Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§6 Область визначення, множина значень і знаки тригонометричних функцій кута

Розглянемо, яких значень можуть набувати синус, косинус, тангенс, котангенс довільного кута і чи для всіх кутів вони існують.

За означенням,

Дроби мають зміст завжди, отже, sina і cosa існують для будь-якого кута а.

Оскільки то ці дроби не мають змісту (а значить, tga не існує), якщо cosa або х дорівнюють нулю. Усі точки з абсцисою х = 0 лежать на осі ординат, тобто маємо кути, що дорівнюють ±90°; ±270°; ±450° і т. д. ctga не має змісту (не існує), якщо не має змісту дріб , тобто коли у = 0. Усі точки з ординатою у = 0 лежать на осі абсцис, тобто маємо кути 0°; ±180°; ±360°,... .

Принагідно з’ясуємо, які знаки мають синус, косинус, тангенс, котангенс у кожній чверті.

Оскільки а довжина радіуса R є додатним числом, знак синуса збігається зі знаком ординати кінця рухомого радіуса, а знак косинуса — зі знаком його абсциси.

Виходячи з означення тангенса й котангенса кута, робимо висновок, що їх знаки будуть додатними за однакових знаків синуса й косинуса та від’ємними — за різних.

Знаки синуса, косинуса, тангенса й котангенса у чвертях подано в таблиці 6.

Таблиця 5

Чверть

sin a

cos a

tg a, ctg a

І

+

+

+

II

+

-

-

III

-

-

+

IV

-

+

-

Розглянемо залежність між синусами, косинусами, тангенсами і котангенсами протилежних кутів. На малюнку 51 зображено протилежні кути АОВ і АОС. Градусні міри їх однакові, а знаки — різні. Легко встановити, що точки В і С мають однакову абсцису х та протилежні ординати у і -у. Тому cos(-a) = cosa і sin(-a) = -sina. Узявши до уваги, що

дістанемо:

Якщо побудувати кут, протилежний куту АОВ, який належить І чверті, то можна аналогічно переконатись у правильності встановлених співвідношень.

Для встановлення множини значень кожної із цих функцій скористаємося відомим твердженням, що значення тригонометричної функції кута не залежить від довжини радіуса

R кола. У такому разі довжину радіуса можна обирати довільно. Найзручніше взяти R = 1, бо це дає змогу значно спростити обчислення.

Мал. 51

Зверніть увагу:

Коло радіуса, що дорівнює 1, із центром у початку координат називається одиничним колом. Координатні осі ділять одиничне коло на чотири рівні частини, які називають чвертями одиничного кола. Якщо R = 1, то розглянуті вище відношення, що визначають синус і косинус кута а, спрощуються й набувають вигляду: sina = у, cosa = х.

Отже, синус кута а дорівнює ординаті, а косинус — абсцисі кінця рухомого радіуса одиничного кола, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ох (мал. 52). Із цього випливає важливий висновок. Оскільки абсциса (ордината) будь-якої точки одиничного кола не може бути більшою за 1 (довжину його радіуса) і меншою від -1, тобто -1 ≤ х ≤ 1 і -1 ≤ y ≤ 1, то відповідно

-1 ≤ cosa ≤ 1 і -1 ≤ sina ≤ 1 для будь-якого кута а. Тобто значення синуса, як і значення косинуса будь-якого кута, належать числовому відрізку [-1; 1].

Тому, наприклад, рівності виду cosa =1,5 або sina = -2,4 не мають змісту.

Для унаочнення значення тангенса кута та його зміни проведемо дотичну t через кінець А(1; 0) горизонтального діаметра одиничного кола (мал. 53). Легко довести, що вона паралельна осі ординат. Нехай кут а належить І чверті. Щоб знайти його тангенс, побудуємо точку перетину прямих OB i t — точку В1. Ордината у1 точки В1 дорівнює tga. Покажемо це.

Але з подібності трикутників ОВС і ОВ1А маємо:

Оскільки ОА = 1, то У даному випадку довжина АВ1 дорівнює ординаті у1 точки В1. Отже, tga = y1.

Мал. 52

Мал. 53

Мал. 54

Пряма t називається лінією тангенсів. За її допомогою можна знайти тангенс будь-якого кута.

Якщо а — кут II чверті (мал. 54), то відповідну точку В на лінії тангенсів будують аналогічно: бо х < 0. З подібності трикутників ВОС і АОВ1 одержимо:

Отже, tga = -AB1, що дорівнює ординаті у1 точки В1.

Таким чином, тангенс кута чисельно дорівнює ординаті точки перетину лінії тангенсів і прямої, що містить рухомий радіус, який утворює цей кут з додатною піввіссю Ох.

Зазначимо ще раз, що лінія тангенсів є відповідною дотичною саме до одиничного кола й ні до жодного іншого.

Котангенс кута можна знайти аналогічно, використовуючи лінію котангенсів — дотичну до одиничного кола, що проходить через кінець С(0; 1) його вертикального діаметра (мал. 55). Котангенс кута дорівнює абсцисі відповідної точки лінії котангенсів. Доведіть це самостійно.

За допомогою лінії тангенсів (котангенсів) можна показати, що на відміну від синуса чи косинуса значення тангенса (котангенса) кута може бути будь-яким дійсним числом.

Мал. 55

Обґрунтуємо це. Яким не було б дійсне число а, завжди на лінії тангенсів можна побудувати точку з ординатою а. Сполучивши цю точку з початком координат, дістанемо відрізок, який утворює з віссю Ох деякий кут а. За доведеним вище, tga = а. Аналогічні міркування можна провести для котангенса.

Дізнайтеся більше

Цікаво, що з латинської мови термін «tangens» перекладається як «дотична», що зумовлено тим фактом, що значення тангенса кута, утвореного руховим радіусом з додатною піввіссю Ох, дорівнює ординаті відповідної точки дотичної до одиничного кола в точці (1; 0).

Пригадайте головне

1. Як визначити знак синуса (косинуса, тангенса) даного кута?

2. Як, використовуючи одиничне коло, знайти синус (косинус) даного кута?

3. Що називають лінією тангенсів і для чого її використовують?

4. Укажіть найменше та найбільше значення синуса й косинуса кута.

5. Яке положення займає рухомий радіус одиничного кола, утворюючи кути, тангенс яких не має змісту (не існує)?

6. Чи можуть синус і косинус одного і того самого кута одночасно дорівнювати нулю?

7. Як установити знаки тригонометричних функцій даного кута?

8. У яких координатних чвертях синус і тангенс мають однакові знаки?

9. Значення яких тригонометричних функцій змінюються на протилежні при зміні знака кута на протилежний.

Розв'яжіть задачі

124. Укажіть знаки виразів:

1) sin290°;   3) tg490°;   5) sin(-300°);   7) tg(-190°).

2) cos370°;   4) cos(-50°);   6) ctg(-150°);

125. Які вирази не мають змісту:

1) sin0°; 4) ctg0°;   7) tg 90°;   10) cos 180°;

2) cos0°; 5) sin 90°; 8) ctg 90°;   11) tg180°;

3) tg0°; 6) cos 90°; 9) sin 180°;   12) ctg 180°?

126. Запишіть градусну міру трьох кутів:

1) тангенс яких не існує;

2) котангенс яких не існує.

127. Накресліть одиничне коло та кут а, як зображено на малюнку 56. Користуючись малюнком, знайдіть: sin a; cos а; tg а; ctg а.

128. Накресліть одиничне коло. Побудуйте й позначте один додатний і один від’ємний кути:

Мал. 56

1) синус яких дорівнює:

2) косинус яких дорівнює:

129. Чи можливі рівності:

Відповіді обґрунтуйте.

130. Визначте знак добутку:

1) sin100° ∙ sin132°;   6) cos(-120°) ∙ sin(-120°);

2) cos210° ∙ sin115°;   7) tg(-320°) ∙ cos150°;

3) ctg300° ∙ sin220°;   8) sin430° ∙ tg(-210°);

4) cos135° ∙ tg135°;   9) tg100° ∙ ctg(-100°).

5) sin(-36°) ∙ cos36°;

131. Замініть вираз тотожно рівним йому, змінивши знак кута на протилежний:

1) cos(-18°);   4) ctg(-230°);   7) tg(a - 140°);

2) sin(-100°);   5) sin(a - 30°);   8) cos(a - (3).

3) tg(-30°);   6) cos(180° - a);

132. У яких чвертях координатної площини мають однакові знаки: 1) синус і косинус кута; 2) синус і тангенс кута; 3) косинус і тангенс кута?

133. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що становить 3 клітинки зошита. Позначте на цьому колі точку, абсциса якої дорівнює -.

Скільки таких точок можна знайти? Зобразіть на малюнку й позначте в межах першого оберту додатні та від’ємні кути (тобто кути а, що задовольняють умову -360° < a < 360°), кінцеві сторони яких проходять через знайдені точки. Значення якої тригонометричної функції цих кутів дано в умові? Запишіть це у вигляді відповідних рівностей.

134. На одиничному колі знайдіть точку, ордината якої дорівнює . Скільки таких точок можна знайти? Зобразіть на малюнку й позначте додатні кути в межах першого оберту, кінцева сторона яких проходить через побудовані точки. Значення якої тригонометричної функції цих кутів дано в умові? Запишіть це у вигляді відповідних рівностей.

135. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що становить 5 клітинок зошита. Побудуйте й позначте гострий кут а, синус якого дорівнює . Зобразіть на малюнку ще один додатний кут β < 360°, що задовольняє цю умову. Виразіть βчерез а.

136. Накресліть одиничне коло й лінію тангенсів. Побудуйте й позначте два від’ємних кути, тангенс яких дорівнює:

137. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

1) sina > 0, a cosa < 0;   3) tga < 0, а cosa > 0;

2) sina < 0, а cosa > 0;   4) sina < 0, a tga < 0?

138. Запишіть градусні міри хоча б двох від’ємних кутів, для яких:

1) синус додатний;   3) тангенс додатний;

2) косинус від’ємний;   4) синус від’ємний.

139. Визначте знак виразу:

1) sin120° + cos40°;   5) sin40° - sin200°;

2) cos205° + tg170°;   6) cos114° - tg250°;

3) ctg315° + tg145°;   7) ctg140° - sin110°;

4) cos306° + sin103°;   8) sin220° + tg320°.

140. Накресліть одиничне коло та кут а, як зображено на малюнку 57. Користуючись малюнком, знайдіть cosa. Зобразіть і позначте на малюнку ще один додатний кут β в межах першого оберту, такий, що cosβ = cosa. Виразіть кут β через кут а. Позначте два від’ємні кути, що мають такі самі значення косинуса.

Мал. 57

141. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що становить 4 клітинки зошита. Побудуйте й позначте довільний додатний гострий кут а. Знайдіть наближене значення синуса цього кута. Накресліть і позначте на малюнку ще один додатний кут β іншої чверті, який має такий самий синус. Виразіть через а і β формулами всі кути, синус яких такий самий.

142. Користуючись лінією тангенсів, побудуйте кут, тангенс якого дорівнює 2,5. Скільки додатних кутів, що задовольняють цю умову, можна побудувати в межах першого оберту? Зобразіть їх на малюнку. Виразіть більший з них через менший.

143. Користуючись лінією котангенсів, побудуйте кут, котангенс якого дорівнює -1. Скільки ще додатних кутів, що не перевищують 360° і задовольняють цю умову, можна побудувати? Зобразіть їх на малюнку. Виразіть один з них через інший.

144. Побудуйте й позначте в межах першого оберту додатний кут а, що задовольняє умову: 1) sina = -0,4, ctga > 0; 2) cosa = -, tga < 0; 3) tga = -1,5, sina < 0; 4) ctga = 2, cosa < 0.

145. Знайдіть найбільше та найменше значення функції:

1) у = 3 + 4sinx; 2) у = 2 - 5cosx; 3) у = 5 - sin2х; 4) у = 2cos2x - 1.

146. Дано функції:

1) у = 3 - 8sinx;   3) у = cosx - 4;   5) у = tg2x + 1;

2) у = 7cos2x +1;   4) у = tgx - 2;   6) у = 5 - ctg2x.

Для яких з них можна вказати:

а) найбільше та найменше значення; б) лише найбільше значення; в) лише найменше значення? Знайдіть і запишіть ці значення.

Проявіть компетентність

147. Дано гострий кут а. Побудуйте кут х такий, що cosx =  sina.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити