Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 5 Перпендикулярність прямих і площин у просторі

§34 Перпендикулярність прямої та площини

Ви знаєте, що коли пряма не лежить у площині й не паралельна їй, то вона перетинає площину. Якщо пряма перетинає площину, то вона може бути перпендикулярною до цієї площини.

Подивіться на малюнок 196. Якщо через основу вертикального стовпа провести прямі на поверхні землі, то кут між стовпом і кожною із цих прямих дорівнюватиме 90°. Тобто стовп перпендикулярний до будь-якої прямої, що проходить через його основу.

На малюнку 197 пряма АО перетинає площину а в точці О, а прямі ОВ, ОС, OD,... лежать у цій площині й проходять через точку перетину. Пряма АО перпендикулярна до кожної із цих прямих. Говорять, що пряма АО перпендикулярна до площини а.

Записуємо: AO ⊥ a, або a ⊥ AO.

Спробуйте дати означення прямої, перпендикулярної до площини, та порівняйте його з наведеним у підручнику.

Мал. 196

Мал. 197

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині та проходить через точку перетину.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої та площини)

Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Дано: пряма АА1 перетинає площину а в точці О (мал. 198); прямі ОВ і ОС лежать у площині а; АА1⊥ ОВ ; АА1⊥ ОС.

Довести: AA1 ⊥ a .

Доведення Доведемо, що пряма АА1 перпендикулярна до будь-якої прямої OD, що лежить у площині а і проходить через точку перетину О. Відкладемо на прямій АА1 в різні боки від точки О рівні відрізки ОА і ОА1. Проведемо довільну пряму, яка перетинає прямі ОВ, OD і ОС в точках В, D і С. Ці точки сполучимо з точками А і А1 відрізками. Розглянемо три пари трикутників.

1. ∆АВА1 і ∆АСА1 — рівнобедрені, оскільки відрізки ОС і ОВ є висотами за умовою й медіанами за побудовою (ОА = ОА1). Звідси АВ = А1В і АС =А1С.

2. ∆АВС = ∆А1ВС за трьома сторонами. У них АВ = А1В і АС = А1С за доведеним, ВС — спільна сторона. З рівності трикутників випливає: ∠ABD = ∠A1BD.

3. ∆ABD = ∆A1BD за двома сторонами (BD — спільна сторона, АВ = А1В) і кутом між ними (∠ABD = ∠A1BD). З рівності трикутників матимемо: AD = A1D.

Отже, ∆AA1D — рівнобедрений, тому його медіана OD є і висотою, тобто АА1 ⊥ OD. За означенням, пряма АА1 перпендикулярна до площини а.

Мал. 198

Чому ребро АА1 прямокутного паралелепіпеда АBСDА1B1С1D1 (мал. 199) перпендикулярне до площини основи? Оскільки ребро АA1 перпендикулярне до прямих АВ і АВ, то, за ознакою перпендикулярності прямої та площини, воно перпендикулярне до площини основи ABCD.

Мал. 199

Задача. SABC — правильна трикутна піраміда, точка М — середина ребра АВ (мал. 200). Доведіть, що пряма АВ перпендикулярна до площини SMC.

Розв’язання. Оскільки піраміда SABC — правильна, то її основою є правильний трикутник, а бічні грані — рівнобедрені трикутники. Тоді медіани CM і SM трикутників ABC та ABS є їх висотами. Отже, пряма АВ перетинає площину SMC і перпендикулярна до двох прямих CM і SM цієї площини, що проходять через точку М перетину прямої АВ з площиною SMC. За ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма АВ перпендикулярна до площини ∆SMC.

Мал. 200

Ознака перпендикулярності прямої та площини застосовується на практиці. Щоб перевірити, чи перпендикулярна лінія перетину стін кімнати до площини підлоги, перевіряють, чи є прямими кути між цією лінією та двома прямими, які лежать у площині підлоги і перетинають цю лінію.

Дізнайтеся більше

У вас може виникнути запитання: Чи обов’язково, щоб дві прямі, про які йдеться в ознаці перпендикулярності прямої та площини, проходили через точку перетину даної прямої та площини? Не обов’язково.

На малюнку 201 пряма а перпендикулярна до прямих b і с, які лежать у площині а і перетинаються, але не проходять через точку перетину прямої та площини. Прямі а і b, а і с — мимобіжні. Проведемо через точку перетину прямої а з площиною a прямі b1 || b і с1|| с. Тоді, за означенням кута між мимобіжними прямими, пряма а буде перпендикулярною до прямих b1 і c1, а отже, і до площини ос. Тому ознаку перпендикулярності прямої та площини можна узагальнити й сформулювати так:

якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини.

Справедливе й таке твердження:

пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до будь- якої прямої, що лежить у цій площині (хоча б і такої, що не проходить через точку перетину).

Мал. 201

Пригадайте головне

1. Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини.

2. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини.

3. Як довести, що дана пряма перпендикулярна до площини?

Розв'яжіть задачі

683. Пряма а перпендикулярна до прямих b і с площини а (мал. 202). Чи випливає із цього, що а ⊥ a?

684. Пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника (мал. 203). Чи можна стверджувати, що ця пряма перпендикулярна до площини трикутника?

685. На малюнку 204 a ⊥ a. Чи перпендикулярна пряма а до прямої b, яка лежить у площині а?

686. Пряма а перетинає площину а й перпендикулярна до прямої b, яка лежить у цій площині (див. мал. 204). Чи може пряма а не бути перпендикулярною до площини а? Поясніть відповідь.

687. Через вершину А прямокутника ABCD проведено пряму AM, перпендикулярну до прямих АВ і АС (мал. 205). Доведіть, що AM ⊥ AD.

688. Через точку N, що лежить поза площиною шестикутника ABCDEF, проведено пряму AN, перпендикулярну до прямих АВ і AF (мал. 206). Доведіть, що:

1) AN ⊥ АС ; 2) AN ⊥ AD; 3) AN ⊥ AE.

Мал. 202

Мал. 203

Мал. 204

Мал. 205

Мал. 206

689. Пряма ВМ перпендикулярна до площини трикутника АBС. На стороні АС взято довільну точку К. Якого виду трикутник КВМ? Поясніть відповідь.

690. Через вершину А трикутника АВС проведено пряму АК, перпендикулярну до прямих АВ і АС. Доведіть, що пряма АК перпендикулярна до висоти, медіани та бісектриси трикутника АВС, проведених з вершини А.

691. Як розміщена відносно площини круга пряма, перпендикулярна до двох його діаметрів? Поясніть відповідь.

692. ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що:

1) пряма DD1 перпендикулярна до площини грані ABCD;

2) пряма АB перпендикулярна до площини грані DD1С1С.

693. АBСDА1B1С1D1 — куб (мал. 207). Доведіть, що:

1) ∆АB1D — прямокутний;

2) чотирикутник АB1С1D — прямокутник.

694. Пряма CM перпендикулярна до площини прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Доведіть, що:

1) пряма BС перпендикулярна до площини прямих АС і CM;

2) пряма АС перпендикулярна до площини прямих BС і CM.

Мал. 207

695. Пряма CD перпендикулярна до сторони ВС прямокутного ∆ABC (∠C = 90°). Назвіть пряму та площину, що перпендикулярні між собою.

696. Прямокутні трикутники ABC і DBC з прямим кутом В лежать у різних площинах і мають спільний катет ВС (мал. 208). Які пряма та площина перпендикулярні між собою? Поясніть відповідь.

Мал. 208

697. Пряма CM перпендикулярна до площини квадрата ABCD із стороною а, СМ = 6. Знайдіть відстань від точки М до вершин квадрата, якщо:

1) а = 2 см, 6 = 1 см; 2) а = 3 см, 6 = 4 см.

698. Через вершину С прямого кута трикутника ABC проведено пряму CD, перпендикулярну до його площини. АС = а, ВС = 6, CD = с. Знайдіть відстань від точки Б до середини М гіпотенузи трикутника, якщо:

1) а = 6 см, 6 = 8 см, с - 12 см; 2) а = 12 см, 6 = 16 см, с = 24 см.

699. Пряма AD перпендикулярна до площини прямокутного трикутника АВС із прямим кутом С. АС = а, ВС = 6, AD = с. Знайдіть відстань від точки D до вершин B і С, якщо:

1) а = 3 см, 6 = 4 см, с = 12 см;

2) а = 12 см, 6 = 16 см, с = 15 см.

700. Через точку О перетину діагоналей ромба ABCD проведено пряму ОМ, перпендикулярну до його площини. Доведіть, що:

1) пряма BD перпендикулярна до площини АМС;

2) пряма АС перпендикулярна до площини BMD.

701. Точка S лежить поза площиною паралелограма ABCD (мал. 209). Відомо, що SA = SC, SB = SD і О — точка перетину діагоналей паралелограма. Доведіть, що пряма SO перпендикулярна до площини паралелограма.

Мал. 209

702. На малюнку 210 а, b, с — виміри прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1. Знайдіть площі трикутника A1B1D та чотирикутника А1В1CD, якщо:

1) а = 12 см, 6 = 8 см, с = 16 см;

2) а = 5 см, 6 = 10 см, с = 12 см.

Мал. 210

703. Пряма ОМ перпендикулярна до площини кола із центром О, а точка А лежить на колі.

Знайдіть AM, якщо:

1) ОА = 6 см, ∠OMA = 30°;

2) ОМ = 4 см, площа круга дорівнює 25 см2.

704. Доведіть, що через точку, яка лежить поза площиною а, не можуть проходити дві прямі, перпендикулярні до площини а.

705. Через вершину С прямого кута ∆ABC проведено пряму CD, перпендикулярну до його площини. AD = a, BD = 6, CD = с. Знайдіть медіану СМ трикутника ABC.

706. Через вершину А прямокутника ABCD проведено пряму AM, перпендикулярну до його площини. Відстані від точки М до решти вершин прямокутника дорівнюють а, 6, с (а < с, 6 < с). Знайдіть відрізок AM і сторони прямокутника.

707. У трикутнику ABC кут С прямий, а кут А дорівнює 30°. Через точку С проведено пряму СМ, перпендикулярну до площини трикутника. АС = 18 см, СМ = 12 см. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ.

Проявіть компетентність

708. Вважаючи підлогу й двері кімнати за моделі площин, а одвірок — за модель прямої, проілюструйте на цих моделях означення прямої, перпендикулярної до площини.

709. Як за допомогою виска можна перевірити вертикальність стовпа?

710. Перпендикулярність осі свердла до площини столу, на якому кріпиться деталь (мал. 211), слюсар перевірив за допомогою кутника. Як він це зробив?

Мал. 211



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити