Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§8. РАДІАННЕ ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ. У ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ

Як відомо, кути вимірюють у градусах та його частинах - мінутах, секундах. Проте в математиці, астрономії, фізиці та інших науках використовують також і радіанну міру кута, яка має певні переваги перед градусною.

1. Радіанна міра кута

Кутом в 1 (один) радіан називають центральний кут, довжина дуги якого дорівнює довжині радіуса кола.

На малюнку 8.1 ◡АВ = R, тому кут АОВ має міру 1 радіан (скорочено «рад»).

Установимо зв’язок між радіанною і градусною мірами кута.

Довжина півкола, радіус якого R, дорівнює  R, що в разів більше за довжину дуги АВ. Тому розгорнутому куту відповідає дуга, міри радіанів. Отже,

180° = рад.

Мал. 8.1

Тоді

тому

Ці формули, зокрема, допомагають перейти від градусної міри кута до радіанної, і навпаки, але можна застосовувати і пропорцію, врахувавши, що 180° = рад.

Задача 1. Знайти радіанну міру кута 144°.

Розв’язання. 1-й спосіб (за формулою):

2-й спосіб (за допомогою пропорції): 180° - рад

144° - х рад

Маємо рівняння: звідки тобто (рад).

Відповідь. рад.

Задача 2. Знайти градусну міру кута: 1) 1,5 рад; 2) .

Розв’язання.

2) Знайти можна в той самий спосіб, що й для попереднього кута, але тут доцільніше буде замінити на 180°. Матимемо:

Відповідь. 1) ≈ 85°59';   2)150°.

Задача 3. Знайдемо радіанні міри табличних кутів:

2. Тригонометричні функції числового аргументу

Радіанну міру кута, так само як і градусну, використовують для запису тригонометричних виразів. Так, запис sin2 означає синус кута, міра якого дорівнює 2 радіани, запис cos означає косинус кута міри радіанів, запис tg(-3) - тангенс кута, міра якого дорівнює -3 радіани.

Кожному допустимому значенню числа х (кута, що містить х радіанів) відповідає єдине значення sinx, cosx, tgx, ctgx. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями числового аргументу х. Їх називають тригонометричними функціями числового аргументу.

Наприклад,

Задача 4. Знайти значення виразу cosx + х, якщо х = 0.

Розв’язання. Якщо х = 0, маємо: cosx + х = cos0 + 0 = 1 + 0 = 1.

Відповідь. 1.

3. Знаходження значень тригонометричних функцій за допомогою калькулятора

Значення тригонометричних функцій числового аргументу за допомогою калькулятора знаходять так само, як і значення тригонометричних функцій кутів, які задано у градусах (див. § 7, п. 5), але в цьому випадку для задания кутів у радіанах перемикач <Г-Р> треба виставити в положення «Р». Нагадаємо, що в деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші і вибору відповідного режиму.

Перевірте на своєму калькуляторі, що

sin2 ≈ 0,9093;   cos30 ≈ 0,1543;

tg(-2,7) ≈ 0,4727;   ctg2,95 ≈ -5,1554.

А ще раніше ...

Перше використання радіана замість кутового градуса зазвичай приписують Роджеру Котсу (XVII cм.), який вважав цю одиницю вимірювання кутів найбільш природною. Однак ідею вимірювання довжини дуги радіусом кола використовували й інші математики. Наприклад, Аль-Каші використовував одиницю вимірювання, яку називав «частина діаметра» і яка дорівнювала сучасного розуміння радіана. Також він використовував і більш дрібні частини цієї одиниці вимірювання.

Термін «радіан» уперше було вжито 5 червня 1873 року в екзаменаційних білетах, складених Джеймсоном Томсоном для студентів університету Квінса в Белфасті (Північна Ірландія). Томсон почав використовувати цей термін ще до того, як склав ці білети. Саме тоді його колега Томас Мюїр із Сент-Екдрюського університету намагався визначитися з назвою терміну, вагаючись між назвами «рад», «радіал» і «радіан». У 1879 році Мюїр, проконсультувавшися з Томсоном, вирішив використовувати термін «радіан».

Що називають кутом в 1 радіан? Яка радіанна міра кута 180°? Як перейти від градусної міри до радіанної, і навпаки? Укажіть наближено градусну міру кута в 1 рад. Що називають тригонометричною функцією числового аргументу? Запам’ятайте радіанні міри табличних кутів.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Знайдіть радіанну міру кута (8.1-8.2):

8.1. 1) 20°;   2) 75°;   3) -40°;   4) 720°;   5) -110°;   6) 225°.

8.2. 1) 25°;   2) -30°;   3) 130°;   4) -160°;   5) 50°;   6) 240°.

Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює (8.3-8.4):

8.3.

8.4.

2

Кутом якої чверті є кут (8.5—8.6):

8.5.

8.6.

8.7. Дах має форму трикутника. Радіанна міра двох кутів цього трикутника дорівнює Знайдіть радіанну і градусну міри третього кута трикутника.

8.8. Туристичний намет має форму рівнобічної трапеції, один з кутів якої дорівнює 72°. Знайдіть градусну і радіанну міри більшого з кутів трапеції.

За допомогою калькулятора знайдіть число з точністю до сотих (8.9-8.10):

8.9.

8.10.

Знайдіть за допомогою калькулятора (округліть до тисячних) (8.11-8.12):

8.11.

8.12.

8.13. Накресліть таблицю в зошиті та заповніть її.

Обчисліть (8.14—8.15):

8.14.

8.15.

8.16. Знайдіть значення виразу 3sina + 2cosa, якщо:

8.17. Знайдіть значення виразу 5cosβ - 2sinβ, якщо:

3

8.18. Знайдіть радіанну міру внутрішнього кута правильного:

1) трикутника;   2) чотирикутника;

3) шестикутника;   4) десятикутника;

5) дванадцятикутника;   6) двадцятикутника.

8.19. Знайдіть радіанну міру кутів трикутника, якщо вони відносяться як 1 : 4 : 5.

Порівняйте числа (8.20—8.21):

8.20.

8.21.

Обчисліть (8.22—8.23):

8.22.

8.23.

Знайдіть значення виразу (8.24—8.25):

8.24.

8.25.

8.26. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо:

Знайдіть значення виразу (8.27—8.28):

8.27.

8.28.

Порівняйте (8.29—8.30):

8.29.

8.30.

8.31. Доведіть, що

8.32. Доведіть, що

Життєва математика

8.33. Перші п’ять цифр ідентифікаційного податкового номера (ІПН) громадянина України - це число, що точно дорівнює кількості днів від 1 січня 1900 року до дати народження власника ІПН включно.

1) Знайдіть, якими мають бути перші п’ять цифр вашого ІПН.

2) Знайдіть число, місяць та рік народження особи, ІПН якої дорівнює числу 2395312785.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

8.34. 1) Назвіть кілька значень кута а, для яких tga не існує. 2) Назвіть кілька значень кута β, для яких ctgβ не існує.

8.35. Нехай А(х; у) - довільна точка, що лежить на одиничному колі. Чи правильні нерівності -1 ≤ х ≤ 1,-1 ≤ у ≤ 1?

8.36. Порівняйте з нулем координати х і у, якщо точка А(х; у) лежить у:

1) І чверті; 2) II чверті; 3) III чверті; 4) IV чверті.

8.37. Точки А і А' симетричні відносно осі абсцис. Знайдіть координати точки А', якщо:

8.38. Парною чи непарною є функція:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.