Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§10. ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТУ

У цьому параграфі розглянемо залежність між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

1. Основна тригонометрична тотожність

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола переходить у радіус ОРа (мал. 10.1). Оскільки радіус кола дорівнює 1, то координати точки Ра(х; у) задовольняють рівняння кола: х2 + у2 = 1. Але х = cos а, у = sin а, тому

sin2a +cos2a =1.

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю. Вона задає залежність між значеннями синуса і косинуса одного й того самого кута, отже дозволяє знаходити одне із цих значень через інше.

Мал. 10.1

Покажемо це на схемі:

У формулах знак перед радикалом залежатиме від чверті, у якій лежить кут а.

Задача 1. Спростити вираз:

Розв’язання.

1) (1 - sinx)(1 + sinx) = 12 - sin2x = 1 - sin2x = cos2x.

Відповідь. 1) cos2 x; 2)-sin 2а.

Задача 2. Знайти sin а, якщо cos а = -0,6 і < а < .

Розв’язання. Оскільки а - кут II чверті, то sin а > 0.

З формули

маємо:

Відповідь. 0,8.

2. Інші тригонометричні тотожності

Перемноживши почленно рівності

матимемо:

якщо cos а ≠ 0, sin а ≠ 0.

Отже, tgactga = 1.

Тоді

Довести тотожність:

Доведення. Перетворимо ліву частину тотожності:

Отримали праву частину тотожності.

3. Наслідки з основної тригонометричної тотожності

Поділимо обидві частини тотожності sin2 а + cos2 а = 1 на cos2 а (за умови, що cos2 а ≠ 0). Отримаємо:

тобто

Якщо обидві частини тотожності sin2 а + cos2 а = 1 поділити на sin2 а (за умови, що sin2 а ≠ 0), то отримаємо:

тобто

Задача 4. Довести, що при всіх допустимих значеннях β, значення виразу не залежить від β.

Доведення.

Отже, значення виразу від значення β не залежить.

Задача 5. Відомо, що

Знайти всі інші тригонометричні функції кута х.

Розв’язання. Треба знайти sinх, cosх і tgx. Маємо:

З формули

матимемо:

Тоді

За умовою х - кут IV чверті,

тому sinx < 0, отже,

Тепер знайдемо cosx, враховуючи, що

Матимемо:

Відповідь.

Запам’ятайте основну тригонометричну тотожність. Запишіть означення тангенса і котангенса кута через синус і косинус цього самого кута. Як пов’язані між собою тангенс і котангенс? Запам’ятайте формули, що є наслідками з основної тригонометричної тотожності.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

10.1. Спростіть вираз:

1)1 - cos2 a; 2)2 - tgactga.

10.2. Спростіть вираз:

1) 1 - sin2 a;   2) tgactga + 3.

Знайдіть значення виразу (10.3—10.4):

10.3. 1) sin2 17° + cos2 17°;   2) tg3ctg3.

10.4. 1) cos2 2 + sin2 2;   2) ctg 12° tg 12°.

Доведіть, що (10.5—10.6):

10.5.

10.6.

2

Спростіть вираз (10.7—10.8):

10.7. 1) 2 sin2 a + (1 - cos2 a);   2) sin2 a + 2cos2 a - 1;

3) (1 - cos a) (1 + cos (-a));   4) (sin a - 1) (1 + sin a).

10.8. 1) 3 cos2 a + (1 - sin2 a);   2) cos2 a + 5 sin2 a - 1;

3) (1 + sin a) (1 + sin (-a));   4) (1 + cos a) (cos a - 1).

Спростіть вираз (10.9—10.10):

10.9.

10.10. 1) tg2 а + cos2 а + sin2 а;   2) sin2 х (1 + ctg2 х);

3) cos3 х - cos3 х sin2 х;   4) ctg2 а tg2 а - sin2 β.

Доведіть тотожність (10.11—10.12):

10.11.

10.12.

Спростіть вираз (10.13—10.14):

10.13. 1) cos(-x) + cosxtg2 (-х);   2) ctg (-β)tg β + sin2 (-β).

10.14. 1) sin(-β)- sinβctg2 (-β);   2) ctgxtg(-x) + cos2 (-x).

10.15. Доведіть, що не можуть одночасно виконуватися рівності:

Чи можуть одночасно виконуватися рівності (10.16—10.17):

10.16.

10.17.

Знайдіть (10.18-10.19):

10.18. 1) tga, якщо

2) cos а і tga, якщо sin a = 0,8 і < a < ;

3) sin φ, tg φ, ctg φ, якщо

4) cosβ, tgβ, ctgβ, якщо

10.19. 1) ctgβ, якщо

2) sin х і tgx, якщо

3) cos a, tga, ctga, якщо

4) sinβ, tgβ, ctgβ, якщо cosβ = -0,8 і < β < .

3

Доведіть тотожність (10.20—10.21):

10.20.

10.21.

Спростіть вираз (10.22—10.23):

10.22.

10.23.

Доведіть тотожність (10.24—10.25):

10.24.

10.25.

10.26. Спростіть вираз:

Знайдіть (10.27-10.28):

10.27. 1) cos а і sin а, якщо

2) sinx і cos х, якщо ctgx = 2 і х - кут III чверті.

10.28. 1) cosβ і sinβ, якщо tgβ = і β — кут І чверті;

2) sin а і cos а, якщо ctga = -1 і < а < 2.

10.29. Знайдіть значення усіх інших тригонометричних функцій кута а, якщо:

1) sin а і а кут II чверті; 2) tga = -5 і < а < 2.

10.30. Знайдіть значення усіх інших тригонометричних функцій кута , якщо:

1) cosβ = - і 0 < β < ; 2) ctgβ = 0,5 і β - кут І чверті.

4

Спростіть вираз (10.31—10.32):

10.31.

10.32.

Доведіть тотожність (10.33—10.34):

10.33.

10.34.

10.35. Відомо, що sin а + cos а = 0,8. Знайдіть sin a cos а.

10.36. Знайдіть tg2 х + ctg2 х, якщо tg х + ctg х = 5.

10.37. Знайдіть значення виразу:

10.38. Відомо, що tg а = 3. Знайдіть значення виразу

10.39. Доведіть, що значення виразу не залежить від а:

10.40. Знайдіть найменше і найбільше значення виразу:

1)4 sin2 х - 3 cos2 х;   2)4 cos2 х + 3 tg х ctg х.

10.41. Знайдіть область значень функції у = 7 cos2 х + 3 sin2 х.

Життєва математика

10.42. Освітлення кімнати споживає 300 Вт щогодини. Щодня його вмикають на 6 годин. Якщо провести заміну освітлення на енергозберігаюче, то витрати зменшаться на 30 %. 1) Скільки кВт ∙ год протягом тижня можна заощадити на освітленні кімнати, використовуючи енергозберігаюче освітлення?

2) Скільки коштів можна заощадити протягом тижня за діючими тарифами на електроенергію, перейшовши на енергозберігаюче освітлення?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

10.43. Пригадайте формули з курсу геометрії та заповніть пропуски:

1) sin(180° - а) =   2) cos(180° - а) =

3) sin(90° - а) = ...;   4) cos(90° - а) = ... .

10.44. Порівняйте з нулем вираз, де 0° < а < 90°:

1) sin(90° + а);   2) cos(180° - а);   3) tg(270° + а);

4) ctg(360° - а);   5) sin(180° + а);   6) cos(270° - а);

7) tg(90° - а);   8) ctg(180° - а);   9) cos(360° + а).






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.