ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§13. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ

У цьому параграфі розглянемо формули, які дають можливість записувати тригонометричні функції суми і різниці двох кутів через тригонометричні функції цих кутів.

1. Косинус різниці й суми

Для того, щоб отримати формулу для cos(a - β), спочатку розглянемо випадок, коли а > β і а - β < . Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола перейшов у радіус ОР_а, Р_а(х; у) (мал. 13.1). Оскільки х = cos а, у = sin а, то маємо вектор

Аналогічно,

Тоді:

З іншого боку:

Але

Маємо: cos a cos β + sin a sin β = cos(a - β). Аналогічно розглядають і випадки, коли a < β або a - β > .

Мал. 13.1

Отримали формулу косинуса різниці:

cos(a - β) = cos a cos β + sin a sin β.

Із цієї формули маємо:

cos(a + β) = cos(a - (-β)) = cosacos(-β) + sinasin(-β) = cos a cos β - sin a sin β.

Отримали формулу косинуса суми:

cos(a + β) = cos a cos β - sin a sin β.

Задача 1. Обчислити cos 75°.

Розв’язання.

Відповідь.

Задача 2. Спростити вираз

Розв’язання.

Відповідь.

2. Синус різниці й суми

Знайдемо формулу для sin(a - β).

Маємо:

Отримали формулу синуса різниці:

sin(a - β) = sin a cos β - cos a sin β.

Для sin(a + β) матимемо:

sin(a + β) = sin(a - (-β)) = sin a cos(-β) - cos a sin(-β) = sin a cos β + cos a sin β.

Отримали формулу синуса суми:

sin(a + β) = sin a cos β + cos a sin β.

Задача 3. Знайти якщо sin a = 0,6 і < a < .

Розв’язання.

Оскільки a - кут II чверті, то cos a < 0. Маємо:

Тоді

Відповідь.

Задача 4. Спростити вираз sin 12х cos 4х + cos 12х sin 4х.

Розв’язання. Неважко помітити, що даний вираз - це права частина формули sin(a + β), де a = 12х, β = 4х.

Отже, sin 12хcos 4х + cos 12хsin 4х = sin (12х + 4х) = sin 16х.

Відповідь. sin16x.

3. Тангенс різниці й суми

Виразимо tg(a - β) через tga і tg β за умови, що кожен із цих виразів має зміст, тобто, що cos(a - β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cosβ ≠ 0. Маємо:

Поділимо чисельник і знаменник на добуток cos a cosβ ≠ 0. Матимемо:

Отримали формулу тангенса різниці:

Для тангенса суми матимемо:

Отримали формулу тангенса суми:

Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь.

А ще pаніше...

Для складання тригонометричних таблиць важливо мати формули, що дають можливість знаходити тригонометричні

функції суми та різниці аргументів (а ± β) через тригонометричні функції аргументів а і β.

Першим, який дійшов до нас, трактатом, що містить такі формули, став «Альмагест» Птолемея. У цій праці видатний математик геометричним шляхом на основі теореми Птолемея виводить формули різниці і суми двох кутів для хорд. Індійські вчені, зокрема Бхаскара (XII cм.), використовували формули, які в сучасній символіці можна записати так:

де R - радіус кола.

Цю та інші формули додавання використовували вчені середньовічних країн Азії та Європи.

У сучасному вигляді формули додавання стали використовувати після праці І. Клюгера «Аналітична тригонометрія» (1770 р.). У ній автор вводить тригонометричні функції як співвідношення між сторонами трикутника. Так, наприклад, формулу синуса суми Клюгер отримує з формули: sin С = sin A cos В + cos A sin В, де А, В, С - кути трикутника.

Запам’ятайте формули косинуса різниці й суми; синуса різниці й суми; тангенса різниці й суми.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Чи правильна рівність (13.1-13.2)?

13.1. 1) sin (2x + у) = sin 2х cos у - cos 2х sin у;

2) cos (х - у) = cos х cos у + sin х sin y?

13.2. 1) sin (3х - у) = sin 3х cos у - cos 3х sin у;

2) cos (х + у) = cos х cos у + sin х sin y?

Чи правильно виконано спрощення (13.3—13.4):

13.3. 1) sin 20° cos 5° - sin 5° cos 20° = sin (20° + 5°) = sin 25°;

2) cos 40° cos 10° - sin 40° sin 10° = cos (40° + 10°) = cos 50°?

13.4. 1) sin 15° cos 6° + cos 15° sin 6° = sin (15° + 6°) = sin 21°;

2) cos 17°cos7° + sin 17°sin7° = cos(17° + 7°) = cos24°?

2

За формулами додавання перетворіть вираз (13.5—13.6):

13.5.

13.6.

За формулами додавання перевірте істинність формули зведення (13.7—13.8):

13.7.

13.8.

13.9. Запишіть кут 105° як суму 60° + 45° та обчисліть:

1) sin 105°;   2) cos 105°;   3) tg105°.

13.10. Запишіть кут 15° як різницю 60° - 45° (або 45° - 30°) та обчисліть:

1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 15°.

Спростіть вираз (13.11—13.16):

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15. 1) cos 2a cos 7a + sin 2a sin 7a;

2) sin 4a cos a - cos 4a sin a;

3) cos 4x cos 2x - sin 4x sin 2x;

4) sin 2у cos 8у + cos 2у sin 8y.

13.16. 1) sin 4ycosy - cos 4y siny;

2) cos 3a cos a - sin 3a sin a;

3) cos14x cos 2x + sin 14x sin 2x;

4) sin 2β cos β + sin p cos 2β.

Знайдіть значення виразу (13.17—13.18):

13.17.

13.18.

13.19. Відомо, що tga = 4; tgβ = -0,5. Знайдіть:

1)tg(a + β);   2)tg(a - β).

13.20. Відомо, що tga = 0,25; tgβ = -8. Знайдіть:

1)tg(a - β);   2)tg(a + β).

Обчисліть (13.21—13.22):

13.21.

13.22.

3

Спростіть вираз (13.23—13.24):

13.23.

13.24.

Доведіть тотожність (13.25—13.26):

13.25.

13.26.

Спростіть вираз (13.27—13.28):

13.27.

13.28.

Знайдіть значення виразу (13.29—13.30):

13.29.

13.30.

13.31. Дано:

Знайдіть: 1) sin (а + β);   2) cos (а - β).

13.32. Дано:

Знайдіть: 1) sin (а - β);   2) cos (а + β).

13.33. Доведіть формули котангенса суми й різниці:

13.34. Застосовуючи формули з попередньої вправи, обчисліть:

4

3.35. Доведіть, що коли а, β, у - кути трикутника, то sin a cos β + cos а sin β = sin у.

13.36. Знайдіть tg (а - β), якщо кути II чверті.

13.37. Знайдіть tg(a + β), якщо кути І чверті.

13.38. Доведіть тотожність: cos(a + β) cos(a - β) = cos² β - sin² a.

13.39. Доведіть тотожність: sin(a + β) sin(a - β) = sin² a - sin² β.

13.40. Знайдіть найменше і найбільше значення виразу:

13.41. Знайдіть множину значень функції:

Життєва математика

13.42. Коефіцієнт корисної дії (ККД) деякого двигуна визначають за формулою де Т₁ - температура нагрівача (у градусах Кельвіна), Т₂ - температура холодильника (у градусах Кельвіна). При якій мінімальній температурі нагрівана Т₁ ККД цього двигуна становитиме не менше 20 %, якщо температура холодильника Т₂ = 320 К? Відповідь запишіть у градусах Кельвіна.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

13.43. Для а = 30° і а = 60° порівняйте значення виразів:

1) sin 2а і 2 sin а cos а;   2) cos 2а і cos² а - sin² а.