Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 5 Перпендикулярність прямих і площин у просторі

§38 Перпендикулярні площини

1. КУТ МІЖ ПЛОЩИНАМИ

Нехай а і β — площини, які перетинаються по прямій с (мал. 261). Проведемо в цих площинах через довільну точку В прямої с прямі АВ і ВС, перпендикулярні до с. Тоді кут між площинами а і β дорівнюватиме куту між прямими АВ і ВС.

Записуємо: ∠ (aβ) = ∠ABC.

Чи залежить градусна міра кута ∠ABC від вибору точки на прямій с? Не залежить, бо одержимо два кути з паралельними й однаково напрямленими сторонами. А такі кути рівні.

Мал. 261

Кутом між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах зі спільної точки перпендикулярно до лінії їх перетину.

Кут між паралельними площинами вважають таким, що дорівнює 0°.

Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Записуємо: a ⊥ β.

2. ОЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ПЛОЩИН

Теорема (ознака перпендикулярності площин)

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Дано: площини а і β (мал. 262);

А лежить в а; АВ ⊥ а; β — проходить через АВ.

• Довести: β ⊥ а.

Доведення. Площини а і β мають спільну точку А, тому вони перетинаються по прямій DE, яка проходить через цю точку. У площині а проведемо пряму АС, перпендикулярну до

прямої DE. Оскільки АВ ⊥ а, а прямі АС і ВЕ лежать у площині а, то AB ⊥ AC і AB ⊥ DE.

Крім того, АС ⊥ EE.

Отже, ∠(aβ) = ∠CAB = 90°, тобто β і а.

Мал. 262

Скільки площин, перпендикулярних до даної площини а, можна провести через точку А, яка не лежить у даній площині? Безліч. Проведемо пряму AO ⊥ а (мал. 263). За ознакою перпендикулярності площин, будь-яка площина, що проходить через пряму АО, перпендикулярна до площини a.

На практиці, коли будують стіни, огорожі та інші споруди, то стовпи (палі) встановлюють вертикально (мал. 264) і цим забезпечують вертикальність стін чи огорож.

Мал. 263

Задача. Якщо дві площини перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Розв’язання. Нехай а і β - перпендикулярні площини (див. мал. 262), пряма АВ лежить у площині β і перпендикулярна до прямої DE перетину площин. Доведемо, що AB ⊥ а. Проведемо в площині а пряму АС, перпендикулярну до DE - прямої перетину площин а і β. Тоді кожна з прямих АС і АВ перпендикулярна до DE. Тому кут між прямими АС і АВ дорівнює куту між площинами а і β. Оскільки, за умовою, а ⊥ β, то ∠CAB = 90° і AB ⊥ AC. Отже, пряма АВ перпендикулярна до прямих ВЕ і АС, які перетинаються. За ознакою перпендикулярності прямої та площини, AB ⊥ a.

Мал. 264

Зверніть увагу:

щоб обґрунтувати перпендикулярність двох площин, знайдіть в одній із цих площин пряму, перпендикулярну до другої площини або до лінії їх перетину.

Подивіться на малюнок 265. Пряма с ділить кожну з площин а і β на дві півплощини. Фігуру, утворену двома півплощинами, обмеженими спільною прямою, називають двогранним кутом. На малюнку 265 зображено двогранний кут з ребром с.

3. ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ

Розділи стереометрії, у яких вивчають паралельність і перпендикулярність прямих і площин, мають велике практичне значення. їх можна назвати «будівельною геометрією». Справді, у будівлях (мал. 266) міжповерхові перекриття паралельні між собою та перпендикулярні до споруджених стін, а стіни перпендикулярні або паралельні між собою.

Ми, можна сказати, оточені перпендикулярами й паралелями (мал. 266-268): ніжки стола перпендикулярні до підлоги й паралельні між собою, краї шафи перпендикулярні до стін або паралельні їм тощо. Те саме можна сказати про стовпи, лінії електропередачі, залізничні колії тощо.

Під час обертання навколо перпендикуляра площина суміщається сама із собою. Тому вісь колеса перпендикулярна до площини колеса. Правильно навішені двері відчиняються вільно й не зачіпають підлоги.

Вертикальність установленої плоскої поверхні (стіни, паркана тощо) перевіряють за допомогою виска — мотузки з тягарцем (мал. 269). Висок завжди напрямлений вертикально, тому й стіна стоїть вертикально, якщо в будь-якому місці висок, розміщуючись уздовж стіни, не відхиляється.

Паралельність і перпендикулярність застосовуються у фізиці. Тиск рідини або газу на стінку посудини напрямлений перпендикулярно до стінки; тиск вантажу на опору напрямлений перпендикулярно до неї; сили, що діють на важелі, напрямлені паралельно; перпендикуляр до поверхні фігурує в законах відбиття й заломлення світла.

Мал. 265

Мал. 266

Мал. 267

Мал. 268

Мал. 269

Дізнайтеся більше

У розв’язуванні задач використовується й таке твердження.

Якщо дві площини а і β перпендикулярні й до площини а проведено перпендикулярну пряму, що має спільну точку з площиною β, то ця пряма лежить у площині β.

Нехай AD ⊥ a. Припустимо, що пряма AD не лежить у площині β (мал. 270). Проведемо в площині β пряму АВ ⊥ EF, де EF — пряма перетину площин а і β. Тоді АВ ⊥ a . Матимемо дві прямі АВ і AD, які перпендикулярні до площини а й перетинаються. Але це суперечить задачі § 38. Отже, пряма AD лежить у площині β.

Мал. 270

Пригадайте головне

1. Дайте означення кута між площинами.

2. Яка градусна міра кута між паралельними площинами?

3. Які площини називають перпендикулярними?

4. Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

Розв'яжіть задачі

788. На малюнку 271 SABC — піраміда. Назвіть кут між площинами граней: 1) SAB і ABC; 2) SAC і ABC.

789. Пряма а лежить у площині а і а ⊥ β (мал. 272). Чи випливає з цього, що a ⊥ β ?

790. На малюнку 272 a ⊥ β. Пряма а лежить у площині а і а ⊥ с . Чи можна стверджувати, що a ⊥ β ?

791. ABCDA1B1C1D1 — куб. Знайдіть кут між площинами:

1) основи ABCD і перерізу А1В1СD;

2) грані CC1D1D і перерізу AA1C1C;

3) перерізів АА1С1С і BB1D1D.

Мал. 271

792. На малюнку 273 SABCD — чотирикутна піраміда, SO — висота піраміди, φ — кут між площинами граней ABCD і SCD, SM = а. Знайдіть SO, якщо:

1) а = 2 см, φ = 30°;

2) а = 4 см, φ = 45°;   3) а = 6 см, φ = 60°.

793. Скільки можна провести через дану точку площин, перпендикулярних до даної площини?

794. Пряма, що лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину. Як розміщена ця пряма відносно другої площини? Поясніть відповідь.

795. CD — перпендикуляр до площини прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Доведіть, що площини ∆BCD і ∆ACD — перпендикулярні.

Мал. 272

Мал. 273

796. На малюнку 274 АВ ⊥ MN , АС ⊥ a. Доведіть, що кут ∠ABC — це кут між площинами а і β.

797. У трикутній піраміді SABC всі ребра рівні, точка М — середина ребра SC. Доведіть, що кут ∠AMB — це кут між площинами граней SAC і SBC.

798. Площини а і β перетинаються під кутом φ. Точка А площини β віддалена від площини а на відстань а. Знайдіть відстань від точки А до прямої перетину площин, якщо:

1) а = 10 см, φ = 30°;

2) а = 6 см, φ = 60°;   3) а = 4 см, φ = 45°.

Мал. 274

799. Площини а і β перетинаються під кутом φ. Відстань від точки А площини β до прямої перетину площин дорівнює а. Знайдіть відстань від точки А до площини а, якщо:

1) а = 24 см, φ = 30°; 2) а = 8 см, φ = 45°; 3) а = 14 см, φ = 60°.

800. Знайдіть кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від прямої перетину площин на відстань, що удвічі більша за відстань від другої площини.

801. Через основу АС рівнобедреного трикутника АВС проведено площину а на відстані а від вершини В, АС = b, АВ = ВС = с. Знайдіть кут між площиною а і площиною трикутника, якщо:

1) а = 4 см, b = 12 см, с = 10 см; 2) а = 8 см, b = 24 см, с = 20 см.

802. Через катет АС прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) проведено площину а під кутом φ до площини трикутника, АВ = с, АС = 6. Знайдіть відстань від вершини В до площини а, якщо:

1) с = 20 см, 6 = 16 см, φ = 30°; 2) с = 10 см, 6 = 8 см, φ = 45°;

3) с = 13 см, 6 = 5 см, φ = 60°.

803. Пряма СМ перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Доведіть перпендикулярність площин:

1) ВСМ і DCM;   2)ADM i DCM.

804. Точка М рівновіддалена від вершин квадрата ABCD. Доведіть перпендикулярність площин:

1) АМС і ABC;   2)АМС і BMD.

805. Площини двох прямокутних рівнобедрених трикутників зі спільною гіпотенузою АВ = а перпендикулярні (мал. 275). Знайдіть відстань між вершинами прямих кутів, якщо:

1) а = 10 см;

2) а = 18 см;

3) а = 22 см.

806. Квадрати ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах, АВ = а. Знайдіть:

1) відстань між точками D і D1;

2) відстань між точками С і D1;

3) кут між діагоналями АС i AC1.

807. Точка розміщена на відстані а від двох перпендикулярних площин. Знайдіть відстань від цієї точки до прямої перетину площин, якщо:

1) а = 4 см; 2)а = 5см.

808. З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри АС і BD до прямої перетину площин (мал. 276). АС = а, BD = 6, CD = с. Знайдіть довжину відрізка АB, якщо:

1) а = 3 см, 6 = 4 см, с = 12 см;

2) а = 24 см, 6 = 8 см, с = 6 см.

Мал. 275

Мал. 276

809. Висота правильної піраміди дорівнює половині сторони основи. Знайдіть кут між площинами основи й бічної грані, якщо основа піраміди: 1) трикутник; 2) квадрат; 3) шестикутник.

810. Точка А розміщена на відстанях а і b від двох площин, що перетинаються. Знайдіть відстань від точки А до прямої перетину площин, якщо кут між площинами дорівнює: 1) 90°; 2) 60°; 3) 30°.

811. Кінці відрізка завдовжки а лежать на двох перпендикулярних площинах. Відрізок утворює з однією площиною кут 45°, а з другою - кут 30°. Знайдіть частину прямої перетину площин, що розміщається між основами перпендикулярів, проведених до неї з кінців даного відрізка.

Проявіть компетентність

812. Знайдіть кут загострення стамески за розмірами, наведеними на малюнку 277.

813. Вертикальність установленої плоскої поверхні (стіни, паркана тощо) можна перевірити за допомогою виска — мотузки з тягарцем. Поясніть, як це зробити (мал. 278). На чому ґрунтується така перевірка?

814. Кут між площинами іноді називають кутом найбільшого нахилу або підйому. Кут найбільшого підйому гори дорівнює 30° (мал. 279). Під яким кутом φ до підошви гори треба прокласти прямолінійну дорогу АВ, щоб кут її нахилу до площини горизонту дорівнював 16°?

Мал. 277

Мал. 278

Мал. 279




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити