Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 5 Перпендикулярність прямих і площин у просторі

§37 Залежність між паралельністю і перпендикулярністю прямих і площі

Подивіться на малюнок 248. На книжковій шафі позначено паралельні прямі а і b та площину а. Якщо площина а перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, наприклад до а, то вона перпендикулярна й до прямої b. Зв’язок між паралельними прямими та перпендикулярною до них площиною виражається такою теоремою.

Мал. 248

Теорема (про паралельні прямі та перпендикулярну площину)

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Дано: АВ || CD, a ⊥ АВ (мал. 249).

Довести: a ⊥ CD.

Доведення. Проведемо в площині а через точку А довільні прямі АЕ і AF, а через точку С — прямі СК і СР, відповідно паралельні прямим АЕ і AF. Тоді ∠BAE = ∠DCK і ∠BAF = ∠DCP як кути з паралельними й однаково напрямленими сторонами. Оскільки АВ ⊥ a, то ∠BAE і ∠BAF — прямі. Тоді ∠DCK і ∠DCP також є прямими. Отже, a⊥ CD.

Мал. 249

Відомо, що площина перпендикулярна до однієї з основ трапеції. Як розміщена ця площина відносно другої основи? Перпендикулярно до основи. Це випливає з теореми про паралельні прямі та перпендикулярну площину, оскільки основи трапеції паралельні.

Задача. Доведіть, що дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні. Розв’язання. Нехай прямі АВ і CD перпендикулярні до площини а (мал. 250). Припустимо, що прямі АВ і CD непаралельні.

Мал. 250

Візьмемо на прямій АВ будь-яку точку М, що не лежить у площині а. Проведемо через точку М пряму ME, паралельну прямій CD. Оскільки CD ⊥ a, a ME || CD, то, за теоремою про паралельні прямі та перпендикулярну площину, ME ⊥ a. А i Е — точки перетину прямих AM і ME з площиною а. Тоді пряма АЕ перпендикулярна до прямих АВ і ME, які перетинаються. А це неможливо. Тому прямі CD і АВ паралельні.

Зверніть увагу!

1. Щоб установити перпендикулярність прямої та площини, перевірте, чи буде ця площина перпендикулярною до прямої, яка паралельна даній прямій.

2. Щоб обґрунтувати паралельність двох прямих, спробуйте знайти площину, перпендикулярну до кожної з даних прямих.

На малюнку 267 край книжкової шафи ілюструє пряму а, а дві полиці — площини а і β. Якщо пряма а перпендикулярна до площини а, то вона перпендикулярна й до площини β. Зв’язок між паралельними площинами та перпендикулярною до них прямою виражаємо теоремою, яку приймемо без доведення.

Теорема (про паралельні площини та перпендикулярну пряму)

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна й до другої.

Зверніть увагу:

щоб установити перпендикулярність прямої та площини, обґрунтуйте твердження, що ця пряма перпендикулярна до площини, паралельної даній.

Формулювання теорем і задачі наведено в таблиці 26.

Таблиця 26

Дізнайтеся більше

Вагомий внесок у геометрію зробив Павло Самуїлович Урисон (1898-1924) — відомий математик, який народився в м. Одесі. Життя вченого трагічно обірвалося, коли йому було всього 26 років, але він встиг зробити визначні відкриття з топології (розділ геометрії).

Пригадайте головне

1. Який зв’язок між паралельними прямими та перпендикулярною до них площиною?

2. Як установити перпендикулярність прямої та площини; паралельність двох прямих?

3. Сформулюйте теорему про паралельні площини та перпендикулярну пряму.

Розв'яжіть задачі

765. Прямі а і b паралельні (мал. 251). Пряма а перпендикулярна до площини а. Чи можна стверджувати, що пряма b перпендикулярна до площини а?

766. Прямі а і b перпендикулярні до площини а (мал. 251). Яке взаємне розміщення прямих а і b?

767. Площини а і β паралельні (мал. 252). Пряма а перпендикулярна до площини β. Чи можна стверджувати, що пряма а перпендикулярна до площини а?

Мал. 251

Мал. 252

Мал. 253

Мал. 254

Мал. 255

Мал. 256

Мал. 257

768. Дано: a || b, a ⊥ a (мал. 253). Поясніть, чому b ⊥ с.

769. Дано: a || b, b ⊥ c і b ⊥ d (мал. 254). Доведіть, що а ⊥ a.

770. Дано: а || β, a ⊥ b і a ⊥ c (мал. 255). Доведіть, що а ⊥ β.

771. Дано: a || β, a ⊥ c і a ⊥ d (мал. 256). Доведіть, що a ⊥ b.

772. Чи можуть бути перпендикулярними до площини дві сторони:

1) трикутника;

2) трапеції;

3) правильного шестикутника?

Відповідь поясніть.

773. ABCDA1B1C1D1 — куб. Чи перпендикулярна до площини основи ABCD пряма, що проходить через:

1) середини ребер DC і D1C1;

2) центри граней ABCD i А1В1С1D

3) вершину В1 і середину ребра АВ?

Відповідь поясніть.

774. Дано: CN ⊥ BC, CN ⊥ АС, CN || ВМ (мал. 257). Доведіть, що: 1) ВМ ⊥ BK; 2) ВМ ⊥ AB.

775. Дано: CN || ВМ, BM ⊥ BC, BM ⊥ AB (мал. 258). Доведіть, що: 1) CN ⊥ АС; 2) CN ⊥ CD.

776. Дано: OK ⊥ AC, OK ⊥ BD, OK || СМ (мал. 259). Доведіть, що: 1) CM ⊥ BC; 2) CM ⊥ CN.

Мал. 258

Мал. 259

777. Через вершину А ромба і точку О перетину його діагоналей проведено паралельні прямі AM і ON, причому AM ⊥ AB і AM ⊥ AD. Доведіть, що: 1) ON ⊥ BD; 2) ON ⊥ AC.

778. Відрізок AB паралельний площині а. З точки А до площини a проведено перпендикуляр AD. Через точку В проведено пряму, паралельну AD, яка перетинає площину а в точці С. Якого виду чотирикутник ABCD? Відповідь поясніть.

779. З точок А і В проведено до площини а перпендикуляри AD і ВС. Доведіть, що чотирикутник ABCD є прямокутником, якщо:

1) AD = ВС ; 2) прямі АВ і DC паралельні.

780. Діагональ АС ромба ABCD перпендикулярна до площини а. Яке взаємне розміщення діагоналі BD ромба і площини а? Відповідь поясніть.

781. Через вершини А і С трапеції ABCD (AD || ВС ) проведено прямі AM і CN, перпендикулярні до її площини. Доведіть, що площини DAM і BCN паралельні.

782. Через вершини А і С ромба АВСD проведено прямі AM і CN, перпендикулярні до його площини. Доведіть паралельність площин:

1) МАВ і NCD; 2) MAD і NCB.

783. Площина а і пряма b, яка не лежить у площині а, перпендикулярні до прямої а. Доведіть, що b || а.

784. Доведіть, що відстань від середини відрізка до площини, яка не перетинає його, дорівнює півсумі відстаней від кінців відрізка до цієї площини.

785. Доведіть, що відстань між паралельними площинами не залежить від вибору точки на одній з них.

Проявіть компетентність

786. Як перевірити паралельність стелі й підлоги кімнати (мал. 260)? Скільки кутів треба виміряти для цього?

787. Запропонуйте спосіб перевірки паралельності площин, використавши означення відстані між паралельними площинами.

Мал. 260





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити