Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 Функції, їхні властивості та графіки

§3 Степінь з раціональним показником

1. ПОНЯТТЯ СТЕПЕНЯ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

Ви вже знаєте, який зміст має вираз аn, де а ≠ 0, якщо показник n — ціле число.

Наприклад,

тобто степінь аn існує при довільному цілому n і дійсному а ≠ 0.

Який зміст має степінь з довільним раціональним показником ?

Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m — ціле, а n > 1 — натуральне число, називають число тобто

За означенням степінь існує за будь-якого дробового показника r = , якщо основа а > 0. Якщо n — парне число, то степінь має зміст, якщо аm ≥ 0; якщо n — непарне число, то вираз має зміст за будь-якої основи а ≠ 0.

Наприклад,

не існує;

2. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

Покажемо, що сформульоване означення степеня з раціональним показником зберігає основні властивості степеня із цілим показником.

Властивості степеня з раціональним показником (а > 0, b > 0, r, s — раціональні числа):

6. аr > 1, якщо а > 1, r > 0 ; аr < 1, якщо а > 1, r < 0.

7. аr > аs, якщо а > 1, r > s; ar< аs, якщо 0 < а < 1, r > s.

8. ar < br, якщо r > 0, а < b; аr > br, якщо r < 0, а < b.

Для доведення цих властивостей використовують означення степеня з раціональним показником і властивості коренів.

Доведемо для прикладу властивість 1.

Нехай , де n > 1, q > 1 — натуральні числа, а m i р — цілі числа.

Тоді

Із властивості 1 випливає, що для довільного а > 0 і довільного раціонального числа r виконується рівність

Справді, а-r ∙ аr = а0 = 1.

Задача 1. Обчисліть значення виразу

Розв’язання Скористаємося властивостями степеня з раціональним показником.

Задача 2. Спростіть вираз

Розв’язання. Знайдемо спочатку добуток першого і третього множників, а потім помножимо здобутий результат на другий множник за відомою формулою різниці квадратів:

? Чи існує поняття степеня з ірраціональним показником? Так, існує. Більше того, степінь з ірраціональним показником має такі самі властивості, як і степінь з раціональним показником.

Проте чинною програмою навчання математики на даному рівні його вивчення не передбачено. Утім, із загальним підходом до його тлумачення ви можете ознайомитись у матеріалі рубрики «Дізнайтеся більше».

Дізнайтеся більше

1. Чи має певний зміст степінь аa, де а > 0, а ≠ 1, а а — довільне ірраціональне число (тобто нескінченний неперіодичний десятковий дріб)? Нехай а1 — будь-яке наближене раціональне значення числа а з недостачею, а2 — будь-яке наближене раціональне значення числа а з надлишком.

Тоді: а) якщо а > 1 і а > 0, то аa1 < аa < аa2.

Наприклад,

б) якщо 0 < а < 1 і а > 0, то аa2 < аа < аa1.

Наприклад,

в) якщо

Наприклад,

Нерівності а) і б) визначають степінь з ірраціональним показником ос через степені з раціональними показниками а1 і а2 з будь-якою необхідною точністю.

2. До фундаторів вітчизняної алгебраїчної школи належить видатний математик Дмитро Олександрович Граве (1863-1939), академік Академії наук України, почесний член АН СРСР. Закінчив Санкт-Петербурзький університет.

Працював професором Харківського, а потім Київського університетів. У 1934 р. став першим директором Інституту математики АН УРСР. Створив у Києві наукову алгебраїчну школу. Основні праці стосуються алгебри, прикладної математики, механіки, кібернетики, астрономії. Його учнями були відомі математики М. Кравчук, М. Чеботарьов, О. Шмідт й ін.

Пригадайте головне

1. Як визначається степінь числа з раціональним показником?

2. Чому в означенні степеня указано умову а > 0?

3. Які властивості має степінь числа з раціональним показником? Проілюструйте їх на прикладах.

Розв'яжіть задані

55. Спростіть вираз:

56. Спростіть вираз:

57. Обчисліть:

58. Обчисліть:

59. Обчисліть:

60. Обчисліть:

61. Спростіть вираз:

62. Спростіть вираз:

63. Спростіть і знайдіть значення виразу:

64. Спростіть і знайдіть значення виразу:

65. Чи правильна рівність:

66. Знайдіть значення виразу

67. Розмістіть у порядку зростання числа:

68. Спростіть вираз:

69. Спростіть вираз:

70. Обчисліть значення виразу:

71. Доведіть рівність:

72. Чи правильно те, що значення виразу є натуральним числом?

Проявіть компетентність

73. Маса Сонця становить приблизно 2 ∙ 1027 т, а маса Нептуна — приблизно 1 ∙ 1023 т. У скільки разів маса Нептуна менша

від маси Сонця?

74. Лінійні розміри атома становлять 10-8 см. Скільки атомів можна «вкласти» у відрізку завдовжки 1 мм?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити