Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§27 Що вивчають у стереометрії

1. ПРОСТОРОВІ ФІГУРИ

Ви знаєте, що шкільний курс геометрії складається з двох частин — планіметрії та стереометри. У планіметрії вивчають геометричні фігури, всі точки яких лежать в одній площині, наприклад трикутник, квадрат, коло. У стереометрії вивчають властивості просторових фігур. У таких фігур не всі точки лежать в одній площині. Прикладами просторових фігур є многогранники. Вам уже відомі прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда.

Поверхня многогранника складається з плоских многокутників, які називають його гранями. Звідси і походить назва «многогранник». Вершини і сторони цих многокутників називаються відповідно вершинами і ребрами многогранника.

Які особливості мають прямокутний паралелепіпед, куб і піраміда?

2. ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД І КУБ

Прямокутний паралелепіпед — многогранник, поверхня якого складається із 6 граней, кожна з яких є прямокутником. У нього 8 вершин і 12 ребер. На малюнку 95 ви бачите прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1С1D1, побудований за клітинками. Дві його грані ABCD і A1B1C1D1 розміщені горизонтально. Їх називатимемо основами даного паралелепіпеда. Решта граней розміщені вертикально. їх називатимемо бічними гранями даного паралелепіпеда. Ребрами основ даного паралелепіпеда називатимемо сторони прямокутників ABCD і A1B1C1D1, а бічними ребрами — решту його ребер.

У побудові зображення прямокутного паралелепіпеда за клітинками використовуємо такі його властивості:

1) протилежні грані — попарно рівні прямокутники;

2) протилежні ребра кожної грані попарно паралельні й рівні;

3) бічні ребра рівні між собою й перпендикулярні до основ.

Мал. 95

Зверніть увагу:

зображуючи многогранник, видимі лінії робимо суцільними, а невидимі — штриховими.

Куб — многогранник, поверхня якого складається із 6 граней; кожна з них є квадратом. Куб є різновидом прямокутного паралелепіпеда, тому має всі його властивості. Особливі властивості куба пов’язані з тим, що всі його грані — це рівні між собою квадрати, а всі ребра — рівні між собою відрізки. На малюнку 96 ви бачите куб ABCDA1B1C1D1, побудований за клітинками.

Мал. 96

3. ПІРАМІДА

Піраміда — многогранник, поверхня якого складається з многокутника, він називається основою піраміди, і трикутників зі спільною вершиною, вони називаються бічними гранями піраміди. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

Залежно від того, який многокутник є основою, піраміду називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною. Висотою піраміди називають перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до її основи.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається із центром цього многокутника. У правильній піраміді бічні ребра рівні.

На малюнку 97 ви бачите побудовану за клітинками правильну трикутну піраміду SABC з вершиною S й основою ABC, а на малюнку 98 — правильну чотирикутну піраміду SABCD з вершиною S й основою ABCD.

Мал. 97

Мал. 98

У побудові правильної піраміди за клітинками використовуємо такі її властивості:

1) основа піраміди — це правильний многокутник;

2) центром основи піраміди є:

точка перетину медіан основи, якщо піраміда трикутна; точка перетину діагоналей основи, якщо піраміда чотирикутна; точка перетину серединних перпендикулярів до сторін основи, якщо піраміда n-кутна, де n > 4;

3) основа висоти піраміди збігається із центром її основи.

Зверніть увагу:

прямокутний паралелепіпед, куб і піраміду будемо використовувати для ілюстрування властивостей взаємного розміщення точок, прямих і площин.

4. ОСНОВНІ ФІГУРИ У ПРОСТОРІ

Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина, а основними відношеннями, як і на площині, — відношення «належати» й «лежати між». Площину зображають здебільшого у вигляді паралелограма (мал. 99).

Як і в планіметрії, точки позначають великими латинськими буквами А, В, С,... , прямі — малими латинськими буквами а, b, с,... . Площини позначають малими грецькими буквами а (альфа), β (бета), у (гама)... .

Подивіться на малюнок 100. Ви бачите, що кожна грань многогранника лежить у певній площині. Різні його грані лежать у різних площинах. Будь-які дві сусідні грані мають спільний відрізок — ребро. Воно лежить на прямій перетину двох площин, що містять ці грані. У кожній вершині многогранника сходяться принаймні три попарно сусідні його грані. У прямокутному паралелепіпеді й кубі в кожній вершині сходяться рівно по три грані. Кожна їх вершина є точкою перетину трьох площин, що містять ці грані.

Вершина піраміди може бути точкою перетину більш ніж трьох площин, що містять грані піраміди (див. мал. 97, 98).

У вершинах основи піраміди сходяться по три грані — дві сусідні бічні грані й основа.

Мал. 99

Мал. 100

Дізнайтеся більше

1. Предмети, що нас оточують, мають різні властивості: матеріал, з якого їх зроблено, масу, розміри, форму. У геометрії беруть до уваги лише форму предметів, їх розміри та взаємне розміщення. Решту властивостей досліджують у фізиці, хімії та інших науках. Узагалі, у природі не існує геометричних фігур — вони створюються уявою людини. На папері ж одержуємо зображення геометричної фігури.

Залежно від геометричного завдання, що розв’язують, один і той самий предмет розглядають як точку або лінію, поверхню або тіло. Наприклад, для водія, який перевозить труби на будівництво газопроводу, вони є тілами (займають певне місце в кузові автомобіля). Для робітника, який виконує ізоляцію, ці самі труби виступають у ролі поверхонь (для нього має значення не товщина стінок труб, а площа поверхні). Проектувальник, прокладаючи трасу, розглядає газопровід як лінію (для нього має значення протяжність труб).

2. Термін «стереометрія» походить від грецьких слів στερεοξ — просторовий і μετρεο — вимірювати. Його автором вважають давньогрецького вченого Платона (427- 347 рр. до н. е.) — засновника філософської школи в Афінах, яка називалася Академією. Головною заслугою Платона в історії математики вважають те, що він вперше висунув і всіляко обстоював ідею про необхідність знання математики кожною освіченою людиною. На дверях його Академії був напис: «Нехай не входить сюди той, хто не знає геометрії».

3. Термін «паралелепіпед» походить від грецьких слів παραλλοξ— паралельний і επιπεδον— площина. Термін «куб» (грец. χσβοξ) також античного походження. Таку назву мала гральна кістка з вирізаними на ній вічками. Її виготовляли з баранячого суглоба, який міг падати на чотири грані, а після обточування — на шість граней. Назву «піраміда» вважають чи не єдиним терміном, який дійшов до нас від стародавніх єгиптян. Вона означає «пам’ятник», тобто обеліск, установлений славетній людині — фараонові.

Пригадайте головне

1. Що вивчають у стереометрії?

2. Які фігури вважають просторовими? Наведіть приклад.

3. Поясніть, що таке прямокутний паралелепіпед. Які його властивості?

4. Що таке куб та які його властивості?

5. Який многогранник називається пірамідою?

6. Що є основою піраміди; її гранями; ребрами; вершинами?

7. Чому піраміду називають трикутною; чотирикутною; n-кутною?

8. Що таке висота піраміди?

9. Яку піраміду вважають правильною та які її властивості?

10. Назвіть основні геометричні фігури у просторі. Як їх позначають?

Розв'яжіть задачі

498. Який з многогранників на малюнках 101 - 103 є прямокутним паралелепіпедом? Скільки в нього вершин, ребер, граней? Який многокутник є його основою? Які многокутники є його бічними гранями?

499. Який з многогранників на малюнках 101 - 103 є кубом? Скільки в нього вершин, ребер, граней? Який многокутник є його основою? Які многокутники є його бічними гранями?

500. Який з многогранників на малюнках 101 - 103 є пірамідою? Скільки в неї вершин, ребер, граней? Який многокутник є його основою? Які многокутники є її бічними гранями?

501. Який многокутник є основою правильної піраміди? Яка властивість її бічних ребер? Де розміщується основа її висоти?

502. Які з наведених фігур є основними в стереометрії:

1) точка;   5) кут;   9) куб;

2) відрізок;   6) трикутник;   10) куля;

3)промінь;   7) коло;   11) площина;

4) пряма;   8) ромб;   12) призма?

503. Накресліть за клітинками прямокутний паралелепіпед KLMNK1L1M1N1. Назвіть:

1) протилежні грані; 2) протилежні ребра граней; 3) бічні ребра. Які їх властивості?

504. Накресліть за клітинками куб KLMNK1L1M1N1. Назвіть:

1) протилежні грані;

2) протилежні ребра граней;

3) бічні ребра. Які їх властивості?

505. Накресліть за клітинками піраміду SKLMN. Назвіть:

1) протилежні грані;

2) протилежні ребра граней;

3) бічні ребра.

Які їх властивості?

Мал. 101

Мал. 102

Мал. 103

506. Чи можна вважати правильною піраміду, в якої основа:

1) рівнобедрений трикутник, а бічні ребра однакової довжини;

2) правильний трикутник;

3) правильний трикутник, а бічні ребра різної довжини;

4) рівносторонній трикутник, а бічні ребра дорівнюють стороні основи? Відповідь поясніть.

507. За малюнками 101 - 103 поясніть для даного многогранника:

1) у якій площині лежить певна його грань;

2) у яких площинах лежать сусідні грані;

3) по якій прямій перетинаються сусідні грані;

4) які грані мають спільне ребро: а) АВ; б) CD; в) BD;

5) які грані сходяться у вершині: а) А; б) В; в) С.

508. Яку найменшу кількість граней, ребер, вершин може мати піраміда?

509. Дано n-кутну піраміду. Виведіть формулу для обчислення кількості її: 1) вершин; 2) ребер; 3) граней.

510. У кубі ABCDA1B1C1D1 задано точку: 1) Р на ребрі АА1; 2) Q на ребрі AD. Площини яких граней перетинає пряма, що лежить у площині грані куба і проходить через дану точку та одну з вершин куба? Скільки таких прямих можна провести?

511. У піраміді SABCD задано точку: 1) М на ребрі SA; 2) N на ребрі ВС. Площини яких граней піраміди перетинає пряма, що лежить у площині грані піраміди і проходить через дану точку та одну з вершин піраміди? Скільки таких прямих можна провести?

512. Дано куб ABCDA B1С1D1. Назвіть площини, кожна з яких проходить принаймні через три вершини куба.

513. На трьох бічних ребрах прямокутного паралелепіпеда розміщено по дві точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких проходитиме принаймні через три з даних точок?

514. На трьох бічних ребрах чотирикутної піраміди розміщено по три точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких проходитиме принаймні через три з даних точок?

Проявіть компетентність

515. З дерев’яного кубика треба виточити правильну піраміду: 1) чотирикутну; 2) трикутну. Поясніть, як це можна зробити.

516. Як скласти із шести олівців однакової довжини чотири рівносторонні трикутники зі стороною, що дорівнює довжині олівця?

517. Вам потрібно знайти відстань між найбільш віддаленими вершинами предмета, що має форму прямокутного паралелепіпеда, наприклад, цеглини. Запропонуйте спосіб вимірювання лінійкою цієї відстані, не виконуючи ніяких обчислень.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити