ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§12. ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ. ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

1. Періодичність функцій

Процеси і явища у природі, техніці, медицині часто мають повторювальний характер: рух Землі навколо Сонця, рух маятника, різні обертальні рухи тощо. Такі процеси називають періодичними, а функції, що їх описують, - періодичними функціями.

Ми вже знаємо, що тригонометричні функції є періодичними, адже значення синуса і косинуса при зміні кута на ціле число обертів не змінюються (див. § 9, п. 5). При зміні ж кута на ціле число півобертів не змінюються значення тангенса і котангенса, тобто тригонометричні функції синуса і косинуса не змінюються, якщо до їх аргументу додати деяке число, кратне 2, а тангенса і котангенса, - якщо додати число, кратне .

Функцію у = f(x) називають періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т і х - Т також належать області визначення і справджується рівність: f(x + Т) = f(x) = f(x - Т).

Оскільки sin(x + 2) = sin(x - 2) = sinx і cos(x + 2) = cos(x - 2) = cosx для будь-якого х, то функції синус і косинус періодичні з періодом 2. Періодами цих функцій також будуть числа, кратні 2, тобто числа -2; ±4; ±6; ... .

Для дослідження властивостей функцій та побудови їх графіків важливо знати найменший додатний період функції.

Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у - cos х є 2. Нехай Т - довільний період косинуса, тоді cos(x + Т) = cosх для будь-якого х, зокрема для х = 0. Маємо: cos Т - cos 0 = 1. Найменшим додатним значенням Т, для якого cos Т = 1, є число 2. Отже, 2 - найменший додатний період функції у =- cos х.

У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = sinx також є число 2. Отже,

найменший додатний період для кожної з функцій у = sinx і у = cosx дорівнює 2.

Оскільки tg(x + ) = tgx і tg(x - ) = -tg( - х) = tgx, а також ctg(x + ) = ctgx і ctg(x - ) = ctgx для будь-якого х з області визначення тангенса і котангенса відповідно, то можна дійти висновку про те, що тангенс і котангенс - періодичні функції з періодом .

Доведемо, що - найменший додатний період функції у = tgx. Нехай Т - довільний період функції у - tgx, тоді tg(x + Т) = tgx для будь-якого х з області визначення, зокрема і для х = 0. Тоді tgT = tgO = 0. Найменшим додатним значенням Т, для якого tgT = 0, є число . Отже, — найменший додатний період функції у = tgx.

У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = ctgx також є число . Отже,

найменший додатний період для кожної з функцій у = tgx і у = ctgx дорівнює .

Періодичність функції використовують для побудови її графіка:

для побудови графіка періодичної функції з найменшим додатним періодом Т₀ достатньо побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною Т₀ (наприклад, [0; Т₀]), а потім доповнити його одержаним графіком, паралельно перенесеним вправо і вліво вздовж осі абсцис на відстань kT₀, де k — будь-яке натуральне число.

2. Графік функції у = sinx

Спочатку побудуємо графік функції у = sinx на проміжку [0; ]. Використаємо таблицю значень:

Будуємо графік функції у = sinx на проміжку [0; ], враховуючи, що 3,14. На малюнку 12.1 зображено графік функції у = sinx на проміжку [0; ].

Мал. 12.1

Мал. 12.2

Оскільки функція у = sinx є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Виконаємо симетричне відображення лінії, зображеної на малюнку 12.1, відносно початку координат і отримаємо графік функції у = sinx на проміжку [-; ] (мал. 12.2).

Далі врахуємо періодичність функції у = sinx, найменший додатний період якої дорівнює 2. Паралельно перенесемо одержаний графік вліво і вправо вздовж осі абсцис на 2, 4, 6, ... . Одержимо графік функції у = sinx на всій області визначення (мал. 12.3). Лінію, яка є графіком функції у = sinx, називають синусоїдою.

Мал. 12.3

3. Графік функції у = cos x

Побудувати графік функції у = cosx можна в той самий спосіб, яким будували графік функції у = sinx.

Але, враховуючи, що графік функції у = cos х можна отримати з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво на (мал. 12.4). Графіком функції у = cosx є також синусоїда, бо це та сама лінія, що й графік функції у = sinx, тільки розміщена інакше відносно системи координат. Графік функції у = cosx зображено на малюнку 12.4, його ще називають косинусоїдою.

Мал. 12.4

4. Графік функції у = tgx

Спочатку побудуємо графік функції у = tgx на проміжку

Для цього складемо таблицю значень функції:

Графік функції зображено на малюнку 12.5. Зауважимо, що він не перетинає прямі (оскільки тангенс у точках не існує), при наближенні х до значення

tgx стає як завгодно великим, а при наближенні до - – як завгодно малим.

Мал. 12.5

Мал. 12.6

Далі, враховуючи періодичність функції у = tgx, найменший додатний період якої дорівнює , отримаємо графік функції у = tgx на всій області визначення (мал. 12.6). Графік функції у = tgx називають тангенсоїдою, він складається з безлічі окремих гілок - гілок тангенсоїди.

5. Графік функції У = ctgx

Функція у = ctgx не визначена для х =  k, k ∈ Z. Графік цієї функції можна спочатку побудувати на проміжку (0; ), і далі використати періодичність функції. А можна, оскільки

отримати з графіка функції у = tgx паралельним перенесенням на вліво вздовж осі абсцис, а потім симетричним відображенням отриманого графіка відносно цієї осі.

Графік функції у = ctgx зображено на малюнку 12.7. Це також тангенсоїда, але розміщена інакше відносно системи координат. Графік функції у = ctgx називають ще котангенсоїдою.

Мал. 12.7

6. Властивості тригонометричних функцій

Узагальнимо вивчені раніше властивості тригонометричних функцій та властивості, отримані з їх графіків, у таблиці (с. 114 і 115).

Тепер ми можемо знаходити властивості не тільки функцій, зазначених у цих таблицях, а й інших тригонометричних функцій.

Задача 1. Знайти нулі функції

Розв’язання. Нулями функції y = tgx є значення аргументу вигляду  k, k ∈ Z. Тому для даної функції знайдемоті значення х, для яких 2х - =  k. Розв’яжемо отримане лінійне рівняння: 2х - =  k;

k ∈ Z, - нулі функції.

Відповідь.

Задача 2. Знайти проміжки зростання функції у = sin 3х.

Розв’язання. Оскільки  k ∈ Z, - проміжки зростання функції у = sinx, розв’яжемо нерівність:

Відповідь.

Для знаходження періодів деяких тригонометричних функцій скористаємося властивістю, яку приймемо без доведення:

найменший додатний період функцій вигляду у = sin(kx + φ) і у = cos(kx + φ), де k і φ — числа, дорівнює а функцій вигляду у = tg(kx + φ) і у = ctg(kx + φ) дорівнює

Наприклад, найменшим додатним періодом Т функції буде число тобто Т = , а функції буде число тобто Т = 8.

7. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою перетворень

Для побудови графіків тригонометричних функцій, відмінних від тих, які ми розглянули вище, можна використовувати перетворення графіків функцій.

Наприклад, для побудови графіка функції у = cos х - 1 достатньо графік функції у = cos х перенести вздовж осі у на 1 вниз (мал. 12.8).

Мал. 12.8

А для побудови графіка функції у = 2 sin х достатньо графік функції у = sinx розтягнути у 2 рази від осі абсцис (мал. 12.9).

Мал. 12.9

8. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою комп’ютера

За допомогою спеціальних комп’ютерних програм можна будувати графіки будь-яких тригонометричних функцій. На малюнку 12.10 зображено графік функції у = tg, а на малюнку 12.11 - графік функції у = cos(x - 0,25л), побудовані за допомогою однієї з таких програм.

Радимо під час використання конкретної програми знайомитися з файлом допомоги (часто для цього достатньо натиснути клавішу знаходячись у вікні програми). У більшості програм є спеціальні опції або інструменти для роботи з тригонометричними функціями, наприклад опція «тригонометричний набір» дозволяє по осі х відкладати позначки, що залежать від п. Саме таку опцію застосовано до графіків на малюнках 12.10 і 12.11.

Мал. 12.10

Мал. 12.11

За графіками легко визначати властивості функцій. Наприклад, нулями функції у = tg є числа вигляду х = 2 k, k ∈ Z, а функція у = cos(x - 0,25) спадає на проміжках [0,25 + 2 k; 1,25 + 2 k], k ∈ Z, тощо.

Яку функцію називають періодичною з періодом Т ≠ 0? Назвіть найменший додатний період функцій у = sinx, у = cosx, у = tg х, у = ctg х та у = sin(kx + φ), у = cos(kx + φ), у = tg(kx + φ), у = ctg(kx + φ). Як використовують періодичність для побудови графіків? За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х сформулюйте їх властивості.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

12.1. Для функції у = sinx знайдіть:

12.2. Для функції у = cos х знайдіть:

2

12.3. Побудуйте графік функції y = cosx на проміжку [0; 2]. Укажіть область значень функції, проміжок зростання і проміжок спадання, нулі функції.

12.4. Побудуйте графік функції у = sin х на проміжку Укажіть область значень функції, проміжок зростання і проміжок спадання, нулі функції.

12.5. Побудуйте графік функції у = tg х на проміжку Укажіть нулі функції, проміжки зростання і проміжки спадання функції.

Знайдіть найменший додатний період функції (12.6—12.7):

12.6.

12.7.

12.8. За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х визначте знак числа:

12.9. За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx порівняйте з нулем число:

3

Побудуйте графік функції та за зразком таблиць на с. 114 і 115 запишіть її властивості (12.10—12.11):

12.10. 1) у = sinx - 2;   2) y = 3cosx.

12.11. 1) y = cosx + 3;   2) у = 2sinx.

12.12. Побудуйте графік функції

Укажіть:

1) нулі функції.

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень.

3) проміжки зростання і проміжки спадання функції.

12.13. Побудуйте графік функції Укажіть:

1) нулі функції;

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

3) проміжки зростання і проміжки спадання функції. 12.14. Чи є число Т періодом функції f, якщо:

Не виконуючи побудови, знайдіть нулі функції (12.15—12.16):

12.15.

12.16.

Використовуючи графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx, порівняйте числа (12.17—12.18):

12.17. 1) sin 0,7 і sin 0,8;   2) cos 2 і cos3;

3) tg(-2) і tg(-1);   4) ctg 1,6 і ctg3,5.

12.18. 1) sin1 і sin 4;

2) cos (-0,2) і cos (-0,1);

3) tg0,2 і tg0,3;

4) ctg(-3) і ctg (-2).

4

12.19. Не виконуючи побудови, знайдіть:

1) проміжки зростання функції

2) значення х, при яких функція набуває від’ємних значень.

12.20. Не виконуючи побудови, знайдіть:

1) проміжки спадання функції

2) значення х, при яких функція набуває додатних значень.

Побудуйте графік функції (12.21—12.22):

12.21.

12.22.

12.23. Знайдіть область визначення функції

12.24. Знайдіть область визначення функції

12.25. При яких значеннях х, х ∈ [0; 2], функція f(x) набуває найменшого значення, а при яких - найбільшого? Знайдіть ці значення, якщо:

1) f(x) = sin2x + 1;   2) f(x) = 3 - cosx.

12.26. (Практичне завдання.) За допомогою будь-якої комп’ютерної програми, що будує графіки, побудуйте графіки функцій

та за зразком таблиць на с. 114-115 укажіть їх властивості.

Життєва математика

12.27. Для дорослих вхідний квиток на 2-й поверх Ейфелевої вежі коштує 8 євро, для осіб віком 12-24 роки - 6,4 євро, а для дітей 4-11 років - 4 євро. Родина тернопільчан, що складається з батька, мами, студента Сергія (19 років), школярки Марійки (10 років) та малюка Ореста (2 роки), хоче відвідати 2-й поверх Ейфелевої вежі. У паризькому банку 1 євро коштує 32 гривні. Яку суму (у грн) заплатить ця родина за таку екскурсію. Округліть до цілих гривень.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

12.28. Знайдіть скалярний добуток якщо:

12.29. Дано: а = 60°; В = 30°. Перевірте, що: