Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§9. ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Розглянемо властивості тригонометричних функцій, які безпосередньо випливають з їх означень.
1. Область визначення тригонометричних функцій
Як ми вже зазначали раніше, вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого кута а (див. § 7, п. 3). Так само мають зміст вирази sinx і cos х для будь-якого числа х (кута х у радіанах). Отже, областю визначення функцій синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел.
Це можна записати так: D(sinx) = D(cosx) = (-∞; +∞) або D(sinx) = D(cosx) = R.
Вираз tga має зміст для будь-яких кутів а, крім ±90°, ±270°, ±450°, ..., тобто крім кутів, які можна задати формулою 90° + 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз tgx не має змісту, коли
х = 
∙ 
k, k ∈ Z.
Областю визначення функції тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел + k, де k ∈ Z.
Вираз ctga має зміст для будь-яких кутів а, крім 0°; ±180°; ±360°; ..., тобто крім кутів, які можна задати формулою 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз ctgx не має змісту, коли х = k, де k ∈ Z.
Областю визначення функції котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел k, де k ∈ Z.
Знайти область визначення функції
Розв’язання. Знайдемо значення х, для яких котангенс не існує, розв’язавши рівняння: 2х - 
= k.
Маємо:
Отже, областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 
k ∈ Z. Скорочено це можна записати так:
Відповідь. 
2. Множина значень тригонометричних функцій
Синус і косинус кута а є відповідно ординатою і абсцисою точки Ра(х; у) одиничного кола (див. § 7, п. 3). Тому ординати і абсциси точок одиничного кола набувають будь-яких
значень від -1 до 1. Отже,
множиною значень функцій синуса і косинуса є проміжок [-1; 1].
Той самий проміжок [-1; 1] є множиною значень і у випадку синуса і косинуса числового аргументу х (кута х у радіанах). Отже,
E(sinx) = Е(cos х) = [-1; 1].
Чи існує значення х, для якого:
Розв’язання. 1) Оскільки 
то значення х, при якому cos х = -
, існує.
2) Оскільки 
1, то не існує значення х, при якому sinx = .
Відповідь. 1) Так; 2) ні.
Задача 3. Знайти множину значень функції:
1) у = sinx + 2; 2) у = cos2x - 3.
Розв’язання. 1) Як відомо, -1 ≤ sinx ≤ 1. Маємо:
-1 ≤ sinx ≤ 1;
-1 + 2 ≤ sinx + 2 ≤ 1 + 2 (додали до всіх частин число 2);
1 ≤ sinx + 2 ≤ 3.
Отже, Е(у) = [1; 3].
2) Зрозуміло, що cos2x ≥ 0, з іншого боку, -1 ≤ cosх ≤ 1, тому cos2x ≤ 1. Маємо:
0 ≤ cos2x ≤ 1;
0 - 3 ≤ cos2x - 3 ≤ 1 - 3 (відняли від усіх частин число 3);
-3 ≤ cos2х - 3 ≤ -2.
Отже, Е(у) = [-3; -2].
Відповідь. 1) [1; 3]; 2) [-3; -2].
Множину значень тангенса знайдемо за допомогою графічної інтерпретації.
Розглянемо пряму l, що проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис. Вона є дотичною до одиничного кола (мал. 9.1). Нехай при повороті на кут а початковий радіус OP0 одиничного кола переходить у радіус ОРа, а пряма ОРа перетинає пряму l у точці Da. Нехай Ра(х; у), тому х = cos а; у = sin а. Проведемо перпендикуляр РаК на вісь абсцис. Тоді ∆ОРaК ∾ ∆ODР0, тому маємо:
тобто
отже,
тому DaP0 = tga. Отже, ордината точки Da дорівнює тангенсу кута а.
Пряму, що проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис, називають лінією тангенсів.
У разі зміни кута повороту від -90° до 90° змінюватиметься і положення точки Ра на одиничному колі, отже, і положення точки Da на лінії тангенсів. Очевидно, що ордината точки Da може набувати будь-яких значень (мал. 9.1). Отже, множиною значень тангенса є множина всіх дійсних чисел.
У той самий спосіб розглянемо питання і про множину значень котангенса.
Мал. 9.1
Пряму m, яка проходить через точку (0; 1) перпендикулярно до осі ординат, називають лінією котангенсів (мал. 9.2). Можна довести, що абсциса точки Са перетину прямої ОРа з лінією котангенсів дорівнює котангенсу а.
У разі зміни кута повороту від 0° до 180° точка Са може набувати будь-яких значень, тому множиною значень котангенса є множина всіх дійсних чисел. Отже, множиною значень функцій тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.
Мал. 9.2
Аналогічно і для числового аргументу: E(tgx) = E(ctgx) = R.
3. Знаки тригонометричних функцій
Синус кута а є ординатою точки Ра(х; у) одиничного кола (мал. 7.10). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому:
• sin а > 0, якщо а - кут І або II чверті,
• sin а < 0, якщо а - кут III або IV чверті.
Косинус кута а є абсцисою точки Ра(х; у) одиничного кола (мал. 7.10). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому:
• cos а > 0, якщо а - кут І або IV чверті,
• cos а < 0, якщо а - кут II або III чверті.
Оскільки 
то знаки tg а і ctg а залежать від знаків sin а і cos а. У І та III чвертях знаки sin а і cos а мають однакові знаки, а у II та IV чвертях - різні. Тому:
• tga > 0 і ctg a > 0, якщо a — кут І або III чверті;
• tga < 0 і ctg a < 0, якщо a - кут II або IV чверті. Висновки щодо знаків тригонометричних функцій кутів зручно запам’ятати за малюнком 9.3.
Мал. 9.3
Задача 4. Порівняти з нулем число:
1) sin 152°; 2) cos(-12°); 3) tg(-125°); 4) ctg2.
Розв’язання. 1) 152° - кут II чверті, тому sin 152° > 0.
2) -12° - кут IV чверті, тому cos(-12°) > 0.
3) -125° - кут III чверті, тому tg(-125°) > 0.
4) 2 радіани ≈ 2 ∙ 57° = 114°, отже, 2 радіани - кут II чверті, тому ctg2 < 0.
Відповідь. 1) sin152° > 0; 2) cos(-12°) > 0;
3) tg(-125°) > 0; 4) ctg2 < 0.
4. Парність і непарність тригонометричних функцій
Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа, а при повороті на кут -а - у радіус ОР-а (мал. 9.4). Точки Ра і Р-а - симетричні відносно осі абсцис, тому їх абсциси однакові, а ординати протилежні. Маємо:
cos а = х і cos (-а) = х, тому cos (-а) = cos а;
sin а = у і sin (-а) = -у, тому
sin (-а) = -sin а.
Тоді
Мал. 9.4
Отже, синус, тангенс і котангенс — непарні функції, косинус — парна функція, тобто:
cos (-а) = cos а tg(-а) = -tga
sin (-а) = -sin a ctg(-a) = -ctga
Ці формули можна використовувати для обчислень значень тригонометричних виразів. Наприклад,
5. Періодичність тригонометричних функцій
Якщо при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа (мал. 9.4), то цей самий радіус ОРа отримаємо
й при повороті радіуса ОР0 на кут, відмінний від а на повний оберт або на будь-яку кількість повних обертів, тобто на число 360°k (або 2
k), де k ∈ Z. Приходимо до висновку, що при зміні кута на ціле число обертів значення тригонометричних функцій синуса і косинуса не змінюються:
sin (а + 360°k) = sin а або sin (а + 2 k) - sin а,
cos (а + 360°k) = cos а або cos (а + 2 k) = cos а.
Отже, значення тригонометричних функцій синус і косинус не змінюються, якщо до їх аргументів додати (або відняти) число, кратне числу 2. Кожне таке число для синуса і косинуса є періодом, а 2 - найменшим періодом. Функції, що мають таку властивість, називають періодичними.
Число 2 також є періодом функцій тангенс і котангенс, проте для цих функцій можна знайти і менший період. Розглянемо точки О, Ра та Рβ, які лежать на одній прямій (мал. 9.5). Тоді прямі ОРа і ОРβ збігаються, а тому перетинають вісь тангенсів в одній і тій самій точці D.
1. 
2. Мал. 9.5
3. 
4. Мал. 9.6
Аналогічно, прямі ОРа і ОРβ перетинають вісь котангенсів в одній і тій самій точці С (мал. 9.6). Отже,
при зміні кута на ціле число півобертів (
, 2, 3, 4, ...) значення функцій тангенса і котангенса не змінюються.
tg(a + 180°k) = tga або tg(a + k) - tga.
ctg(a + 180°k) - ctga або ctg(a + k) = ctga.
Виходячи з періодичності, знаходження значень синуса і косинуса будь-якого кута можна звести до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 360° (або від 2я), а значень тангенса і котангенса будь-якого кута - до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 180° (або від ).
Задача 6. Обчислити: 1) sin 780°; 2) 
Розв’язання. 1) 1-й спосіб. Оскільки 780° = 60° + 360° ∙ 2 і sin (а + 360°k) = sin а, k ∈ Z, матимемо:
2-й спосіб. Від 780° віднімемо два періоди по 360°. Матимемо:
2) Ураховуючи, що період тангенса дорівнює , матимемо:
Відповідь. 
Інколи знаходити значення тригонометричної функції деякого кута за допомогою періодичності доцільніше через значення цієї функції від’ємного кута, що лежить у межах від -180° до 0° (або від -п до 0), а далі застосувати залежність між однойменними функціями протилежних кутів.
Наприклад,
Назвіть область визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Назвіть множину значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Які знаки мають тригонометричні функції в кожній з координатних чвертей? Назвіть тригонометричні функції, що є парними: непарними. Запишіть відповідні рівності. Поясніть, у чому полягає періодичність тригонометричних функцій.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
(Усно). Чи існує таке значення х, для якого:
9.2. Чи існує таке значення а, для якого:
Який знак має (9.3—9.4):
9.3. 1) sin а, якщо а = 13°; а = 115°; а = 215°; а = 288°;
2) cos а, якщо а = 83°; а = 132°; а = 193°; а = 315°;
3) tga, якщо а = 37°; а = 158°; а = 235°; а = 328°;
4) ctga, якщо а = 42°; а = 173°; а = 217°; а = 359°?
9.4. 1) sinβ, якщо р = 57°; β = 123°; р = 240°; β = 329°;
2) cosβ, якщо β = 32°; β = 142°; β = 215°; β = 278°;
3) tgβ, якщо β = 12°; β = 137°; β = 189°; β = 280°;
4) ctgβ, якщо β = 68°; β = 163°; β = 237°; β = 342°?
Закінчіть обчислення (9.5—9.6):
9.5. 1) sin750° = sin(30° + 360° ∙ 2) = sin30° = ...;
2) cos405° = cos(405° - 360°) = ...;
3) tg240° = tg(60° + 180°) = ...;
4) ctg(-510°) = ctg(-510° + 180° ∙ 3) = ....
9.6. 1) cos720° = cos(0° + 360° ∙ 2) = cos0° = ...;
2) sin420° = sin(420° - 360°) = ...;
3) ctg600° = ctg(60° + 180° ∙ 3) = ...;
4) tg(-330°) = tg(-330° + 180° ∙ 2) = ....
2
Порівняйте вираз з нулем (9.7—9.10):
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
Обчисліть (9.11-9.12):
9.11.
9.12.
9.13. Чи можна стверджувати, що 
є значенням:
1) sina; 2) cosa; 3) tga; 4) ctga?
9.14. Чи можна стверджувати, що 
є значенням:
1) sina; 2) cosa; 3) tga; 4) ctga?
Обчисліть (9.15—9.16):
9.15. 1) cos390°; 2) sin405°; 3) ctg420°;
4)tg750°; 5) sin 720°; 6) cos 780°.
9.16. 1) cos420°; 2) sin390°; 3) ctg405°;
4)tg390°; 5) cos750°; 6) sin765°.
9.17. Доведіть, що функція є парною:
1) f(х) - 3 + cosx; 2) f(x) = xsinx.
9.18. Доведіть, що функція є непарною:
1) f(х) = xcosx; 2) f(х) = х + sinx.
9.19. Доведіть, що функція:
1) f(x) = x2cosx є парною;
2) f(х) = х3 - sinx є непарною.
3
Знайдіть найменше і найбільше значення виразу (9.20— 9.21):
9.20. 1) 1 + sina; 2) 2 - cosa; 3) 4 + sin2a; 4) cos2a - 3.
9.21. 1) cosa - 3; 2) sina - 1; 3) cos2a + 1; 4) 2 - sin2a.
9.22. Чи існує такий кут а, при якому справджується рівність:
1) cosa = cos60° + cos45°; 2) sina = sin30° - sin45°?
9.23. Якій чверті належить кут β, якщо:
1) sinβ < 0 і cosβ > 0; 2) sinβ > 0 і tgβ < 0;
3) cosβ < 0 і ctgβ >0; 4) tgβ < 0 і cosβ > 0?
9.24. Кутом якої чверті є кут а, якщо:
1) cosa < 0 і sina > 0; 2) cosa > 0 і ctga > 0;
3) sina < 0 і tga > 0; 4) ctga < 0 і sina < 0?
Знайдіть значення виразу (9.25—9.26):
9.25.
9.26.
Знайдіть область визначення функції (9.27—9.28):
9.27.
9.28.
Знайдіть множину значень функції (9.29-9.30):
9.29. 1) у = 4sinx - 3; 2) у = 2 - 3cosx.
9.30. 1) у = 2cosx + 7; 2) у = 4 - 5sinx.
Дослідіть функцію на парність та непарність (9.31—9.32):
9.31. 1) f(х) = х + cosx; 2) f(x) = х5 + sinx.
9.32. 1) f(x) = х2 + cosx; 2) f(x) = sinx + x4.
4
9.33. Відомо, що β - кут другої чверті. Спростіть вираз:
9.34. Кутом якої чверті може бути кут х, якщо:
1) sinxcosx > 0; 2) cosxctgx < 0;
3) |cosx| = cosx; 4) |ctgx| = -ctgx?
9.35. Кутом якої чверті може бути кут а, якщо:
1) sinacosa < 0; 2) sinatga > 0;
3) |sina| = -sina; 4) |tga| = tga?
9.36. При яких значеннях b для деякого кута х є правильною рівність:
9.37. При яких значеннях а для деякого кута х є правильною рівність:
Житєва математика
9.38. Пачка офісного паперу формату А4 налічує 500 аркушів. Офіс у середньому витрачає 1700 таких аркушів на тиждень. Яку найменшу кількість пачок паперу треба придбати для офісу на 4 тижні?
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
9.39. На колі х2 + у2 = 1 знайдіть точки:
9.40. Знайдіть точку, що належить колу х2 + у2 = 1 та має:
