Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§12. ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ. ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
1. Періодичність функцій
Процеси і явища у природі, техніці, медицині часто мають повторювальний характер: рух Землі навколо Сонця, рух маятника, різні обертальні рухи тощо. Такі процеси називають періодичними, а функції, що їх описують, - періодичними функціями.
Ми вже знаємо, що тригонометричні функції є періодичними, адже значення синуса і косинуса при зміні кута на ціле число обертів не змінюються (див. § 9, п. 5). При зміні ж кута на ціле число півобертів не змінюються значення тангенса і котангенса, тобто тригонометричні функції синуса і косинуса не змінюються, якщо до їх аргументу додати деяке число, кратне 2
, а тангенса і котангенса, - якщо додати число, кратне 
.
Функцію у = f(x) називають періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т і х - Т також належать області визначення і справджується рівність: f(x + Т) = f(x) = f(x - Т).
Оскільки sin(x + 2) = sin(x - 2) = sinx і cos(x + 2) = cos(x - 2) = cosx для будь-якого х, то функції синус і косинус періодичні з періодом 2. Періодами цих функцій також будуть числа, кратні 2, тобто числа -2; ±4; ±6; … .
Для дослідження властивостей функцій та побудови їх графіків важливо знати найменший додатний період функції.
Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у - cos х є 2. Нехай Т - довільний період косинуса, тоді cos(x + Т) = cosх для будь-якого х, зокрема для х = 0. Маємо: cos Т - cos 0 = 1. Найменшим додатним значенням Т, для якого cos Т = 1, є число 2. Отже, 2 - найменший додатний період функції у =- cos х.
У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = sinx також є число 2. Отже,
найменший додатний період для кожної з функцій у = sinx і у = cosx дорівнює 2.
Оскільки tg(x + ) = tgx і tg(x - ) = -tg( - х) = tgx, а також ctg(x + ) = ctgx і ctg(x - ) = ctgx для будь-якого х з області визначення тангенса і котангенса відповідно, то можна дійти висновку про те, що тангенс і котангенс - періодичні функції з періодом .
Доведемо, що - найменший додатний період функції у = tgx. Нехай Т - довільний період функції у - tgx, тоді tg(x + Т) = tgx для будь-якого х з області визначення, зокрема і для х = 0. Тоді tgT = tgO = 0. Найменшим додатним значенням Т, для якого tgT = 0, є число . Отже, — найменший додатний період функції у = tgx.
У той самий спосіб можна довести, що найменшим додатним періодом функції у = ctgx також є число . Отже,
найменший додатний період для кожної з функцій у = tgx і у = ctgx дорівнює .
Періодичність функції використовують для побудови її графіка:
для побудови графіка періодичної функції з найменшим додатним періодом Т0 достатньо побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною Т0 (наприклад, [0; Т0]), а потім доповнити його одержаним графіком, паралельно перенесеним вправо і вліво вздовж осі абсцис на відстань kT0, де k — будь-яке натуральне число.
2. Графік функції у = sinx
Спочатку побудуємо графік функції у = sinx на проміжку [0; ]. Використаємо таблицю значень:
Будуємо графік функції у = sinx на проміжку [0; ], враховуючи, що 3,14. На малюнку 12.1 зображено графік функції у = sinx на проміжку [0; ].
Мал. 12.1
Мал. 12.2
Оскільки функція у = sinx є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Виконаємо симетричне відображення лінії, зображеної на малюнку 12.1, відносно початку координат і отримаємо графік функції у = sinx на проміжку [-; ] (мал. 12.2).
Далі врахуємо періодичність функції у = sinx, найменший додатний період якої дорівнює 2. Паралельно перенесемо одержаний графік вліво і вправо вздовж осі абсцис на 2, 4, 6, … . Одержимо графік функції у = sinx на всій області визначення (мал. 12.3). Лінію, яка є графіком функції у = sinx, називають синусоїдою.
Мал. 12.3
3. Графік функції у = cos x
Побудувати графік функції у = cosx можна в той самий спосіб, яким будували графік функції у = sinx.
Але, враховуючи, що 
графік функції у = cos х можна отримати з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво на 
(мал. 12.4). Графіком функції у = cosx є також синусоїда, бо це та сама лінія, що й графік функції у = sinx, тільки розміщена інакше відносно системи координат. Графік функції у = cosx зображено на малюнку 12.4, його ще називають косинусоїдою.
Мал. 12.4
4. Графік функції у = tgx
Спочатку побудуємо графік функції у = tgx на проміжку 
Для цього складемо таблицю значень функції:
Графік функції зображено на малюнку 12.5. Зауважимо, що він не перетинає прямі 
(оскільки тангенс у точках 
не існує), при наближенні х до значення
tgx стає як завгодно великим, а при наближенні до - — як завгодно малим.
Мал. 12.5
Мал. 12.6
Далі, враховуючи періодичність функції у = tgx, найменший додатний період якої дорівнює , отримаємо графік функції у = tgx на всій області визначення (мал. 12.6). Графік функції у = tgx називають тангенсоїдою, він складається з безлічі окремих гілок - гілок тангенсоїди.
5. Графік функції У = ctgx
Функція у = ctgx не визначена для х = k, k ∈ Z. Графік цієї функції можна спочатку побудувати на проміжку (0; ), і далі використати періодичність функції. А можна, оскільки
отримати з графіка функції у = tgx паралельним перенесенням на вліво вздовж осі абсцис, а потім симетричним відображенням отриманого графіка відносно цієї осі.
Графік функції у = ctgx зображено на малюнку 12.7. Це також тангенсоїда, але розміщена інакше відносно системи координат. Графік функції у = ctgx називають ще котангенсоїдою.
Мал. 12.7
6. Властивості тригонометричних функцій
Узагальнимо вивчені раніше властивості тригонометричних функцій та властивості, отримані з їх графіків, у таблиці (с. 114 і 115).
Тепер ми можемо знаходити властивості не тільки функцій, зазначених у цих таблицях, а й інших тригонометричних функцій.
Задача 1. Знайти нулі функції 
Розв’язання. Нулями функції y = tgx є значення аргументу вигляду k, k ∈ Z. Тому для даної функції знайдемоті значення х, для яких 2х - 
= k. Розв’яжемо отримане лінійне рівняння: 2х - = k;
k ∈ Z, - нулі функції.
Відповідь. 
Задача 2. Знайти проміжки зростання функції у = sin 3х.
Розв’язання. Оскільки 
k ∈ Z, - проміжки зростання функції у = sinx, розв’яжемо нерівність:
Відповідь. 
Для знаходження періодів деяких тригонометричних функцій скористаємося властивістю, яку приймемо без доведення:
найменший додатний період функцій вигляду у = sin(kx + φ) і у = cos(kx + φ), де k і φ — числа, дорівнює 
а функцій вигляду у = tg(kx + φ) і у = ctg(kx + φ) дорівнює 
Наприклад, найменшим додатним періодом Т функції 
буде число 
тобто Т = , а функції 
буде число 
тобто Т = 8.
7. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою перетворень
Для побудови графіків тригонометричних функцій, відмінних від тих, які ми розглянули вище, можна використовувати перетворення графіків функцій.
Наприклад, для побудови графіка функції у = cos х - 1 достатньо графік функції у = cos х перенести вздовж осі у на 1 вниз (мал. 12.8).
Мал. 12.8
А для побудови графіка функції у = 2 sin х достатньо графік функції у = sinx розтягнути у 2 рази від осі абсцис (мал. 12.9).
Мал. 12.9
8. Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою комп’ютера
За допомогою спеціальних комп’ютерних програм можна будувати графіки будь-яких тригонометричних функцій. На малюнку 12.10 зображено графік функції у = tg
, а на малюнку 12.11 - графік функції у = cos(x - 0,25л), побудовані за допомогою однієї з таких програм.
Радимо під час використання конкретної програми знайомитися з файлом допомоги (часто для цього достатньо натиснути клавішу 
знаходячись у вікні програми). У більшості програм є спеціальні опції або інструменти для роботи з тригонометричними функціями, наприклад опція «тригонометричний набір» дозволяє по осі х відкладати позначки, що залежать від п. Саме таку опцію застосовано до графіків на малюнках 12.10 і 12.11.
Мал. 12.10
Мал. 12.11
За графіками легко визначати властивості функцій. Наприклад, нулями функції у = tg є числа вигляду х = 2 k, k ∈ Z, а функція у = cos(x - 0,25) спадає на проміжках [0,25 + 2 k; 1,25 + 2 k], k ∈ Z, тощо.
Яку функцію називають періодичною з періодом Т ≠ 0? Назвіть найменший додатний період функцій у = sinx, у = cosx, у = tg х, у = ctg х та у = sin(kx + φ), у = cos(kx + φ), у = tg(kx + φ), у = ctg(kx + φ). Як використовують періодичність для побудови графіків? За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х сформулюйте їх властивості.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
12.1. Для функції у = sinx знайдіть:
12.2. Для функції у = cos х знайдіть:
2
12.3. Побудуйте графік функції y = cosx на проміжку [0; 2]. Укажіть область значень функції, проміжок зростання і проміжок спадання, нулі функції.
12.4. Побудуйте графік функції у = sin х на проміжку 
Укажіть область значень функції, проміжок зростання і проміжок спадання, нулі функції.
12.5. Побудуйте графік функції у = tg х на проміжку 
Укажіть нулі функції, проміжки зростання і проміжки спадання функції.
Знайдіть найменший додатний період функції (12.6—12.7):
12.6.
12.7.
12.8. За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х визначте знак числа:
12.9. За графіками функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx порівняйте з нулем число:
3
Побудуйте графік функції та за зразком таблиць на с. 114 і 115 запишіть її властивості (12.10—12.11):
12.10. 1) у = sinx - 2; 2) y = 3cosx.
12.11. 1) y = cosx + 3; 2) у = 2sinx.
12.12. Побудуйте графік функції 
Укажіть:
1) нулі функції.
2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень.
3) проміжки зростання і проміжки спадання функції.
12.13. Побудуйте графік функції 
Укажіть:
1) нулі функції;
2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;
3) проміжки зростання і проміжки спадання функції. 12.14. Чи є число Т періодом функції f, якщо:
Не виконуючи побудови, знайдіть нулі функції (12.15—12.16):
12.15.
12.16.
Використовуючи графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx, порівняйте числа (12.17—12.18):
12.17. 1) sin 0,7 і sin 0,8; 2) cos 2 і cos3;
3) tg(-2) і tg(-1); 4) ctg 1,6 і ctg3,5.
12.18. 1) sin1 і sin 4;
2) cos (-0,2) і cos (-0,1);
3) tg0,2 і tg0,3;
4) ctg(-3) і ctg (-2).
4
12.19. Не виконуючи побудови, знайдіть:
1) проміжки зростання функції 
2) значення х, при яких функція 
набуває від’ємних значень.
12.20. Не виконуючи побудови, знайдіть:
1) проміжки спадання функції 
2) значення х, при яких функція 
набуває додатних значень.
Побудуйте графік функції (12.21—12.22):
12.21.
12.22.
12.23. Знайдіть область визначення функції 
12.24. Знайдіть область визначення функції 
12.25. При яких значеннях х, х ∈ [0; 2], функція f(x) набуває найменшого значення, а при яких - найбільшого? Знайдіть ці значення, якщо:
1) f(x) = sin2x + 1; 2) f(x) = 3 - cosx.
12.26. (Практичне завдання.) За допомогою будь-якої комп’ютерної програми, що будує графіки, побудуйте графіки функцій
та за зразком таблиць на с. 114-115 укажіть їх властивості.
Життєва математика
12.27. Для дорослих вхідний квиток на 2-й поверх Ейфелевої вежі коштує 8 євро, для осіб віком 12-24 роки - 6,4 євро, а для дітей 4-11 років - 4 євро. Родина тернопільчан, що складається з батька, мами, студента Сергія (19 років), школярки Марійки (10 років) та малюка Ореста (2 роки), хоче відвідати 2-й поверх Ейфелевої вежі. У паризькому банку 1 євро коштує 32 гривні. Яку суму (у грн) заплатить ця родина за таку екскурсію. Округліть до цілих гривень.
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
12.28. Знайдіть скалярний добуток 
якщо:
12.29. Дано: а = 60°; В = 30°. Перевірте, що:
