Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§13. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ
У цьому параграфі розглянемо формули, які дають можливість записувати тригонометричні функції суми і різниці двох кутів через тригонометричні функції цих кутів.
1. Косинус різниці й суми
Для того, щоб отримати формулу для cos(a - β), спочатку розглянемо випадок, коли а > β і а - β < 
. Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР0 одиничного кола перейшов у радіус ОРа, Ра(х; у) (мал. 13.1). Оскільки х = cos а, у = sin а, то маємо вектор 
Аналогічно, 
Тоді: 
З іншого боку: 
Але 
Маємо: cos a cos β + sin a sin β = cos(a - β). Аналогічно розглядають і випадки, коли a < β або a - β > .
Мал. 13.1
Отримали формулу косинуса різниці:
cos(a - β) = cos a cos β + sin a sin β.
Із цієї формули маємо:
cos(a + β) = cos(a - (-β)) = cosacos(-β) + sinasin(-β) = cos a cos β - sin a sin β.
Отримали формулу косинуса суми:
cos(a + β) = cos a cos β - sin a sin β.
Задача 1. Обчислити cos 75°.
Розв’язання.
Відповідь. 
Задача 2. Спростити вираз 
Розв’язання.
Відповідь. 
2. Синус різниці й суми
Знайдемо формулу для sin(a - β).
Маємо:
Отримали формулу синуса різниці:
sin(a - β) = sin a cos β - cos a sin β.
Для sin(a + β) матимемо:
sin(a + β) = sin(a - (-β)) = sin a cos(-β) - cos a sin(-β) = sin a cos β + cos a sin β.
Отримали формулу синуса суми:
sin(a + β) = sin a cos β + cos a sin β.
Задача 3. Знайти 
якщо sin a = 0,6 і 
< a < .
Розв’язання.
Оскільки a - кут II чверті, то cos a < 0. Маємо:
Тоді
Відповідь. 
Задача 4. Спростити вираз sin 12х cos 4х + cos 12х sin 4х.
Розв’язання. Неважко помітити, що даний вираз - це права частина формули sin(a + β), де a = 12х, β = 4х.
Отже, sin 12хcos 4х + cos 12хsin 4х = sin (12х + 4х) = sin 16х.
Відповідь. sin16x.
3. Тангенс різниці й суми
Виразимо tg(a - β) через tga і tg β за умови, що кожен із цих виразів має зміст, тобто, що cos(a - β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cosβ ≠ 0. Маємо:
Поділимо чисельник і знаменник на добуток cos a cosβ ≠ 0. Матимемо:
Отримали формулу тангенса різниці:
Для тангенса суми матимемо:
Отримали формулу тангенса суми:
Обчислити:
Розв’язання.
Відповідь. 
А ще pаніше…
Для складання тригонометричних таблиць важливо мати формули, що дають можливість знаходити тригонометричні
функції суми та різниці аргументів (а ± β) через тригонометричні функції аргументів а і β.
Першим, який дійшов до нас, трактатом, що містить такі формули, став «Альмагест» Птолемея. У цій праці видатний математик геометричним шляхом на основі теореми Птолемея виводить формули різниці і суми двох кутів для хорд. Індійські вчені, зокрема Бхаскара (XII cм.), використовували формули, які в сучасній символіці можна записати так:
де R - радіус кола.
Цю та інші формули додавання використовували вчені середньовічних країн Азії та Європи.
У сучасному вигляді формули додавання стали використовувати після праці І. Клюгера «Аналітична тригонометрія» (1770 р.). У ній автор вводить тригонометричні функції як співвідношення між сторонами трикутника. Так, наприклад, формулу синуса суми Клюгер отримує з формули: sin С = sin A cos В + cos A sin В, де А, В, С - кути трикутника.
Запам’ятайте формули косинуса різниці й суми; синуса різниці й суми; тангенса різниці й суми.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
1
Чи правильна рівність (13.1-13.2)?
13.1. 1) sin (2x + у) = sin 2х cos у - cos 2х sin у;
2) cos (х - у) = cos х cos у + sin х sin y?
13.2. 1) sin (3х - у) = sin 3х cos у - cos 3х sin у;
2) cos (х + у) = cos х cos у + sin х sin y?
Чи правильно виконано спрощення (13.3—13.4):
13.3. 1) sin 20° cos 5° - sin 5° cos 20° = sin (20° + 5°) = sin 25°;
2) cos 40° cos 10° - sin 40° sin 10° = cos (40° + 10°) = cos 50°?
13.4. 1) sin 15° cos 6° + cos 15° sin 6° = sin (15° + 6°) = sin 21°;
2) cos 17°cos7° + sin 17°sin7° = cos(17° + 7°) = cos24°?
2
За формулами додавання перетворіть вираз (13.5—13.6):
13.5.
13.6.
За формулами додавання перевірте істинність формули зведення (13.7—13.8):
13.7.
13.8.
13.9. Запишіть кут 105° як суму 60° + 45° та обчисліть:
1) sin 105°; 2) cos 105°; 3) tg105°.
13.10. Запишіть кут 15° як різницю 60° - 45° (або 45° - 30°) та обчисліть:
1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 15°.
Спростіть вираз (13.11—13.16):
13.11.
13.12.
13.13.
13.14.
13.15. 1) cos 2a cos 7a + sin 2a sin 7a;
2) sin 4a cos a - cos 4a sin a;
3) cos 4x cos 2x - sin 4x sin 2x;
4) sin 2у cos 8у + cos 2у sin 8y.
13.16. 1) sin 4ycosy - cos 4y siny;
2) cos 3a cos a - sin 3a sin a;
3) cos14x cos 2x + sin 14x sin 2x;
4) sin 2β cos β + sin p cos 2β.
Знайдіть значення виразу (13.17—13.18):
13.17.
13.18.
13.19. Відомо, що tga = 4; tgβ = -0,5. Знайдіть:
1)tg(a + β); 2)tg(a - β).
13.20. Відомо, що tga = 0,25; tgβ = -8. Знайдіть:
1)tg(a - β); 2)tg(a + β).
Обчисліть (13.21—13.22):
13.21.
13.22.
3
Спростіть вираз (13.23—13.24):
13.23.
13.24.
Доведіть тотожність (13.25—13.26):
13.25.
13.26.
Спростіть вираз (13.27—13.28):
13.27.
13.28.
Знайдіть значення виразу (13.29—13.30):
13.29.
13.30.
13.31. Дано:
Знайдіть: 1) sin (а + β); 2) cos (а - β).
13.32. Дано:
Знайдіть: 1) sin (а - β); 2) cos (а + β).
13.33. Доведіть формули котангенса суми й різниці:
13.34. Застосовуючи формули з попередньої вправи, обчисліть:
4
3.35. Доведіть, що коли а, β, у - кути трикутника, то sin a cos β + cos а sin β = sin у.
13.36. Знайдіть tg (а - β), якщо 
кути II чверті.
13.37. Знайдіть tg(a + β), якщо 
кути І чверті.
13.38. Доведіть тотожність: cos(a + β) cos(a - β) = cos2 β - sin2 a.
13.39. Доведіть тотожність: sin(a + β) sin(a - β) = sin2 a - sin2 β.
13.40. Знайдіть найменше і найбільше значення виразу:
13.41. Знайдіть множину значень функції:
Життєва математика
13.42. Коефіцієнт корисної дії (ККД) деякого двигуна визначають за формулою 
де Т1 - температура нагрівача (у градусах Кельвіна), Т2 - температура холодильника (у градусах Кельвіна). При якій мінімальній температурі нагрівана Т1 ККД цього двигуна становитиме не менше 20 %, якщо температура холодильника Т2 = 320 К? Відповідь запишіть у градусах Кельвіна.
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
13.43. Для а = 30° і а = 60° порівняйте значення виразів:
1) sin 2а і 2 sin а cos а; 2) cos 2а і cos2 а - sin2 а.