Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§14. ФОРМУЛИ ПОДВІЙНОГО І ПОЛОВИННОГО КУТА, ФОРМУЛИ ПОНИЖЕННЯ СТЕПЕНЯ

Розглянемо формули, що є наслідками формул додавання.

1. Формули подвійного кута

Формула

sin (а + β) = sin а cos β + cos а sin β є істинною для будь-яких значень

а і β. Якщо припустимо, що β = а, матимемо:

sin (а + а) = sin а cos а + cos а sin а, тобто

sin 2а = 2 sin а cos а.

Отримали формулу синуса подвійного кута.

Аналогічно для формули cos(a + β) = cos a cos β - sin a sin β, коли β = a, матимемо: cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a, тобто

cos 2a = cos2 a - sin2 a.

Отримали формулу косинуса подвійного кута.

Якщо в отриману формулу спочатку замість cos2 а підставити 1 - sin2 а, а потім замість sin2 а підставити 1 - cos2 a, отримаємо ще дві формули косинуса подвійного кута:

cos 2a = 1 - 2 sin2 а та cos 2a = 2 cos2 a - 1.

Так само з формули

отримаємо формулу тангенса подвійного кута

тобто

Отримали формулу тангенса подвійного кута, яка є істинною, коли tga і tg2a існують.

Задача1. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь. 1) ctg a; 2) cos a + sin a.

Задача 2. Обчислити: sin 15° cos 15°.

Розв’язання.

Відповідь. 0,25.

Зауважимо, що отримані формули можна застосовувати до будь-якого кута 2а, адже будь-який кут можна подати як подвійний. Наприклад, sin6x = sin(2 ∙ 3x) = 2sin3xcos3x.

Оскільки

маємо ще одну формулу пониження степеня:

Ця формула істинна, якщо tga існує.

Задача 3. Понизити степінь виразу:

Розв’язання.

Відповідь.

3. Формули половинного кута

Якщо у формулах   замість кута а підставити кут , отримаємо формули половинного кута:

Задача 4. Знайти sin , якщо cos a і 2 < a < .

Розв’язання. За формулою половинного кута

Оскільки тобто отже, sin < 0, і тому

Відповідь. -.

Для tg можна отримати ще дві формули. Оскільки

то маємо формули:

Задача 5. Обчислити ctg15°.

Розв’язання.

Відповідь. 2 + .

А ще раніше ...

Складаючи таблиці хорд, Птолемей уже використовував співвідношення, яке в сучасних позначеннях виглядає так:

До деяких формул, що після спрощень зводилися до цієї формули, дійшли також і давньоіндійські математики. Індуси знали і кілька інших тригонометричних формул. Так, наприклад, Абу-л-Вафа (940-998) винайшов формулу

Ця, а також формули подвійного та половинного кутів для синуса і косинуса, є у працях багатьох середньовічних учених.

Франсуа Віст у праці «Числення трикутників» знаходив синуси і косинуси будь-яких кратних дуг, використовуючи прийоми, подібні до прийомів множення комплексних чисел.

Англієць Джон Пелль, француз Г. Роберваль та інші математики XVIII cм. різними шляхами прийшли до формули

Видатний математик Л. Ейлер у праці «Введення в аналіз» запропонував формулу:

Яка, проте, зараз не має широкого вжитку.

Запам’ятайте формули синуса, косинуса і тангенса подвійного кута. Запам’ятайте формули пониження степеня. Запам’ятайте формули половинного кута.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Чи правильно використано формули подвійного кута (14.1-14.2):

14.1.

14.2.

2

Спростіть вираз (14.3—14.4):

14.3.

14.4.

Скоротіть дріб (14.5—14.6):

14.5.

14.6.

Обчисліть (14.7—14.8):

14.7.

14.8.

Спростіть вираз (14.9—14.12):

14.9.

14.10.

14.11.

14.12.

14.13. Знайдіть tg2β, якщо:

14.14. Знайдіть tg2a, якщо:

14.15. Знайдіть cos 2a, якщо:

14.16. Знайдіть cos2x, якщо:

Запишіть тригонометричну функцію кута через тригонометричну функцію вдвічі меншого кута (14.17—14.18):

14.17.

14.18.

Виконайте пониження степеня у виразі (14.19—14.22):

14.19. 1) cos2 За;   2) sin2 8х.

14.20. 1) sin2 4а;   2) cos2 5х.

3

14.21.

14.22.

Подайте у вигляді добутку вираз (14.23—14.24):

14.23. 1)1 + cos a;   2) 1 - cos 2a;   3) 1 + cos 10°;

4)1 - cos 15°;   5)1 + sin β;   6)1 - sin 20°.

14.24.

14.25. Спростіть вираз:

14.26. Спростіть вираз:

14.27. Знайдіть sin 2а, якщо

14.28. Знайдіть sin 2а, якщо cos а = -0,8; < а < .

14.29. Відомо, що Знайдіть:

14.30. Відомо, що

Знайдіть:

14.31. Чи існує таке значення а, при якому:

14.32. Чи існує таке значення β, при якому:

1) sin β cos β = -0,75;   2) sin2 β - cos2 β = 0,1?

Спростіть вираз (14.33—14.34):

14.33.

14.34.

Доведіть тотожність (14.35—14.36):

14.35.

14.36.

4

14.37. Знайдіть sin а, якщо

14.38. Знайдіть sin 2а, якщо cos а + sin а = -0,2.

14.39. Доведіть формули потрійного кута:

1) sin За = 3 sin а - 4 sin3 а; 2) cos 3а = 4 cos3 а - 3 cos а.

Спростіть вираз (14.40—14.41):

14.40.

14.41.

14.42. Косинус кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 0,8. Знайдіть косинус і синус кута при вершині.

Життєва математика

14.43. Літр бензину на автозаправці коштує 22 грн. Марія залила в бак 30 літрів бензину та придбала пакет соку вартістю 12 грн. Скільки решти вона отримає із 700 грн?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріали

14.44. Розв’яжіть систему рівнянь де х і у - змінні.

14.45. Порівняйте значення виразів і sin а + sin β, якщо:

1) а = 45°; β = 135°;   2) а = 90°; β = -30°.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.