зростаючою або спадною на цьому інтервалі.

Подивіться на малюнок 82. Дотична в довільній точці графіка функції збігається із самим графіком і утворює з додатним напрямом осі Ох кут а = 0°, тобто похідна функції в кожній точці інтервалу (а; b) дорівнює нулю, і функція є сталою на цьому інтервалі.

Мал. 82

Звідси робимо висновок:

Якщо f'(x) = 0 на інтервалі (а; b), то функція f(x) є сталою на цьому інтервалі.

Це твердження називають ознакою сталості функції f(x) на інтервалі (а; b).

2. ОЗНАКИ МОНОТОННОСТІ ФУНКЦІЙ

Звернемось до малюнків 83 і 84. На малюнку 83 дотична в кожній точці кривої у = f(x) утворює з додатним напрямом осі Ох гострий кут, отже, f(x) > 0 на інтервалі (а; b) і функція f(x) зростає на інтервалі (а; b).

Мал. 83

Мал. 84

На малюнку 84 дотична в кожній точці кривої у = f(х) утворює з додатним напрямом осі Ох тупий кут, тобто f'(x) < 0 на інтервалі (а; b) і функція f(x) спадає на інтервалі (а; b).

Отже, знак похідної функції на інтервалі визначає характер її монотонності на цьому інтервалі, а саме:

1) Якщо f'(x) > 0 на інтервалі (а; b), то функція f(x) монотонно зростає на цьому інтервалі;

2) Якщо f'(x) < 0 на інтервалі (а; b), то функція f(x) монотонно спадає на цьому інтервалі.

Ці твердження називають ознаками монотонності функції f(x) на інтервалі (а; b).

Задача 1. Знайдіть інтервали монотонності функції f(х) =  x - 9x

Розв’язання. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел, D(f) = R. Знайдемо похідну та з’ясуємо, для яких значень х ця похідна додатна, а для яких— від’ємна. Маємо f(x) = x2 - 9 . Якщо f'(x) > 0, тобто х2 - 9 > 0, то |х| > 3 , або х ∈(-∞;-3)∪(3;+∞). Отже, на інтервалах (-∞;-3) і (3;+∞) функція зростає.

Аналогічно, якщо f'(х) < 0, тобто х2 - 9 < 0, то х ∈ (-3;3) і функція спадна на інтервалі (-3; 3).

Складемо таблицю 11.

Таблиця 11

Задача 2. Доведіть, що функція f(х) = х5 + 2х3 + х усюди зростає, а функція φ(х) = 1 - х3 —усюди спадна.

Розв’язання. Областю визначення функцій f(х) та φ (х) є множина всіх дійсних чисел.

Знайдемо похідну функції f(х): f'(x) = 5х4 + 6х2 + 1.

Очевидно, що f'(х) > 0 для всіх х ∈ (-∞;+∞), тобто функція f(х) зростає на множині всіх дійсних чисел.

Аналогічно, φ '(х) = -3х2 < 0 для всіх х ∈ (-∞;+∞), тому функція φ (х) спадна на множині всіх дійсних чисел.

Дізнайтеся більше

Задача. Доведіть нерівність

   (2)

Розв’язання. Розглянемо функцію

Оскільки sinx < х, якщо х > 0 (у цьому можна переконатись геометрично), то f'(х) = x - sinx > 0 , х > 0, тобто функція f(х) є зростаючою, якщо х > 0. Функція f(х) неперервна в точці х = 0 і f(0) = 0, тому f(х) > 0, якщо х > 0. Нерівність (2) доведено.

Пригадайте головне

1. Сформулюйте ознаку сталості функції f(х) на інтервалі (а; b). Який геометричний зміст вона має?

2. Що можна сказати про монотонність функції f(х) на інтервалі (а; b), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в усіх точках інтервалу додатний; від’ємний? Наведіть геометричні ілюстрації.

3. Сформулюйте ознаки монотонності функції f(х) на інтервалі (а; b).

4. Чи правильне твердження:

1) якщо диференційовна функція f(х) зростає на інтервалі (а; b), то f'(x) > 0, х ∈ (а; b);

2) якщо диференційовна функція f(х) спадає на інтервалі (а; b), то f'(x) < 0, х ∈ (а; b)?

Розв'яжіть задачі

455. Чи є функція зростаючою або спадною на вказаному інтервалі:

456. Укажіть інтервали сталості, зростання і спадання функцій, зображених на малюнку 85.

Мал. 85

457. Знайдіть інтервали монотонності функції:

458. Задано функцію f(х). З’ясуйте, зростає чи спадає функція на заданих інтервалах:

1) f(х) = х2 - 2х , (0; 1); (3;4); 2) f(х) = -х2 + х -1, (-1; 0); (1; 3).

459. Чи правильно те, що функція f(х) = х - 2х4 зростає на інтервалі (-∞; 0,5) і спадає на інтервалі (0,5; +∞)?

460. Покажіть, що функція зростає в усій її області визначення.

461. Чи є монотонною функцією похідна функції f(х) = х2 + sinx?

462. Покажіть, що функції f(х) = tgx та f(х) = ctgx монотонні в усій їх області визначення.

463. Що можна сказати про монотонність функцій f(х) та φ(х), якщо задано графіки їх похідних (мал. 86)?

Мал. 86

464. Знайдіть функцію, якщо задано графік її похідної, і дослідіть її на монотонність (мал. 87).

Проявіть компетентність

465. Переконайтеся, що функція f(х) = sin х - 2х + спадна на інтервалі (-∞; +∞) .

466. З’ясуйте, зростає чи спадає функція f(х) = -х2 + х - 1 у точках: 1) х1 = 0; 2) х2 = 1.

467. Чи правильна нерівність:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити