Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§33 Паралельне проектування

Ви вже знаєте, що для вивчення просторових фігур користуються макетами цих фігур або їх зображеннями на площині. На малюнку 177 ви бачите каркасний макет куба, який розміщено перед екраном (стіною, аркушем паперу), що його освітлює сонце. Макет куба дає на екрані тінь, яка є зображенням куба на площині. Якщо сонячні промені вважати паралельними прямими, то можна сказати, що зображення куба одержали за допомогою паралельного проектування.

Мал. 177

Мал. 178

Мал. 179

Мал. 180

Подивіться на малюнок 178. Пряма l перетинає площину а. Через точку А фігури F проведено пряму, яка паралельна прямій l і перетинає площину а в точці А1. Ця точка є зображенням точки А в площині а. Побудувавши в такий спосіб зображення кожної точки фігури F, одержали фігуру F1 — зображення фігури F у площині а.

Фігура, що її проектували, називається оригіналом. Одержане зображення фігури називається паралельною проекцією цієї фігури. Пряма l задає напрям проектування. Прямі, паралельні прямій l, називають проектувальними прямими, а площину а — площиною проекцій.

Мал. 181

Зверніть увагу:

у паралельному проектуванні прямі й відрізки, що проектуються, вважають непаралельними напряму проектування, якщо це окремо не зазначено.

Наведемо основні властивості паралельного проектування.

1. Паралельною проекцією точки є точка.

2. Паралельною проекцією прямої є пряма.

3. Проекції паралельних прямих паралельні між собою (мал. 179) або збігаються, якщо дані прямі лежать у площині, паралельній напряму проектування (мал. 180).

4. Якщо відрізки лежать на одній прямій (мал. 181) або на паралельних прямих (мал. 182), то відношення їх проекцій дорівнює відношенню самих відрізків.

Мал. 182

Якою фігурою є паралельна проекція паралелограма, якщо він лежить у площині, паралельній напряму проектування? Відрізок. Відповідь поясніть самостійно.

З наведених властивостей випливає, що під час паралельного проектування деякі властивості фігур зберігаються, а деякі — ні (табл. 21).

Таблиця 21

Властивості фігур під час паралельного проектування

зберігаються

не зберігаються

1) Належність фігури до свого класу фігур (точку зображають точкою, пряму — прямою, відрізок — відрізком, трикутник — трикутником тощо);

2) належність точок прямій;

3) порядок розміщення точок на прямій (внутрішню точку відрізка зображають внутрішньою точкою його проекції);

4) паралельність прямих;

5) рівність (пропорційність) відрізків, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій

1) Довжина відрізка (зокрема відрізок завдовжки 5 см на зображенні може мати іншу довжину);

2) міра кута (зокрема прямий кут зображають довільним кутом);

3) перпендикулярність прямих (перпендикулярні прямі зображають прямими, що перетинаються під гострим кутом);

4) рівність (пропорційність) кутів (зокрема бісектрису кута зображають променем, який не обов’язково ділить навпіл зображення кута);

5) рівність (пропорційність) відрізків, які лежать на прямих, що перетинаються

Задача 1. Побудуйте паралельну проекцію прямокутної трапеції ABCD, у якій AD ⊥ АВ, АВ : DC = 2 : 1.

Розв’язання. Спочатку побудуємо оригінал даної трапеції (мал. 183). Спираючись на нього, з’ясуємо властивості шуканої проекції. Трапеція є чотирикутником, тому її проекція також є чотирикутником. Позначимо його A1B1C1D1. У даній трапеції: основи АВ і DC паралельні, тому їх проекції А1В1 і В1С1 також паралельні; бічні сторони АВ і ВС непаралельні, тому їх проекції А1В1 і В1С1 також не паралельні. Отже, чотирикутник А1В1С1В1 — трапеція. За умовою, АВ : DC = 2 : 1, тому А1В1 : В1С1 = 2 : 1, бо зберігається відношення відрізків, що лежать на паралельних прямих. За умовою АВ ⊥ АВ1. Оскільки перпендикулярність прямих не зберігається під час паралельного проектування, то в проекції ∠D1A1B1 не обов’язково прямий. Отже, дана прямокутна трапеція зображається трапецією, але не обов’язково прямокутною (мал. 184). Трапеція А1В1С1В1 — шукана.

Мал. 183

Мал. 184

Зверніть увагу:

щоб побудувати паралельну проекцію плоскої фігури, спочатку побудуйте її оригінал. Потім, спираючись на оригінал, виділіть властивості фігури:

• які зберігаються під час паралельного проектування (на них треба спиратися, будуючи проекцію);

• які не зберігаються під час паралельного проектування (їх не можна використовувати, будуючи проекцію).

Як побудувати паралельну проекцію многогранника? Для цього треба з’ясувати, як зображатимуться всі його грані, потім послідовно виконати побудову проекції кожної з них. Розглянемо приклади.

Задача 2. Побудуйте зображення прямокутного 1 паралелепіпеда АBСDА1B1С1D1.

Розв’язання. Побудову прямокутного паралелепіпеда виконуємо в три етапи:

1) будуємо зображення однієї з основ;

2) проводимо бічні ребра;

3) будуємо зображення другої основи.

1. Основа прямокутного паралелепіпеда — прямокутник. Оскільки протилежні сторони прямокутника попарно паралельні й рівні, то проекцією основи є паралелограм (мал. 185).

Мал. 185

2. Бічними гранями прямокутного паралелепіпеда є прямокутники, отже, їх проекціями є паралелограми. Тому проекції бічних ребер є рівними паралельними відрізками. Проводимо їх паралельно вертикальному краю аркуша (мал. 186).

Мал. 186

3. Будуючи зображення другої основи даного паралелепіпеда, враховуємо те, що його основи — рівні прямокутники, які лежать у паралельних площинах. Отже, їх проекції є рівними паралелограмами з відповідно паралельними сторонами (мал. 187).

Прямокутний паралелепіпед АBСDА1B1С1D1— шуканий.

Мал. 187

Задача 3. Побудуйте зображення правильної трикутної піраміди SABC.

Розв’язання. Побудову піраміди виконуємо в три етапи: 1) будуємо зображення основи; 2) з’ясовуємо, де має розміщатися вершина піраміди; 3) проводимо бічні ребра.

1. Основа даної піраміди — правильний трикутник. Його проекцією є довільний трикутник АВС (мал. 188), оскільки рівність сторін правильного трикутника та рівність його кутів не зберігаються під час проектування.

2. Вершина правильної піраміди лежить на прямій, що містить висоту піраміди. Основа висоти даної піраміди збігається з точкою О перетину медіан її основи. Через точку О перетину медіан основи піраміди проводимо пряму паралельно вертикальному краю аркуша. На цій прямій позначаємо довільну точку S — вершину піраміди (мал. 189).

3. Бічними гранями правильної піраміди є рівні рівнобедрені трикутники. Проте на зображенні рівність бічних сторін цих трикутників не зберігається. Тому проекції бічних ребер піраміди — це відрізки довільної довжини, що сполучають вершину піраміди з вершинами її основи (мал. 190). Піраміда SABC — шукана.

Мал. 188

Мал. 189

Мал. 190

Зверніть увагу:

• розміщення висоти піраміди залежить від властивостей піраміди;

• якщо піраміда правильна, то основа її висоти збігається із центром многокутника основи;

• висоту піраміди проводять (чи уявляють проведеною) паралельно вертикальному краю аркуша;

• розміщення вершини піраміди визначають після побудови її висоти.

Дізнайтеся більше

Значний внесок у розвиток теорії зображень просторових фігур на площині зробив відомий геометр Микола Федорович Четверухін (1891-1974). Він обґрунтував можливість побудови наочного зображення просторових фігур простішими способами, ніж це робиться в аксонометрії. Завдяки досягненням ученого елементи теорії зображень стали доступними для вивчення в шкільному курсі геометрії.

Пригадайте головне

1. Що таке паралельне проектування; площина проекцій; проектувальні прямі?

2. Назвіть властивості паралельного проектування.

3. Які властивості фігур зберігаються під час паралельного проектування?

4. Назвіть властивості фігур, які не зберігаються під час паралельного проектування.

5. Якою фігурою може бути паралельна проекція трикутника; паралелограма; прямокутника; трапеції?

6. Поясніть, як побудувати зображення прямокутного паралелепіпеда; піраміди.

Розв'яжіть задачі

652. На малюнках 191 - 193 зображено фігуру-оригінал та її паралельну проекцію в площині а. Назвіть: 1) фігуру, яку проектували; 2) проектувальні прямі; 3) паралельну проекцію даної фігури.

653. Чи може чотирикутник бути проекцією трикутника?

654. Чи може трикутник бути проекцією чотирикутника?

655. На промені АО відкладіть відрізки: 1) АВ = 2 см і ВС = 3 см; 2)АВ = 2 см і ВС = 1 см; 2) АВ = 3 см і ВС = 1,5 см. Чому дорівнює відношення їх проекцій?

656. Відрізки АВ і CD лежать на паралельних прямих. Як відносяться їх проекції, якщо: 1 )АВ : CD = 3 : 4; 2)АВ : CD = 7 : 1; 3) АВ : CD = 4 : 9?

657. Чи може паралельною проекцією паралелограма бути:

1) квадрат;   2) ромб;   3) трапеція?

658. Чи може паралельною проекцією квадрата бути:

1) квадрат;   2) ромб;   3) трапеція?

Мал. 191

Мал. 192

Мал. 193

Мал. 194

Мал. 195

659. На малюнках 194, 195 зображено ∆АВС та його паралельну проекцію ∆A1B1C1. Назвіть властивості ∆АВС, які під час проектування: 1) збереглися; 2) не збереглися.

660. Побудуйте проекцію рівнобедреного трикутника ABC, у якому проведено: 1) медіану до бічної сторони; 2) висоту до основи; 3) бісектрису кута при вершині.

661. Побудуйте проекцію рівнобедреного прямокутного трикутника ABC з прямим кутом С, у якому проведено: 1) медіани; 2) середні лінії; 3) висоту до гіпотенузи.

662. Побудуйте проекцію прямокутного трикутника ABC, у якому проведено серединні перпендикуляри до катетів, якщо прямим є кут: 1) А ; 2) В ; 3) С.

663. Побудуйте проекцію прямокутника ABCD, у якому сполучено відрізками:

1) середину більшої сторони з вершинами протилежної сторони;

2) середини протилежних сторін; 3) середини суміжних сторін.

664. Чи можна в результаті паралельного проектування трапеції одержати: 1) трикутник; 2) ромб; 3) трапецію? Відповідь поясніть.

665. Побудуйте проекцію рівнобічної трапеції ABCD, у якій проведено середню лінію, паралельну стороні: 1)АВ; 2)ВС; 3)CD.

666. Побудуйте зображення: 1) куба; 2) прямокутного паралелепіпеда.

667. Побудуйте зображення правильної піраміди:

1) трикутної; 2) чотирикутної.

668. Під час паралельного проектування деякої фігури дістали відрізок. Якою могла бути фігура-оригінал?

669. Доведіть, що проекцією середини відрізка є середина його проекції.

670. Побудуйте проекцію відрізка АВ, що його точка К ділить у відношенні: 1)1 : 3; 2) 3 : 5; 3) 3 : 1,5; 4) 2 : 0,5.

671. Побудуйте проекцію прямокутного ∆АВС , у якому проведено висоту СН до гіпотенузи, а катети дорівнюють: 1) АС = 5 см, ВС = 12 см; 2) АС = 24 см, ВС = 1 см.

672. Побудуйте проекцію рівнобедреного трикутника з основою а і бічною стороною b, у якому позначено центр вписаного кола й центр описаного кола, якщо: 1) а = 6, b = 8;   2) а = 10, b = 13.

673. Побудуйте проекцію прямокутника ABCD, у якому проведено перпендикуляр з його вершини до діагоналі, якщо:

1) АВ = 6 см, ВС - 8 см;   2) АВ = 5 см, ВС = 10 см.

674. Побудуйте проекцію ромба з гострим кутом 60°, у якому проведено висоту з вершини: 1) гострого кута; 2) тупого кута.

675. Побудуйте проекцію чотирикутника, кути якого дорівнюють:

1) 30°, 30°, 150°, 150°; 2) 60°, 60°, 120°, 120°. Скільки випадків треба розглянути?

676. Побудуйте проекцію рівнобічної трапеції, в якій проведено висоту з вершини тупого кута, а основи дорівнюють: 1) 12 см і 24 см; 2) 8 см і 14 см.

677. Побудуйте зображення прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи: 1) АС = 5 см, ВС = 12 см; 2) АС = 24 см, ВС = 1 см. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через його вершину С1 і пряму СН, проведену в площині основи перпендикулярно до її діагоналі.

678. Побудуйте зображення піраміди, основа якої — рівнобедрений трикутник з основою а і бічною стороною b, якщо: 1) а = 6, b = 8; 2) а = 10, b = 13. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди, вершину її основи та центр кола, вписаного в основу.

679. Побудуйте зображення піраміди, основа якої — рівнобічна трапеція з основами: 1) АВ = 12 см, CD = 24 см; 2) АС = 8 см, BD = 14 см. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди й висоту основи, проведеної з вершини її тупого кута.

680. Побудуйте проекцію прямокутного трикутника з катетами а і b та гіпотенузою с, у якому позначено центр вписаного кола й центр описаного кола, якщо: 1) а : b : с = 3 : 4 : 5; 2) а : b : с = 8 : 15 : 17.

681. Побудуйте проекцію тупокутного трикутника з кутом: 1) 120°; 2) 150°. У яку точку проектується центр вписаного кола; центр описаного кола?

682. Квадрат ABCD добудовано до рівнобічної трапеції так, що сторона CD квадрата стала однією з основ трапеції, а сторона ВС — висотою трапеції. Побудуйте проекцію утвореної трапеції.

Проявіть компетентність

683. Яким многокутником може бути тінь споруди на площині подвір’я, якщо споруда має форму:

1) прямокутного паралелепіпеда;

2) куба;

3) правильної чотирикутної піраміди?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити