Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 5 Перпендикулярність прямих і площин у просторі

§36 Теорема про три перпендикуляри

Подивіться на малюнок 229. У двосхилому даху будівлі краї покрівлі позначено DC і АС, а крокви — АВ і ВС.

Розглядатимемо відрізок ВС як проекцію похилої АС на площину BCD, a DC — як пряму, що проходить через основу С похилої АС. Цей приклад ілюструє теорему про три перпендикуляри: якщо пряма DC перпендикулярна до проекції ВС похилої АС, то вона перпендикулярна і до похилої АС.

Мал. 229

Теорема (про три перпендикуляри)

Якщо пряма, проведена у площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

Дано:

AB ⊥ a (мал. 230);

АС — похила;

ВС — проекція похилої;

С ∈ a, а ⊥ ВС.

Довести: a ⊥ AC.

Доведення. Відкладемо на прямій а довільні, але рівні відрізки CD = СЕ і сполучимо відрізками точки А || В з точками D і Е. Тоді матимемо: BD = BE як похилі до прямої DE з рівними проекціями CD і CE, AD = АЕ як похилі до площини а, що мають рівні проекції

BD і BE. Унаслідок цього трикутник ADE є рівнобедреним, тому його медіана АС перпендикулярна до основи DE.

Мал. 230

Чому теорему називають теоремою про три перпендикуляри? У ній йдеться про зв’язок між такими трьома перпендикулярами: АB ⊥ a, a ⊥ BC, a ⊥ AC.

Справджується й обернена теорема.

Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри)

Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна й до проекції похилої.

Формулювання теореми про три перпендикуляри та теореми, оберненої до неї, наведено в таблиці 25.

Таблиця 25

Задача. Відстань від точки М до кожної зі сторін ромба дорівнює 10 см, а до площини ромба — 8 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб.

Розв’язання.

Нехай ABCD — ромб (мал. 231), МК = МР = ME = MF = 10 см, МО = 8 см. З умови випливає, що МК ⊥ АВ, МР ⊥ ВС, ME ⊥ CD, MF ⊥ AD. Тоді за теоремою, оберненою до теореми про три перпендикуляри, ОК ⊥ АВ, ОР ⊥ ВС, ОЕ ⊥ CD, OF ⊥ AD. Оскільки відстані від точки М до сторін ромба рівні, то відрізки OK, ОР, ОЕ, OF також рівні як проекції рівних похилих. Звідси точка О — основа перпендикуляра МО — є центром кола, вписаного в ромб. Із прямокутного трикутника МОК знайдемо радіус цього кола:

Мал. 231

Зверніть увагу:

застосовуючи теорему про три перпендикуляри, пам’ятайте: якщо точка А однаково віддалена від усіх сторін многокутника, то основа перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини многокутника, також однаково віддалена від його сторін, тобто є центром вписаного в многокутник кола.

Нехай дано площину а і пряму а, яка її перетинає і не перпендикулярною до площини а (мал. 232). Основи перпендикулярів, проведених з точок прямої а до площини а, лежать на прямій b. Ця пряма називається проекцією прямої а на площину а.

Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою та її проекцією на площину.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею і площиною вважається таким, що дорівнює 90°, а між паралельними прямою і площиною — 0°.

Мал. 232

Дізнайтеся більше

Кут між прямою і площиною — це найменший з усіх кутів, що пряма утворює з прямими, проведеними на площині.

Нехай а — дана пряма, b — її проекція на площину, с — довільна пряма у площині а (мал. 233). З довільної точки В прямої а проведемо перпендикуляр ВС до прямої Ь. Відкладемо на прямій с відрізок AD = АС і сполучимо точки D і С. У трикутниках ABC і ABD сторона АВ — спільна, АС = AD, але BD > ВС (за теоремою, оберненою до теореми про три перпендикуляри). Тоді й протилежний кут ∠DAB у трикутнику ABD більший за відповідний кут САВ у ∆ABC .

Мал. 233

Пригадайте головне

1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

2. Що таке проекція прямої на площину?

3. Дайте означення кута між прямою та площиною.

4. Яка градусна міра кута між прямою та площиною, якщо пряма перпендикулярна до площини; пряма паралельна площині?

Розв'яжіть задачі

739. На малюнках 234 - 236 AF ⊥ а. Визначте взаємне розміщення прямих а і b на кожному з малюнків.

740. На малюнках 237-239 пряма а’ — проекція прямої а на площину β. На якому з малюнків кут а є кутом між прямою а і площиною β?

741. ABCDA1B1C1D1 — куб (мал. 240). Назвіть кут між:

1) діагоналлю DC1 грані DD1C1C і площиною основи ABCD;

2) діагоналлю В1D куба і площиною основи ABCD;

3) діагоналлю B1D і площиною грані DD1C1C.

Мал. 234

Мал. 235

Мал. 236

Мал. 237

Мал. 238

Мал. 239

Мал. 240

Мал. 241

Мал. 242

742. На малюнку 241 AF — перпендикуляр до площини ∆ABC, AD — висота ∆АВС. Доведіть, що DF ⊥ BC.

743. На малюнку 242 DM — перпендикуляр до площини квадрата. Доведіть, що ОМ ⊥ АС.

744. ОМ — перпендикуляр до площини квадрата ABCD, у якому О — точка перетину діагоналей, АВ = а, ОМ = b. Знайдіть відстань від точки М до сторони CD, якщо: 1) а = 12 см, b = 8 см; 2) а = 16 см, b = 15 см.

745. На малюнку 243 AM — перпендикуляр до площини прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Доведіть, що трикутник ВМС — прямокутний.

746. Із середини О гіпотенузи АВ прямокутного трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр ОМ. Проведіть перпендикуляри з точки М до катетів АС і ВС. Поясніть побудову.

747. У трикутнику ABC кут САВ дорівнює а, кут АСВ — β (мал. 244). AD — перпендикуляр до площини трикутника ABC. Доведіть, що DB ⊥ ВС, якщо:

1) а = 40°, β = 50°; 2) а = 30°, β = 60°.

Мал. 243

Мал. 244

748. З вершини В прямокутника ABCD проведено перпендикуляр ВМ до його площини (мал. 245). АВ = а, ВС = 6, ВМ = с. Знайдіть відстані від точки М до сторін CD і AD, якщо:

1) а = 5 см, 6 = 16 см, с = 12 см;

2) а = 7 см, 6 = 10 см, с = 24 см.

749. AM — перпендикуляр до площини рівнобедреного трикутника ABC (АВ = АС). Доведіть, що похилі MB і МС утворюють рівні кути із площиною даного трикутника.

750. Точка віддалена від площини на відстань h. Знайдіть довжини похилих, проведених із цієї точки під такими кутами до площини:

1)30°; 2)45°; 3)60°.

751. Похила дорівнює а. Чому дорівнює проекція цієї похилої на площину, якщо похила утворює з площиною кут:

1)30°;   2)45°;   3)60°?

752. На малюнку 246 AM — перпендикуляр до площини трикутника ABC.

Доведіть:

1) якщо АВ = АС, CD = BD, то MD ⊥ ВС;

2) якщо BD = CD, MD ⊥ BC, то АВ = АС.

753. СМ — перпендикуляр до площини рівнобедреного трикутника ABC (АС = ВС ). СМ = а, АВ = b, АС = с. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ, якщо:

1) а = 1 см, 6 = 2 см, с = 3 см; 2) а = 5 см, 6 = 2 см, с = 5 см.

754. З вершини прямого кута С рівнобедреного трикутника ABC проведено перпендикуляр CD до його площини. АС = a, CD = 6. Знайдіть відстань від точки D до гіпотенузи АВ, якщо: 1) а = 6 см, 6 = 8 см;

2) а = 12 см, 6 = 5 см.

755. Доведіть: якщо існує точка, рівновіддалена від усіх сторін паралелограма, то цей паралелограм — ромб.

756. Точка F рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Доведіть, що основа перпендикуляра FO, проведеного до площини многокутника, є центром кола, вписаного в многокутник.

757. Відстань від точки М до кожної зі сторін ромба дорівнює а, до площини ромба — 6. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб, якщо:

1) а = 25 см, 6 = 7 см; 2) а = 16 см, 6 = 12 см.

Мал. 245

Мал. 246

758. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М, яка лежить поза площиною ромба, віддалена від його сторін на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.

759. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 144 см. Точка М віддалена від кожної сторони цього трикутника на 19 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

760. AM — перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Знайдіть AM, якщо MB = 15 см, МС = 24 см і MD = 20 см.

761. Виміри прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 становлять 1 см, 2 см і 8 см. Знайдіть площу трикутника A1BD.

762. З точки, віддаленої від площини на відстань а, проведено дві похилі під кутом 30° до площини. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо кут між їх проекціями дорівнює 120°.

763. З точки, віддаленої від площини на а, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45° і 30°, а між собою — прямий кут. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо:

1)а = 4 см; 2) а = 6 см.

Проявіть компетентність

764. Чотирисхилий дах будинку розмірами 12,5 м і 7,2 м має нахил 40° (мал. 247).

1) Знайдіть площу кожного схилу даху.

2) Яка площа поверхні даху?

3) Скільки квадратних метрів дахового заліза треба на покриття, якщо витрати на згин й обрізки становлять 6 % ?

Мал. 247



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити