ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§15. ФОРМУЛИ СУМИ Й РІЗНИЦІ ОДНОЙМЕННИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ. ФОРМУЛИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДОБУТКУ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У СУМУ

Розглянемо ще кілька формул, що є наслідками формул додавання.

1. Формули суми і різниці тригонометричних функцій

Додамо почленно формули додавання:

Нехай х + у = а, х - у = β. Тоді 2х = а + β, 2у = а - β, тобто

Підставимо ці вирази для х і у у вище знайдену суму формул додавання. Отримаємо:

— формула суми синусів.

Замінимо в цій формулі β на -β:

Тоді:

— формула різниці синусів.

Аналогічно можна отримати:

— формула суми косинусів;

— формула різниці косинусів.

Оскільки

то останню формулу можна записати ще й так:

Для суми тангенсів маємо:

- формула суми тангенсів.

Замінивши в цій формулі β на -β і врахувавши, що tg(-β) = -tgβ, матимемо:

— формула різниці тангенсів.

Задача 1. Подати у вигляді добутку вираз:

1) sin 4а + sin 2а;   2) cos 6а - sin 2а.

Розв’язання. 1)3а формулою суми синусів:

2) Використаємо формулу різниці косинусів, ураховуючи, що за формулою зведення

Матимемо:

Відповідь.

Задача 2. Обчислити sin 75° - sin 15°.

Розв’язання. За формулою різниці синусів маємо:

Відповідь.

Задача 3. Подати вираз у вигляді добутку.

Розв’язання. Спочатку винесемо число 2 за дужки та врахуємо, що далі використаємо формулу суми косинусів.

Маємо:

Відповідь.

2. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

Додамо почленно формули додавання:

Звідси маємо:

Віднімемо почленно від першої формули додавання другу: cos (а - β) - cos (а + β) = 2 sin а sin β, звідси

Додамо почленно формули додавання:

звідси:

Отримали три формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Задача 4. Обчислити sin 75° sin 105°.

Розв’язання. Перетворимо добуток синусів у суму:

Відповідь.

Задача 5. Спростити вираз: 2 cos 7x cos 5х - cos 2х.

Розв’язання. 2 cos 7х cos 5х - cos 2х = 2 ∙ (cos(7x - 5х) + cos(7х + 5х)) - cos 2х = cos 2х + cos 12х - cos 2х = cos 12х.

Відповідь. cos12x.

А ще pаніше...

Потреба у перетвореннях добутку тригонометричних функцій у суму і навпаки залежала не лише від мети перетворень, а й від обчислювальних засобів, що використовувалися на той час. Дія множення, особливо якщо мова йшла про багатоцифрові числа, завжди вважалася складнішою, ніж дія додавання. Тому в давні часи шукали формули перетворення добутку тригонометричних величин у суму, щоб замінити множення додаванням.

У XVI cм. астрономи, у тому числі й попередник Кеплера, датський вчений Тихо Браге, вперше застосували формулу

для заміни добутку сумою. Для доведення тотожностей, обчислень тощо із цією ж метою їх застосовують і в наш час.

Запишіть формули суми й різниці синусів; суми й різниці косинусів; суми й різниці тангенсів.

Запишіть формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Чи правильно застосовано формули суми й різниці тригонометричних функцій (15.1—15.2):

15.1.

15.2.

Перетворіть суму на добуток (15.3—15.6):

15.3. 1) sin 3а + sin 5а;   2) cos 4а - cos 2а;

3) sin 6а - sin 2а;   4) cos 7а + cos а.

15.4. 1) sin 8а - sin 2а;   2)   cos 4а + cos   6а;

3) sin 7а + sin За;   4) cos 5а - cos а.

15.5. 1) sin (12° + a) - sin a;   2) cos (18° + x) + cos (12°   + x);

3) cos 36° - cos 18°;   4) sin 70° + sin 20°.

15.6. 1) cos (10° + β) - cosβ;   2) sin (a + 10°) + sin (a +   20°);

3) cos 25° + cos 35°;   4) sin 12° - sin 8°.

Доведіть, що (15.7—15.8):

15.7.   1) cos21°- cos39° = sin9°;   2) sin70° + sin50° - cos 10°.

15.8.   1) sin65° - sin5° = cos35°;   2) cos61° + cos1° = cos31°.

Запишіть вираз у вигляді частки (15.9—15.10):

15.9. 1) tg 5a - tg a;   2) tgl8° + tg12°.

15.10. 1) tg4a + tga;   2) tg40° - tg10°.

Перетворіть добуток у суму (15.11—15.12):

15.11.   1) sin4asina;   2) cos3х cos2х;   3) sin5βcosβ;

4) sin 20° sin 10°;   5) cos 11° cos 41°;   6)   sin 4° cos 5°.

15.12. 1) sin 6x sin x;   2) cos 4a cos a;   3) sinβcos3β;

4) sin 16° sin 14°;   5) cos 8° cos 68°;   6)   sin 12° cos 9°.

Обчисліть (15.13—15.14):

15.13. 1) sin 105°sin 15°;   2) cos15°sin75°.

15.14. 1) cos 75° cos 105°;   2) sin 15° cos 105°.

3

Спростіть вираз (15.15 — 15.16):

15.15.

15.16.

Запишіть у вигляді добутку (15.17—15.20):

15.17. 1) sin 10° + cos 18°;   2) cos 40° - sin 20°.

15.18. 1) cos 32° + sin 40°;   2) sin 50° - cos 70°.

15.19.

15.20.

15.21. Доведіть формули суми і різниці котангенсів:

Запишіть вираз у вигляді частки (15.22—15.23):

15.22. 1) ctg 2х - ctg х;   2) ctg 18° + ctg 12°.

15.23. 1) ctg 3а + ctg а;   2) ctg 50° - ctg 5°.

Подайте вираз у вигляді добутку (15.24—15.25):

15.24. 1) sin² 40° - sin² 20°;   2) cos² 70° - cos² 50°.

15.25. 1) sin² 80° - sin² 40°;   2) cos² 10° - cos² 50°.

Доведіть тотожність (15.26—15.27):

15.26.

15.27.

Подайте вираз у вигляді добутку (15.28—15.29):

15.28.

15.29.

Подайте вираз у вигляді частки (15.30—15.31):

15.30.

15.31.

Доведіть тотожність (15.32—15.33):

15.32.

15.33.

15.34. Перетворіть на добуток вираз:

1) cos а + cos 3а + cos 5а + cos 7а;

2) sin 2а + sin 4а + sin 6а + sin 8а.

Спростіть вираз (15.35—15.36):

15.35.

15.36.

4

Обчисліть (15.37—15.38):

15.37.

15.38.

Спростіть вираз (15.39—15.40):

15.39.

15.40.

Доведіть тотожність (15.41—15.42):

15.41.

15.42.

Життєва математика

15.43. Військовий збір у 2016 році складав 1,5 % від заробітної плати. Заробітна плата директора приватного підприємства «Патріот» протягом року становила 8000 грн на місяць, а кожного з трьох його робітників - по 6000 грн на місяць. Окрім військового збору, щомісяця директор перераховував 500 грн, а кожний з його робітників - по 300 грн у фонд на підтримку української армії. Яку загальну суму коштів сплатили робітники цього приватного підприємства у 2016 році на потреби української армії?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

15.44. Чи існує таке значення х, що:

15.45. Укажіть значення кута а, де 0° < а < 90°, для якого справджується рівність: