Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 6 Координати і вектори

§41 Симетрія у просторі

У курсі планіметрії ви ознайомилися з двома видами симетрії на площині — відносно точки і прямої. У просторі розглядають три види симетрії — відносно точки, прямої і площини. Ми будемо вивчати симетрію відносно точки і площини.

1. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ

Подивіться на малюнки 312—314. Ви бачите пропелер літака (мал. 312), квітку (мал. 313), сніжинку (мал. 314). Ці предмети мають центр симетрії — точку О, тому їх називають центральносиметричними.

Дві точки X і Х1 простору називаються симетричними відносно точки М, якщо М є серединою відрізка XX1 (мал. 315).

На малюнку 316 ви бачите, як будували на площині точку X1, симетричну точці X відносно точки М. Оскільки через пряму MX у просторі завжди можна провести площину, то означення й властивості точок, симетричних відносно точки М, є однаковими для площини і простору.

У куба центром симетрії є точка перетину його діагоналей (мал. 317).

Мал. 312

Мал. 313

Мал. 314

Мал. 315

Мал. 316

Мал. 317

Чи може центр грані куба бути центром його симетрії? Ні, оскільки всі точки куба лежать по один бік від площини будь-якої його грані.

Задача 1. Які координати має точка B, симетрична точці А (12; 9; 3) відносно початку координат?

Розв’язання.

1. Побудуємо точку А (12; 9; 3) за її координатами, проведемо пряму АО та відкладемо на ній відрізок ОB = АО (мал. 318).

2. Точка А (12; 9; 3) розміщується в першому координатному октанті, тому точка Б розміщується в сьомому координатному октанті. Це означає, що кожна координата точки Б має від’ємний знак (мал. 319).

Отже, точка B має координати: B (-12; -9; -3).

Мал. 318

Мал. 319

Зверніть увагу:

у точок, симетричних відносно початку координат, відповідні координати є протилежними числами.

2. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИНИ

Подивіться на малюнки 320-323. Ви бачите приклади симетрії, які можна зустріти в техніці (мал. 320), архітектурі (мал. 321), природі (мал. 322), побуті (мал. 323). Кожний із цих об’єктів має одну чи кілька площин симетрії. Тобто їх точки є симетричними відносно відповідної площини.

Мал. 320

Мал. 321

Мал. 322

Мал. 323

Мал. 324

Мал. 325

Дві точки X і Х1простору називаються симетричними відносно площини а, якщо ця площина перпендикулярна до відрізка XX1 і проходить через його середину.

На малюнку 324 ви бачите точку X1, симетричну точці X відносно площини а.

Зверніть увагу:

якщо точка X лежить у площині а, то симетричною їй точкою є сама точка Х.

Куб має не лише центр симетрії, а й кілька площин симетрії. Однією з них є, наприклад, площина діагонального перерізу куба (мал. 325).

Чи може грань куба бути площиною його симетрії? Ні, оскільки всі точки куба лежать по один бік від площини будь-якої його грані.

Задача 2. Які координати має точка B, симетрична точці А (12; 9; 3) відносно площини YOZ?

Розв’язання.

1. Побудуємо точку А за її координатами.

Проведемо пряму АAyz, перпендикулярно до площини YOZ. Відкладемо на ній відрізок АyzB = ААуz (мал. 326).

2. Точка А (12; 9; 3) розміщується в першому координатному октанті, тому точка B розміщується в другому координатному октанті. Це означає, що абсциса точки Б має від’ємний знак, а її ордината й апліката — додатний (мал. 327).

Отже, точка B має координати: B (-12; 9; 3).

Зверніть увагу:

— якщо точка X лежить у площині а, то симетричною їй точкою є сама точка X;

— точки, симетричні відносно певної координатної площини, мають відповідно рівні координати за осями, що визначають цю площину, а треті їх координати є протилежними числами.

Мал. 326

Мал. 327

Дізнайтеся більше

1. Дві точки А і В простору називаються симетричними відносно прямої, наприклад OZ, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка АВ і проходить через його середину. На малюнку 328 ви бачите, як будували точку В, симетричну точці А відносно прямої OZ.

2. Об’єкти, що мають вісь симетрії, часто трапляються в техніці (мал. 329), архітектурі (мал. 330), природі (мал. 331), побуті (мал. 332).

3. Симетрію вивчають і в інших галузях науки. Наприклад, у біології є навіть окремий науковий напрям «біосиметрика», у якому вивчають явище симетрії в живій природі. Цей напрям остаточно виокремився в 1961 р., а його початки було закладено ще в школі Піфагора (V ст. до н.е.), де симетрію розглядали як невід’ємну складову теорії про гармонію.

Мал. 328

Мал. 329

Мал. 331

Мал. 330

Мал. 332

Пригадайте головне

1. Які дві точки називаються симетричними відносно даної точки?

2. Як знайти координати точки, симетричної даній відносно початку координат? Наведіть приклад.

3. Наведіть приклад фігури, що має центр симетрії.

4. Які дві точки називаються симетричними відносно даної площини?

5. Як знайти координати точки, симетричної даній відносно координатної площини: XOY; XOZ; YOZ? Наведіть приклад.

6. Наведіть при клад фігури, симетричної даній відносно деякої площини.

Розв'яжіть задачі

885. Які з точок, зображених на малюнку 333, симетричні відносно точки О? Поясніть відповідь.

886. Які з точок, зображених на малюнку 334, симетричні відносно площини а? Поясніть відповідь.

887. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте довільну точку А. Побудуйте точку B, симетричну точці А відносно точки:

1) О; 2) А; 3) М — середини відрізка АО.

888. Побудуйте пряму в просторі, симетричну прямій АВ відносно точки: 1) О; 2) А; 3) М — середини відрізка АВ.

889. Визначте координати точки, яка симетрична відносно початку координат точці з координатами:

1) (1; 0; 0); 2) (0; 1; 0); 3) (0; 0; 1); 4) (1; 1; 0); 5) (1; 0; 1); 6) (0; 1; 1); 7) (-1; 1; 0); 8) (1; 0; -1); 9) (0; -1; -1); 10) (1; 5; 2); 11) (4; -2; 2); 12) (-1; -2; 3).

890. Визначте координати точки, яка симетрична відносно початку координат точці з координатами:

1) (2; 0; 0); 2) (0; 2; 0); 3) (0; 0; 2); 4) (1; 2; 0); 5) (-1; 0; 2); 6) (2; -1; -1).

891. Побудуйте точку, симетричну деякій точці А відносно площини: 1) OXZ; 2) OYZ; 3) OXY.

Мал. 333

Мал. 334

892. Побудуйте точку, симетричну деякій точці В відносно площини:

1) OXZ; 2) OYZ; 3) OXY.

893. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини XOY точці з координатами:

1) (1; 0; 0); 2) (0; 1; 0); 3) (0; 0; 1); 4) (1; 1; 0); 5) (1; 0; 1); 6) (0; 1; 1); 7) (-1; 1; 0); 8) (1; 0; -1); 9) (0; -1; -1); 10) (1; 5; 2); 11) (4; -2; 2); 12) (-1; -2; 3).

894. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини XOY точці з координатами:

1)(2; 0; 0); 2) (0; 2; 0); 3)(0; 0; 2); 4)(1; 2; 0); 5)(-1; 0; 2); 6)(2; -1; -1).

895. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини XOZ точці з координатами:

1) (1; 0; 0); 2) (0; 1; 0); 3) (0; 0; 1); 4) (1; 1; 0); 5) (1; 0; 1); 6) (0; 1; 1); 7) (-1; 1; 0); 8) (1; 0; -1); 9) (0; -1; -1); 10) (1; 5; 2); 11) (4; -2; 2); 12) (-1; -2; 3).

896. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини XOZ точці з координатами:

1)(2; 0; 0); 2) (0; 2; 0); 3)(0; 0; 2); 4)(1; 2; 0); 5)(-1; 0; 2); 6)(2; -1; -1).

897. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини YOZ точці з координатами:

1) (1; 0; 0); 2) (0; 1; 0); 3) (0; 0; 1); 4) (1; 1; 0); 5) (1; 0; 1); 6) (0; 1; 1); 7) (-1; 1; 0); 8) (1; 0; -1); 9) (0; -1; -1); 10) (1; 5; 2); 11) (4; -2; 2); 12) (-1; -2; 3).

898. Визначте координати точки, яка симетрична відносно координатної площини YOZ точці з координатами:

1)(2; 0; 0); 2) (0; 2; 0); 3)(0; 0; 2); 4)(1; 2; 0); 5)(-1; 0; 2); 6)(2; -1; -1).

899. Визначте координати точки, яка симетрична точці В (-1; 4; 2) відносно площини: 1) XOZ; 2) YOZ; 3) XOY.

900. З’ясуйте, відносно якої координатної площини симетричні точки: 1) (2; 1; 3) і (2; -1; 3); 2) (-4; 2; -3) і (4; 2; 3);

3) (-1; 3; 5) і (1; -3; 5); 4) (-5; -2; 4) і (-5; -2; -4).

901. З’ясуйте, відносно якої координатної площини симетричні точки:

1) (2; 0; 0) і (-2; 0; 0); 2) (1; 0; 2) і (1; 0; -2).

902. Побудуйте відрізок А1В1, симетричний відрізку АВ відносно початку координат, якщо: 1) А (3; 6; 5), В (6; 6; 12); 2) А (4; 0; 2), В (0; 0; 1). Запишіть координати точок А1 і В .

903. Знайдіть координати кінців відрізка A1B1, симетричного відрізку АВ відносно початку координат, якщо: 1) А (2; 1; 0), В (0; 4; 1);

2) А (-1; -1; 1), В (2; 2; 2).

904. Відрізок А1В1 симетричний відрізку АВ відносно середини відрізка МР. Відомо, що А (4; 0; 2), В (0; 7; 2), М (1; 2; 3), Р(3; 2; 1). Запишіть координати точок А і В1.

905. Побудуйте фігуру, симетричну кубу відносно: 1) точки перетину діагоналей куба; 2) вершини куба; 3) площини, що містить одну з граней.

906. Доведіть, що при симетрії відносно точки пряма, яка не проходить через цю точку, переходить у паралельну їй пряму.

907. Доведіть, що при симетрії відносно точки пряма, яка проходить через цю точку, переходить сама в себе.

908. Дано правильну трикутну піраміду. Побудуйте симетричну їй відносно: 1) однієї з вершин; 2) площини, що містить основу.

909. Точку А (1; 2; -1) симетрично відобразили відносно площини XOY, потім відносно осі OZ, а потім відносно початку координат. Запишіть координати одержаної точки.

910. Доведіть, що куб має дев’ять площин симетрії.

Проявіть компетентність

911. Наведіть приклади предметів довкілля, що мають:

1) центр симетрії;

2) площину симетрії.

912. У точці А розміщено джерело світла, а в точці В — фотоапарат (мал. 335). Чи потрапить в об’єктив фотоапарата світловий промінь, що виходить з точки А й відбивається від точки О плоского дзеркала а?

913. Опишіть математичною мовою ситуацію:

1) на плиті з чотирма конфорками ви переставили чайник із ближньої лівої конфорки на дальню праву конфорку;

2) ви бачите своє відображення в дзеркалі;

3) ви поставили чоботи один біля одного;

4) ви склали шкарпетки одна до одної;

5) ви приклали долоні одна до одної.

Мал. 335



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити