Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§15. ФОРМУЛИ СУМИ Й РІЗНИЦІ ОДНОЙМЕННИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ. ФОРМУЛИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДОБУТКУ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У СУМУ
Розглянемо ще кілька формул, що є наслідками формул додавання.
1. Формули суми і різниці тригонометричних функцій
Додамо почленно формули додавання:
Нехай х + у = а, х - у = β. Тоді 2х = а + β, 2у = а - β, тобто 
Підставимо ці вирази для х і у у вище знайдену суму формул додавання. Отримаємо:
— формула суми синусів.
Замінимо в цій формулі β на -β:
Тоді:
— формула різниці синусів.
Аналогічно можна отримати:
— формула суми косинусів;
— формула різниці косинусів.
Оскільки
то останню формулу можна записати ще й так:
Для суми тангенсів маємо:
- формула суми тангенсів.
Замінивши в цій формулі β на -β і врахувавши, що tg(-β) = -tgβ, матимемо:
— формула різниці тангенсів.
Задача 1. Подати у вигляді добутку вираз:
1) sin 4а + sin 2а; 2) cos 6а - sin 2а.
Розв’язання. 1)3а формулою суми синусів:
2) Використаємо формулу різниці косинусів, ураховуючи, що за формулою зведення 
Матимемо:
Відповідь.
Задача 2. Обчислити sin 75° - sin 15°.
Розв’язання. За формулою різниці синусів маємо:
Відповідь. 
Задача 3. Подати вираз 
у вигляді добутку.
Розв’язання. Спочатку винесемо число 2 за дужки та врахуємо, що 
далі використаємо формулу суми косинусів.
Маємо:
Відповідь. 
2. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
Додамо почленно формули додавання:
Звідси маємо:
Віднімемо почленно від першої формули додавання другу: cos (а - β) - cos (а + β) = 2 sin а sin β, звідси
Додамо почленно формули додавання:
звідси:
Отримали три формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
Задача 4. Обчислити sin 75° sin 105°.
Розв’язання. Перетворимо добуток синусів у суму:
Відповідь. 
Задача 5. Спростити вираз: 2 cos 7x cos 5х - cos 2х.
Розв’язання. 2 cos 7х cos 5х - cos 2х = 2 ∙ 
(cos(7x - 5х) + cos(7х + 5х)) - cos 2х = cos 2х + cos 12х - cos 2х = cos 12х.
Відповідь. cos12x.
А ще pаніше…
Потреба у перетвореннях добутку тригонометричних функцій у суму і навпаки залежала не лише від мети перетворень, а й від обчислювальних засобів, що використовувалися на той час. Дія множення, особливо якщо мова йшла про багатоцифрові числа, завжди вважалася складнішою, ніж дія додавання. Тому в давні часи шукали формули перетворення добутку тригонометричних величин у суму, щоб замінити множення додаванням.
У XVI cм. астрономи, у тому числі й попередник Кеплера, датський вчений Тихо Браге, вперше застосували формулу
для заміни добутку сумою. Для доведення тотожностей, обчислень тощо із цією ж метою їх застосовують і в наш час.
Запишіть формули суми й різниці синусів; суми й різниці косинусів; суми й різниці тангенсів.
Запишіть формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
1
Чи правильно застосовано формули суми й різниці тригонометричних функцій (15.1—15.2):
15.1.
15.2.
Перетворіть суму на добуток (15.3—15.6):
15.3. 1) sin 3а + sin 5а; 2) cos 4а - cos 2а;
3) sin 6а - sin 2а; 4) cos 7а + cos а.
15.4. 1) sin 8а - sin 2а; 2) cos 4а + cos 6а;
3) sin 7а + sin За; 4) cos 5а - cos а.
15.5. 1) sin (12° + a) - sin a; 2) cos (18° + x) + cos (12° + x);
3) cos 36° - cos 18°; 4) sin 70° + sin 20°.
15.6. 1) cos (10° + β) - cosβ; 2) sin (a + 10°) + sin (a + 20°);
3) cos 25° + cos 35°; 4) sin 12° - sin 8°.
Доведіть, що (15.7—15.8):
15.7. 1) cos21°- cos39° = sin9°; 2) sin70° + sin50° - 
cos 10°.
15.8. 1) sin65° - sin5° = cos35°; 2) cos61° + cos1° = cos31°.
Запишіть вираз у вигляді частки (15.9—15.10):
15.9. 1) tg 5a - tg a; 2) tgl8° + tg12°.
15.10. 1) tg4a + tga; 2) tg40° - tg10°.
Перетворіть добуток у суму (15.11—15.12):
15.11. 1) sin4asina; 2) cos3х cos2х; 3) sin5βcosβ;
4) sin 20° sin 10°; 5) cos 11° cos 41°; 6) sin 4° cos 5°.
15.12. 1) sin 6x sin x; 2) cos 4a cos a; 3) sinβcos3β;
4) sin 16° sin 14°; 5) cos 8° cos 68°; 6) sin 12° cos 9°.
Обчисліть (15.13—15.14):
15.13. 1) sin 105°sin 15°; 2) cos15°sin75°.
15.14. 1) cos 75° cos 105°; 2) sin 15° cos 105°.
3
Спростіть вираз (15.15 — 15.16):
15.15.
15.16.
Запишіть у вигляді добутку (15.17—15.20):
15.17. 1) sin 10° + cos 18°; 2) cos 40° - sin 20°.
15.18. 1) cos 32° + sin 40°; 2) sin 50° - cos 70°.
15.19.
15.20.
15.21. Доведіть формули суми і різниці котангенсів:
Запишіть вираз у вигляді частки (15.22—15.23):
15.22. 1) ctg 2х - ctg х; 2) ctg 18° + ctg 12°.
15.23. 1) ctg 3а + ctg а; 2) ctg 50° - ctg 5°.
Подайте вираз у вигляді добутку (15.24—15.25):
15.24. 1) sin2 40° - sin2 20°; 2) cos2 70° - cos2 50°.
15.25. 1) sin2 80° - sin2 40°; 2) cos2 10° - cos2 50°.
Доведіть тотожність (15.26—15.27):
15.26.
15.27.
Подайте вираз у вигляді добутку (15.28—15.29):
15.28.
15.29.
Подайте вираз у вигляді частки (15.30—15.31):
15.30.
15.31.
Доведіть тотожність (15.32—15.33):
15.32.
15.33.
15.34. Перетворіть на добуток вираз:
1) cos а + cos 3а + cos 5а + cos 7а;
2) sin 2а + sin 4а + sin 6а + sin 8а.
Спростіть вираз (15.35—15.36):
15.35.
15.36.
4
Обчисліть (15.37—15.38):
15.37.
15.38.
Спростіть вираз (15.39—15.40):
15.39.
15.40.
Доведіть тотожність (15.41—15.42):
15.41.
15.42. 
Життєва математика
15.43. Військовий збір у 2016 році складав 1,5 % від заробітної плати. Заробітна плата директора приватного підприємства «Патріот» протягом року становила 8000 грн на місяць, а кожного з трьох його робітників - по 6000 грн на місяць. Окрім військового збору, щомісяця директор перераховував 500 грн, а кожний з його робітників - по 300 грн у фонд на підтримку української армії. Яку загальну суму коштів сплатили робітники цього приватного підприємства у 2016 році на потреби української армії?
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
15.44. Чи існує таке значення х, що:
15.45. Укажіть значення кута а, де 0° < а < 90°, для якого справджується рівність:
