Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§7 Радіан міра кута

Відомою вам одиницею вимірювання кутів є градус — кут, що дорівнює розгорнутого кута. Отже, градусна міра прямого кута дорівнює 90°, повного — 360°.

Крім градуса, існують інші одиниці вимірювання кутів. У математиці та інших науках широко використовується така одиниця вимірювання кутів, як радіан. Перед уведенням цього поняття пригадаємо, що градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута. Тобто якщо ∠COD = m°, то і градусна міра дуги CD також дорівнює m° (мал. 58).

Мал. 58

Якщо центральний кут є повним, то йому відповідає дуга всього кола з градусною мірою 360°. Отже, центральному куту мірою 1° відповідає дуга, що дорівнює кола. І навпаки, дузі, довжина якої дорівнює довжини кола, відповідає центральний кут мірою 1°. Тому градус як одиницю вимірювання кутів можна було б означити і як центральний кут, що відповідає дузі кола, довжина якої дорівнює довжини кола.

Аналогічно введено одиницю вимірювання кутів — радіан.

Радіан — це центральний кут, що відповідає дузі кола, довжина якої дорівнює довжині радіуса цього кола (мал. 59).

Радіанна і градусна міри кута пов’язані між собою певною залежністю. Установимо її.

За означенням, радіана міра дуги кола довжиною R дорівнює 1 радіану. Отже, усе коло містить радіанів (скорочено — рад).

Оскільки все коло містить 360°, то 360° = 2 рад. Звідси випливає:

Мал. 59

Отже,

Установлені співвідношення дають змогу переходити від градусної міри кута до радіанної і навпаки.

Передусім зазначимо, що

У багатьох випадках у записі радіанної міри обмежуються буквеним позначенням п, не доводячи результат до числового значення.

Наприклад, пишуть а = рад замість

Розглянемо приклади.

Задача 1. Визначте радіанну міру кута 27°.

Розв’язання. За формулою рад маємо:

Задача 2. Визначте градусну міру кута рад.

Розв’язання. Використаємо формулу

Маємо:

Задача 3. Визначте градусну міру кута 2,5 рад.

Розв’язання. Оскільки 1 рад ≈ 57°18', то 2,5 рад ≈ 57°18' ∙ 2,5 = 57° ∙ 2,5 + 18' ∙ 2,5 = 132,5° + 45' = 132°30' + 45' = 132°75' = 133°15'.

Використовуючи формулу рад, складемо таблицю 6 радіанних мір деяких найуживаніших кутів.

Таблиця 6

Дізнайтеся більше

Існують інші одиниці вимірювання кутів, а не лише градус і радіан.

У морській справі, наприклад, для вимірювання кутів користуються румбом. Румб — це кут, що становить частину повного кута.

У техніці поширеною одиницею вимірювання кутів є ПОВНИЙ оберт (кут 360°).

В артилерії за одиницю вимірювання кутів прийнято частину повного оберту, тобто кут

Ця одиниця має назву велика поділка кутоміра.

Соту частину великої поділки кутоміра називають малою поділкою кутоміра. Вона становить 6°:100 = 3'36".

У геометрії іноді за одиницю вимірювання кутів беруть прямий кут, позначаючи цю одиницю буквою d. Наприклад, сума кутів трикутника дорівнює 2d, а сума кутів чотирикутника — 4d.

Пригадайте головне

1. Назвіть і схарактеризуйте відомі вам одиниці вимірювання кутів.

2. Дайте означення радіана.

3. Укажіть радіанну міру: повного кута; розгорнутого кута; прямого кута.

4. Використовуючи співвідношення 180° = рад, поясніть, як за градусною мірою кута визначити його радіанну міру і, навпаки, як за радіанною мірою визначити градусну міру кута.

Розв'яжіть задані

148. Визначте радіанну міру кута:

1) 40°;   2) 140°;   3) 36°;   4) 18°;   5) 240°;   6) 300°;   7) -225°.

Результат подайте за допомогою числа п.

149. Визначте градусну міру кута, наведену в радіанах:

150. Радіус кола дорівнює 20 см. Знайдіть довжину дуги цього кола якщо її радіанна міра дорівнює:

1)3;   2) ;   3)2,4;   4)0,8.

151. Знайдіть радіанну міру дуги кола радіуса 12 см, якщо довжина дуги дорівнює: 1) 4 см; 2) 1,2 см; 3) 6 см; 4) 24 см.

152. Порівняйте кути а і β, якщо:

153. Знайдіть радіанну і градусну міри кута, який доповнює кут   до розгорнутого.

154. Знайдіть градусну і радіанну міри кута, який доповнює кут 135° до повного.

155. Два кути трикутника дорівнюють 59° і 69°. Знайдіть радіанну міру третього кута цього трикутника.

156. Два кути трикутника дорівнюють Знайдіть градус ну міру третього кута цього трикутника.

157. Запишіть за допомогою подвійної нерівності межі градусної та радіанної мір додатних кутів, менших від 360°, що лежать у:

1)1 чверті; 2) II чверті; 3) III чверті; 4) IV чверті.

158. Укажіть, до яких чвертей належать кути, якщо їх радіанна міра дорівнює:

Визначте знаки синуса, косинуса, тангенса цих кутів.

159. Обґрунтуйте правильність рівностей:

1) sin(a + 27k) = sina;   3) tg(a + 27k) = tga;

2) cos(a + 2 k) - cos a;   4) ctg(a + 2k) = ctga, де a — радіанна міра даного кута, k — ціле число (k ∈ Z).

160. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 4.

161. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, якщо вони відносяться, як 2 : 7.

162. Радіанна міра дуги кола дорівнює 1,4, а її довжина — 7 см. Знайдіть радіус кола.

163. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 22,5 см, якщо дуга містить 40°.

164. Дуга кола містить 200°. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги дорівнює 50 см.

165. Знайдіть лінійну швидкість точки на обводі шліфувального диска, діаметр якого дорівнює 90 см, а кутова швидкість становить 500 рад/с.

Проявіть компетентність

166. Знайдіть градусну й радіанну міри кута, утвореного годинною та хвилинною стрілками годинника, якщо він показує:

1)3 год; 2)6 год; 3)8 год.

167. Колесо, рівномірно обертаючись, робить 20 обертів за хвилину. Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити