ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§9. ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Розглянемо властивості тригонометричних функцій, які безпосередньо випливають з їх означень.

1. Область визначення тригонометричних функцій

Як ми вже зазначали раніше, вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого кута а (див. § 7, п. 3). Так само мають зміст вирази sinx і cos х для будь-якого числа х (кута х у радіанах). Отже, областю визначення функцій синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел.

Це можна записати так: D(sinx) = D(cosx) = (-∞; +∞) або D(sinx) = D(cosx) = R.

Вираз tga має зміст для будь-яких кутів а, крім ±90°, ±270°, ±450°, ..., тобто крім кутів, які можна задати формулою 90° + 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз tgx не має змісту, коли

х = ∙  k, k ∈ Z.

Областю визначення функції тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел +  k, де k ∈ Z.

Вираз ctga має зміст для будь-яких кутів а, крім 0°; ±180°; ±360°; ..., тобто крім кутів, які можна задати формулою 180°k, де k ∈ Z. Тому вираз ctgx не має змісту, коли х =  k, де k ∈ Z.

Областю визначення функції котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел  k, де k ∈ Z.

Знайти область визначення функції

Розв’язання. Знайдемо значення х, для яких котангенс не існує, розв’язавши рівняння: 2х - =  k.

Маємо:

Отже, областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім чисел  k ∈ Z. Скорочено це можна записати так:

Відповідь.

2. Множина значень тригонометричних функцій

Синус і косинус кута а є відповідно ординатою і абсцисою точки Р_а(х; у) одиничного кола (див. § 7, п. 3). Тому ординати і абсциси точок одиничного кола набувають будь-яких

значень від -1 до 1. Отже,

множиною значень функцій синуса і косинуса є проміжок [-1; 1].

Той самий проміжок [-1; 1] є множиною значень і у випадку синуса і косинуса числового аргументу х (кута х у радіанах). Отже,

E(sinx) = Е(cos х) = [-1; 1].

Чи існує значення х, для якого:

Розв’язання. 1) Оскільки то значення х, при якому cos х = -, існує.

2) Оскільки   1, то не існує значення х, при якому sinx = .

Відповідь. 1) Так; 2) ні.

Задача 3. Знайти множину значень функції:

1) у = sinx + 2;   2) у = cos²x - 3.

Розв’язання. 1) Як відомо, -1 ≤ sinx ≤ 1. Маємо:

-1 ≤ sinx ≤ 1;

-1 + 2 ≤ sinx + 2 ≤ 1 + 2 (додали до всіх частин число 2);

1 ≤ sinx + 2 ≤ 3.

Отже, Е(у) = [1; 3].

2) Зрозуміло, що cos²x ≥ 0, з іншого боку, -1 ≤ cosх ≤ 1, тому cos²x ≤ 1. Маємо:

0 ≤ cos²x ≤ 1;

0 - 3 ≤ cos²x - 3 ≤ 1 - 3 (відняли від усіх частин число 3);

-3 ≤ cos²х - 3 ≤ -2.

Отже, Е(у) = [-3; -2].

Відповідь. 1) [1; 3]; 2) [-3; -2].

Множину значень тангенса знайдемо за допомогою графічної інтерпретації.

Розглянемо пряму l, що проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис. Вона є дотичною до одиничного кола (мал. 9.1). Нехай при повороті на кут а початковий радіус OP₀ одиничного кола переходить у радіус ОР_а, а пряма ОР_а перетинає пряму l у точці D_a. Нехай Р_а(х; у), тому х = cos а; у = sin а. Проведемо перпендикуляр Р_аК на вісь абсцис. Тоді ∆ОР_aК ∾ ∆ODР₀, тому маємо:

тобто

отже,

тому D_aP₀ = tga. Отже, ордината точки D_a дорівнює тангенсу кута а.

Пряму, що проходить через точку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис, називають лінією тангенсів.

У разі зміни кута повороту від -90° до 90° змінюватиметься і положення точки Р_а на одиничному колі, отже, і положення точки D_a на лінії тангенсів. Очевидно, що ордината точки D_a може набувати будь-яких значень (мал. 9.1). Отже, множиною значень тангенса є множина всіх дійсних чисел.

У той самий спосіб розглянемо питання і про множину значень котангенса.

Мал. 9.1

Пряму m, яка проходить через точку (0; 1) перпендикулярно до осі ординат, називають лінією котангенсів (мал. 9.2). Можна довести, що абсциса точки С_а перетину прямої ОР_а з лінією котангенсів дорівнює котангенсу а.

У разі зміни кута повороту від 0° до 180° точка С_а може набувати будь-яких значень, тому множиною значень котангенса є множина всіх дійсних чисел. Отже, множиною значень функцій тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Мал. 9.2

Аналогічно і для числового аргументу: E(tgx) = E(ctgx) = R.

3. Знаки тригонометричних функцій

Синус кута а є ординатою точки Р_а(х; у) одиничного кола (мал. 7.10). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому:

• sin а > 0, якщо а - кут І або II чверті,

• sin а < 0, якщо а - кут III або IV чверті.

Косинус кута а є абсцисою точки Р_а(х; у) одиничного кола (мал. 7.10). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому:

• cos а > 0, якщо а - кут І або IV чверті,

• cos а < 0, якщо а - кут II або III чверті.

Оскільки то знаки tg а і ctg а залежать від знаків sin а і cos а. У І та III чвертях знаки sin а і cos а мають однакові знаки, а у II та IV чвертях - різні. Тому:

• tga > 0 і ctg a > 0, якщо a — кут І або III чверті;

• tga < 0 і ctg a < 0, якщо a - кут II або IV чверті. Висновки щодо знаків тригонометричних функцій кутів зручно запам’ятати за малюнком 9.3.

Мал. 9.3

Задача 4. Порівняти з нулем число:

1) sin 152°;   2) cos(-12°);   3) tg(-125°);   4) ctg2.

Розв’язання. 1) 152° - кут II чверті, тому sin 152° > 0.

2) -12° - кут IV чверті, тому cos(-12°) > 0.

3) -125° - кут III чверті, тому tg(-125°) > 0.

4) 2 радіани ≈ 2 ∙ 57° = 114°, отже, 2 радіани - кут II чверті, тому ctg2 < 0.

Відповідь. 1) sin152° > 0;   2) cos(-12°) > 0;

3) tg(-125°) > 0;   4) ctg2 < 0.

4. Парність і непарність тригонометричних функцій

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола переходить у радіус ОР_а, а при повороті на кут -а - у радіус ОР_-а (мал. 9.4). Точки Р_а і Р_-а - симетричні відносно осі абсцис, тому їх абсциси однакові, а ординати протилежні. Маємо:

cos а = х і cos (-а) = х, тому cos (-а) = cos а;

sin а = у і sin (-а) = -у, тому

sin (-а) = -sin а.

Тоді

 

Мал. 9.4

Отже, синус, тангенс і котангенс — непарні функції, косинус — парна функція, тобто:

cos (-а) = cos а   tg(-а) = -tga

sin (-а) = -sin a   ctg(-a) = -ctga

Ці формули можна використовувати для обчислень значень тригонометричних виразів. Наприклад,

5. Періодичність тригонометричних функцій

Якщо при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола переходить у радіус ОР_а (мал. 9.4), то цей самий радіус ОР_а отримаємо

й при повороті радіуса ОР₀ на кут, відмінний від а на повний оберт або на будь-яку кількість повних обертів, тобто на число 360°k (або 2 k), де k ∈ Z. Приходимо до висновку, що при зміні кута на ціле число обертів значення тригонометричних функцій синуса і косинуса не змінюються:

sin (а + 360°k) = sin а або sin (а + 2 k) - sin а,

cos (а + 360°k) = cos а або cos (а + 2 k) = cos а.

Отже, значення тригонометричних функцій синус і косинус не змінюються, якщо до їх аргументів додати (або відняти) число, кратне числу 2. Кожне таке число для синуса і косинуса є періодом, а 2 - найменшим періодом. Функції, що мають таку властивість, називають періодичними.

Число 2 також є періодом функцій тангенс і котангенс, проте для цих функцій можна знайти і менший період. Розглянемо точки О, Р_а та Р_β, які лежать на одній прямій (мал. 9.5). Тоді прямі ОР_а і ОР_β збігаються, а тому перетинають вісь тангенсів в одній і тій самій точці D.

1.   

2. Мал. 9.5

3.   

4. Мал. 9.6

Аналогічно, прямі ОР_а і ОР_β перетинають вісь котангенсів в одній і тій самій точці С (мал. 9.6). Отже,

при зміні кута на ціле число півобертів (, 2, 3, 4, ...) значення функцій тангенса і котангенса не змінюються.

tg(a + 180°k) = tga або tg(a +  k) - tga.

ctg(a + 180°k) - ctga або ctg(a +  k) = ctga.

Виходячи з періодичності, знаходження значень синуса і косинуса будь-якого кута можна звести до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 360° (або від 2я), а значень тангенса і котангенса будь-якого кута - до знаходження значення цієї ж функції невід’ємного кута, меншого від 180° (або від ).

Задача 6. Обчислити: 1) sin 780°;   2)

Розв’язання. 1) 1-й спосіб. Оскільки 780° = 60° + 360° ∙ 2 і sin (а + 360°k) = sin а, k ∈ Z, матимемо:

2-й спосіб. Від 780° віднімемо два періоди по 360°. Матимемо:

2) Ураховуючи, що період тангенса дорівнює , матимемо:

Відповідь.

Інколи знаходити значення тригонометричної функції деякого кута за допомогою періодичності доцільніше через значення цієї функції від’ємного кута, що лежить у межах від -180° до 0° (або від -п до 0), а далі застосувати залежність між однойменними функціями протилежних кутів.

Наприклад,

Назвіть область визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Назвіть множину значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Які знаки мають тригонометричні функції в кожній з координатних чвертей? Назвіть тригонометричні функції, що є парними: непарними. Запишіть відповідні рівності. Поясніть, у чому полягає періодичність тригонометричних функцій.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

(Усно). Чи існує таке значення х, для якого:

9.2. Чи існує таке значення а, для якого:

Який знак має (9.3—9.4):

9.3. 1) sin а, якщо а = 13°; а = 115°; а = 215°; а = 288°;

2) cos а, якщо а = 83°; а = 132°; а = 193°; а = 315°;

3) tga, якщо а = 37°; а = 158°; а = 235°; а = 328°;

4) ctga, якщо а = 42°; а = 173°; а = 217°; а = 359°?

9.4. 1) sinβ, якщо р = 57°; β = 123°; р = 240°; β = 329°;

2) cosβ, якщо β = 32°; β = 142°; β = 215°; β = 278°;

3) tgβ, якщо β = 12°; β = 137°; β = 189°; β = 280°;

4) ctgβ, якщо β = 68°; β = 163°; β = 237°; β = 342°?

Закінчіть обчислення (9.5—9.6):

9.5. 1) sin750° = sin(30° + 360° ∙ 2) = sin30° = ...;

2) cos405° = cos(405° - 360°) = ...;

3) tg240° = tg(60° + 180°) = ...;

4) ctg(-510°) = ctg(-510° + 180° ∙ 3) = ....

9.6. 1) cos720° = cos(0° + 360° ∙ 2) = cos0° = ...;

2) sin420° = sin(420° - 360°) = ...;

3) ctg600° = ctg(60° + 180° ∙ 3) = ...;

4) tg(-330°) = tg(-330° + 180° ∙ 2) = ....

2

Порівняйте вираз з нулем (9.7—9.10):

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

Обчисліть (9.11-9.12):

9.11.

9.12.

9.13. Чи можна стверджувати, що є значенням:

1) sina;   2) cosa;   3) tga;   4) ctga?

9.14. Чи можна стверджувати, що є значенням:

1) sina;   2) cosa;   3) tga;   4) ctga?

Обчисліть (9.15—9.16):

9.15. 1) cos390°;   2) sin405°;   3) ctg420°;

4)tg750°;   5) sin 720°;   6) cos 780°.

9.16. 1) cos420°;   2) sin390°;   3) ctg405°;

4)tg390°;   5) cos750°;   6) sin765°.

9.17. Доведіть, що функція є парною:

1) f(х) - 3 + cosx;   2) f(x) = xsinx.

9.18. Доведіть, що функція є непарною:

1) f(х) = xcosx;   2) f(х) = х + sinx.

9.19. Доведіть, що функція:

1) f(x) = x²cosx є парною;

2) f(х) = х³ - sinx є непарною.

3

Знайдіть найменше і найбільше значення виразу (9.20— 9.21):

9.20. 1) 1 + sina;   2) 2 - cosa;   3) 4 + sin²a;   4) cos²a - 3.

9.21. 1) cosa - 3;   2) sina - 1; 3)   cos²a + 1;   4) 2 - sin²a.

9.22. Чи існує такий кут а, при якому справджується рівність:

1) cosa = cos60° + cos45°;   2) sina = sin30° - sin45°?

9.23. Якій чверті належить кут β, якщо:

1) sinβ < 0 і cosβ > 0;   2) sinβ > 0 і tgβ < 0;

3) cosβ < 0 і ctgβ >0;   4) tgβ < 0 і cosβ > 0?

9.24. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

1) cosa < 0 і sina > 0;   2) cosa > 0 і ctga > 0;

3) sina < 0 і tga > 0;   4) ctga < 0 і sina < 0?

Знайдіть значення виразу (9.25—9.26):

9.25.

9.26.

Знайдіть область визначення функції (9.27—9.28):

9.27.

9.28.

Знайдіть множину значень функції (9.29-9.30):

9.29. 1) у = 4sinx - 3;   2) у = 2 - 3cosx.

9.30. 1) у = 2cosx + 7;   2) у = 4 - 5sinx.

Дослідіть функцію на парність та непарність (9.31—9.32):

9.31. 1) f(х) = х + cosx;   2) f(x) = х⁵ + sinx.

9.32. 1) f(x) = х² + cosx;   2) f(x) = sinx + x⁴.

4

9.33. Відомо, що β - кут другої чверті. Спростіть вираз:

9.34. Кутом якої чверті може бути кут х, якщо:

1) sinxcosx > 0;   2) cosxctgx < 0;

3) |cosx| = cosx;   4) |ctgx| = -ctgx?

9.35. Кутом якої чверті може бути кут а, якщо:

1) sinacosa < 0;   2) sinatga > 0;

3) |sina| = -sina;   4) |tga| = tga?

9.36. При яких значеннях b для деякого кута х є правильною рівність:

9.37. При яких значеннях а для деякого кута х є правильною рівність:

Житєва математика

9.38. Пачка офісного паперу формату А4 налічує 500 аркушів. Офіс у середньому витрачає 1700 таких аркушів на тиждень. Яку найменшу кількість пачок паперу треба придбати для офісу на 4 тижні?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

9.39. На колі х² + у² = 1 знайдіть точки:

9.40. Знайдіть точку, що належить колу х² + у² = 1 та має: