Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 3 Похідна та її застосування

§26 Застосування похідної до розв'язування прикладних задач

1. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВА ГРАФІКІВ

Застосування похідної дає досить ефективні й загальні методи дослідження функцій, необхідні для побудови їх графіків. Тепер, користуючись засобами диференціального числення, ми зможемо провести більш глибоке та ґрунтовне вивчення властивостей функції й обґрунтувати характерні її якісні особливості. Ми знаємо, що функції є математичними

моделями реальних процесів і явищ, тому не викликає сумніву важливість вивчення властивостей функцій, а з ними — і властивостей відповідних процесів і явищ, які вони описують.

Загальне дослідження функції та побудову її графіка зручно виконувати за такою схемою.

Схема дослідження функції та побудова її графіка

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність.

3. Дослідити функцію на неперервність. Знайти точки розриву функції та з’ясувати поведінку функції в околі цих точок.

4. Знайти екстремуми функції та інтервали монотонності.

5. Знайти точки перетину графіка функції з координатними осями.

6. З’ясувати поведінку функції в межових точках її області визначення.

7. Побудувати графік функції.

Задача 1. Дослідіть функцію f(х) = х2(х - 2)2 та побудуйте її графік.

Розв’язання. Дослідження функції проведемо за поданою вище схемою:

1. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел, D(f) = (-∞;+∞), причому f(х) > 0, х ∈ D(f), тобто графік функції розміщений над віссю Ох .

2. Функція не є ні парною, ні непарною, через те що f(-х) = х2(-х - 2)2, а це значення не дорівнює ні f(х), ні -f(х), якщо х ∈ D(f).

Функція неперіодична.

3. Функція неперервна в її області визначення.

4. Знайдемо екстремуми функції. Маємо f(х) = х22 - 4х + 4),

f'(х) = 2х(х - 2)2 + 2х2(х - 2) = 4х(х2 - 3х + 2) = 4х(х - 1)(х - 2).

Отже, f'(х) = 0, якщо х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2.

Складемо таблицю 12.

Таблиця 12

5. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: якщо у = 0 , то х1 = 0, х2 = 2; якщо х = 0 , то у = 0 .

Отже, графік функції перетинає вісь Ох у точках (0; 0) і (2; 0) та вісь Оу — у точці (0; 0).

6. З’ясуємо поведінку графіка функції на межі її області визначення:

якщо х → -∞, то f(х) = х2(х - 2)2→+∞ ;

якщо x → +∞, то f(х) → +∞ .

7. Графік функції подано на малюнку 91.

Мал. 91

Задача 2. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

Розв’язання. Проведемо дослідження функції.

1. Функція визначена для всіх значень х ≠ 0 , тобто D(f) = (-∞;0) ∪ (0;+∞).

2. Функція є парною, оскільки  x ∈ D(f), тому графік функції симетричний відносно осі Оу і подальше дослідження достатньо провести на множині А = (0;+∞). Функція неперіодична.

3. Функція неперервна на множині А.

Точка х = 0 є точкою розриву функції, причому а(х) →+∞, якщо х → 0 праворуч.

4. Знайдемо екстремуми функції на множині А. Маємо

Отже, f'(х) = 0 лише в точці х = 1, яка належить множині А.

Складемо таблицю 13.

Таблиця 13

5. Оскільки а(х) > 0, якщо х ∈ А, і функція не визначена в точці х = 0, то точок перетину з осями координат немає.

6. З’ясуємо поведінку графіка функції на межі множини А: якщо х → 0 праворуч, то а(х) → +∞ ; якщо х → +∞, то f(х) → +∞ .

7. Будуємо графік функції на множині А = (0;+∞), потім відобразимо його симетрично відносно осі Оу (мал. 92).

Мал. 92

Значення функції f(с), с ∈ [а; b], називають найбільшим на відрізку [а; b], якщо f(с) > f(х) для всіх х ≠ с з відрізка [а; b].

Значення функції f(с), с ∈ [а; b], називають найменшим на відрізку [а; b], якщо f(с) < f(х) для всіх х ≠ с з відрізка [а; b].

Функція f(х), графік якої подано на малюнку 88, набуває найбільшого значення на відрізку [а; b] у точці х3 і найменшого значення в точці х2.

Їх позначають відповідно

У даному разі функція f(х) досягає найбільшого та найменшого значення всередині відрізка [а; b], і це є відповідно найбільший з її максимумів та найменший з її мінімумів на відрізку [а; b]. Однак може трапитись, що найбільше або найменше значення функції (або обидва одразу) — її значення на кінцях відрізка [а; b].

Зазначимо також, що функція може не мати найбільшого або найменшого значення на певному проміжку. Пригадайте, наприклад, графіки функцій f(х) = х2, х ∈ (-∞;+∞) та f(х) = tgx,

Перша з них не має найбільшого значення на інтервалі (-∞; +∞), а для другої не існує найменше значення на інтервалі

Виникає запитання: як знайти найбільше та найменше значення функції, якщо воно існує на певному проміжку?

Нехай функція f(х) має найбільше та найменше значення на відрізку [а; b]. Міркуватимемо так. Найбільше та найменше значення функція може набувати або на кінцях відрізка [а; b], або в точках інтервалу (а; b). Якщо найбільше значення функція набуває в точці, яка належить інтервалу (а; b), то ця точка має бути точкою максимуму функції. Отже, її треба шукати серед коренів рівняння f'(х) = 0 і точок, у яких похідна f'(х) не існує. Аналогічні міркування застосовні для випадку, коли функція набуває найменшого значення в точці, яка належить інтервалу (а; b).

Отже, дістаємо таку схему.

Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції f(x) на відрізку [а; b]

1. Знайти критичні точки функції на інтервалі (а; b), тобто точки, у яких f'(х) = 0 та в яких f'(х) не існує.

2. Обчислити значення функції в критичних точках.

3. Обчислити значення функції на кінцях відрізка f(а) і f(b).

4. Серед знайдених значень функції вибрати найменше і найбільше.

Задача. Знайти найбільше і найменше значення функції f(х) = х3 - 3х + 3 на відрізку [-3; 5].

Розв’язання. Скористаємося наведеною схемою. Знайдемо критичні точки функції f(х) на інтервалі (-3; 5):

f'(х) = 3х2 - 3 = 0, якщо х1 = -1, х2 = 1.

Складемо таблицю 14.

Таблиця 14

x

-1

1

-3

5

f(x)

5

1

-15

113

Отже,

3. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

Задача 1. Визначте, як треба обгородити ділянку землі у вигляді кругового сектора дротом завдовжки 20 м, щоб площа ділянки була найбільшою.

Розв’язання. Нехай ОА = ОВ = х — радіус круга, а АВ = у — довжина дуги сектора цього круга (мал. 93).

Мал. 93

Тоді за умовою задачі 20 = 2х + у, звідки у = 2(10 - х).

Площа кругового сектора обчислюється за формулою S = ху, тобто S(x) = х(10 - х), х ∈ (0; 10).

Знайдемо найбільше значення функції S(x): S'(x) = 10 - 2х, S'(x) = 0, якщо х = 5 ∈ (0;10).

Оскільки при переході через точку х = 5 похідна S'(x) змінює знак з + на -, а саме, S'(x) > 0, якщо х ∈ (0;5) та S'(x) < 0, якщо х є (5;10), то функція S(x) має найбільше значення, якщо х = 5 і Smax(5) = 25 (м2). Отже, площа ділянки буде найбільшою, якщо радіус сектора х = 5 м, а довжина дуги у = 10 м.

Задача 2. Необхідно виготовити деталь у формі прямокутника з периметром 2р, яка має найбільшу площу.

Розв’язання. Позначимо сторони прямокутника через х і у. Тоді за умовою 2(х + у) = 2р, або х + у = р, звідки у = р - х.

Площа прямокутника S = xy, тобто маємо функцію S(x) = х(р - х), х ∈ (0; р).

Знайдемо найбільше значення функції S(x):

S'(x) = р - 2х, тоді S'(x) = 0, якщо х = ∈ (0; p).

Оскільки похідна S'(x) при переході через точку х = змінює знак з + на -, то ця точка є шуканою точкою максимуму функції S(x). При цьому друга сторона прямокутника

Отже, шуканим прямокутником з найбільшою площею є квадрат зі стороною , і його найбільша площа

Дізнайтеся більше

Значний внесок у розвиток теорії функцій зробив український математик Георгій Миколайович Положій (1914-1968)— відомий математик, член-кореспондент АН УРСР, професор, доктор фізико-математичних наук, із 1958 р. — завідувач кафедри обчислювальної математики Київського державного університету імені Тараса Шевченка. Розроблена ним теорія p-аналітичних і (p, q) — аналітичних функцій є важливою і нині для розвитку не лише математики як науки, а й авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін. На честь ученого досліджені ним функції називають його ім’ям — «p-аналітичні функції Положія».

Пригадайте головне

1. Які ви знаєте застосування похідної?

2. За якою схемою проводять дослідження функції?

3. Що називають найбільшим і найменшим значенням функції f(х) на відрізку [а; b]?

4. Чи може функція f(х) набувати найбільшого або найменшого значення на кінцях відрізка [а; b]?

5. Наведіть приклад функції, у якої найбільше і найменше значення на відрізку [а; b] збігаються.

6. За якою схемою знаходять найбільше і найменше значення функції f(х) на відрізку [а; b]?

Розв'яжіть задані

482. Проведіть дослідження функції та побудуйте графік:

1) f(x) = x3 - 3х; 2) f(х) = х4 - 3Х2 +4 ; 3) f(х) = (х - 1)(х + 2).

483. Знайдіть найбільше і найменше значення функції, зображеної на малюнку 94.

484. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на зазначеному відрізку:

Мал. 94

485. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 5t + 2t2 -  t3 (м), t — час (с). У який момент часу швидкість руху точки буде найбільшою і яка її величина?

486. Є кусок дроту завдовжки 40 м. Треба обгородити ним прямокутну ділянку землі, одна сторона якої прилягає до стіни будинку. Знайдіть розміри ділянки, за яких її площа буде найбільшою.

487. Запишіть число 36 у вигляді добутку двох додатних чисел, сума яких є найменшою.

488. Подайте число 50 у вигляді суми двох додатних чисел, щоб сума їх квадратів була найменшою.

489. Проведіть дослідження функції та побудуйте її графік:

Проявіть компетентність

490. Для якого числа різниця між ним і його квадратом є найменшою?

491. Площа прямокутної земельної ділянки становить S = 25 м2. Якими мають бути розміри цієї ділянки, щоб її периметр був найменшим?

492. Вікно має форму прямокутника, завершеного півкругом. Знайдіть розміри вікна найбільшої площі, якщо задано його периметр Р.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити