Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§16. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Рівняння, що містить змінну під знаком тригонометричної функції, називають тригонометричним рівнянням.

Такі рівняння ми вже розглядали у вправах 7.23-7.26, де шукали їх окремі розв’язки. Тригонометричними є також рівняння тощо.

У цьому параграфі навчимося знаходити розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, для чого спочатку ознайомимося з оберненими тригонометричними функціями та поняттями арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккотангенса.

1. Обернені тригонометричні функції

Арксинусом числа а, де — 1 ≤ а ≤ 1, називають такий кут із проміжку синус якого дорівнює а.

Позначають арксинус числа а через arcsina. З означення арксинуса випливає, що х = arcsina тоді і тільки тоді, коли:

Наприклад,

Арккосинусом числа а, де — 1 ≤ а ≤ 1, називають такий кут із проміжку [0; я], косинус якого дорівнює а.

Позначають арккосинус числа а через arccosa. З означення арккосинуса випливає, що х = arccosa тоді і тільки тоді, коли:

1) х ∈ [0; ];   2) cosх = а.

Наприклад,

Кілька найчастіше вживаних значень арксинуса і арккосинуса подамо у таблиці (їх ще називають табличними значеннями):

Арктангенсом числа а, де а є R, називають такий кут із проміжку тангенс якого дорівнює а.

Позначають арктангенс числа а через arctga. З означення арктангенса випливає, що

arctga = х тоді і тільки тоді, коли:

Наприклад, arctg1 = , оскільки

оскільки

Арккотангенсом числа а, де а ∈ R, називають такий кут із проміжку (0; ), котангенс якого дорівнює а.

Позначають арккотангенс числа а через arcctga. З означення арккотангенса випливає, що

arcctga = х тоді і тільки тоді, коли:

1) де ∈ (0; );   2) ctgх = а.

Наприклад, оскільки   оскільки

Кілька найчастіше вживаних значень арктангенса і арккотангенса подамо у таблиці:

Якщо тригонометричні вирази містять табличні значення, значення таких виразів легко обчислити.

Задача 1. Знайти значення виразу:

Розв’язання.

2) Оскільки

Відповідь.

2. Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння вигляду sin х = a, cos х = а, tg х = a, ctgx = а, х - змінна, а ∈ R, називають найпростішими тригонометричними рівняннями. Розглянемо, як їх розв’язати.

Рівняння cos t = а.

Якщо а < -1 або а > 1, то рівняння cos t = а розв’язків не має, оскільки |cost| ≤ 1 для будь-якого значення t. Нехай -1 ≤ а ≤ 1. Тоді рівняння cost = а має розв’язки, які проілюструємо на одиничному колі. За означенням, cos t - це абсциса точки Pt на одиничному колі. Для розв’язання рівняння cos t = а треба на одиничному колі знайти кути, косинус яких дорівнює а, тобто знайти такі точки, абсциси яких дорівнюють а. Якщо |а| < 1, то таких точок дві (мал. 16.1 і 16.3), кожній з яких відповідає певний кут t1 і t2. А якщо а = 1 або а = -1, то одна (мал. 16.2).

Мал. 16.1

Мал. 16.2

Мал. 16.3

Оскільки t1 ∈ [0; ] і cos t1 = а, тому t1 = arccosa, тоді t2 = -t1 = -arccosa. Враховуючи, що функція у = cosx є періодичною з найменшим додатним періодом 2, розв’язками рівняння будуть також усі кути вигляду t1 + 2k і t2 + 2k. Отже, маємо формули для коренів рівняння cos t = а:

t = arccosa + 2k, k ∈ Z та t = -arccosa + 2k, k ∈ Z, які легко об’єднати в одну:

t = ±arccos а + 2k, k ∈ Z.   (1)

Рівняння cos t = а, якщо а = -1, а = 0, а = 1, можна не розв’язувати за формулою (1), а знайти його розв’язки за допомогою одиничного кола:

1) cos t = - 1, то t = + 2k, k ∈ Z (мал. 16.2);

2) cos t = 0, TO = + k, k ∈ Z (мал. 16.3);

3) cos t = 1, TO t = 2 k, k ∈ Z (мал. 16.2).

Рівняння cost = 1, cos t = 0, cos t = -1 прийнято ще називати частковими випадками рівняння cos t = а.

Подамо розв’язки рівняння cos t = а у вигляді таблиці:

Задача 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

За формулою (1):

тобто х = ± + 2k, k ∈ Z.

Відповідь.

2) cos х ; оскільки то розв’язків немає.

Відповідь.

3) тоді: x = ±arccos + 2k, k ∈ Z. Значення arcos можна знайти лише наближено (наприклад, за допомогою калькулятора). Для прикладних задач значення

Arcos знаходять наближено: arccos ≈ 1,4274, і розв’язок записують наближено: х ≈ ±1,4274 + 2k, k ∈ Z.

У математиці ж у відповідь прийнято записувати точний розв’язок: х = ±arccos + 2k, k ∈ Z.

Відповідь. ±arccos + 2k, k ∈ Z.

4)

Відповідь.

Рівняння sin t = a.

Якщо a < -1 або a > 1, то рівняння sint = a розв’язків не має, оскільки -1 ≤ sint ≤ 1 для будь-якого значення t. Нехай -1 ≤ а ≤ 1. Тоді рівняння має розв’язки. Проілюструємо розв’язування рівняння sint - а на одиничному колі. За означенням, sint - це ордината точки Pt одиничного кола. Для розв’язання рівняння sint = а треба на одиничному колі знайти такі кути, синус яких дорівнює а, тобто такі точки, ординати яких дорівнюють а. Якщо -1 < а < 1, то таких точок дві (мал. 16.4 і 16.6), кожній з яких відповідає певний кут t1 і t2. Якщо а = 1 або а = -1, то така точка єдина (мал. 16.5).

Мал. 16.4

Мал. 16.5

Мал. 16.6

Маємо, що:

і sint1 = a, тому = arcsina, тоді

t2 - t1 - arcsina. Враховуючи, що функція у = sinx є періодичною з найменшим додатним періодом 2, маємо формули для коренів рівняння sint = а:

t1 = arcsina + 2n, n ∈ Z, і t2 =  - arcsina + 2n, n ∈ Z.

Ці розв’язки рівняння sint = а можна об’єднати в одну формулу:

t = (-1)k arcsina + k, k ∈ Z.   (2)

Дійсно, якщо у формулу (2) підставити парне k, тобто k = 2n, n ∈ Z, матимемо, що t = arcsina + 2пn. Якщо ж підставити непарне k, тобто k = 2n + 1, n ∈ Z, матимемо, що t = - arcsina + 2n, n ∈ Z.

Якщо a = -1, а = 0, а = 1, рівняння sin t = а можна не розв’язувати за формулою (2), а, як і у випадку рівняння cost = а, знайти розв’язки за допомогою одиничного кола. А саме, якщо:

1) sint = -1, то t = - + 2k, k ∈ Z (мал. 16.5);

2) sint = 0, то t = k, k ∈ Z (мал. 16.6);

3) sint = 1, то t = + 2k, k ∈ Z (мал. 16.5).

Рівняння sint =-1, sint = 1, sint = 0 прийнято називати частковими випадками рівняння sint = a.

Подамо розв’язки рівняння sint = а у вигляді таблиці:

Задача 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. 1)

За формулою (2):

 k ∈ Z, тобто х = (-1)k  + k, k ∈ Z.

Відповідь. (-1)k + k, k ∈ Z.

2) тоді: х = (-1)k k ∈ Z, тобто  k ∈ Z. Оскільки то тому

k ∈ Z.

Відповідь.

3) sinx = -1,2; - |1,2| > 1, тому рівняння не має розв’язків.

Відповідь.

4)

Відповідь. + 2k, k ∈ Z.

Рівняння tgt = а.

Оскільки tg t може набувати будь-яких дійсних значень, то рівняння tgt = а має розв’язки для будь-якого а.

Для розв’язування рівняння tg t = а на лінії тангенсів (див. § 9, п. 3) знайдемо такий кут, тангенс якого дорівнює а, тобто точку Dt, ордината якої дорівнює а (мал. 16.7), така точка єдина. Пряма ODt перетинає одиничне коло у точці Рt. Кут t такий, що і tgt = а, тому t = arctga.

Мал. 16.7

Оскільки функція у = tgx періодична з найменшим додатним періодом л, то розв’язками рівняння будуть і всі кути вигляду t + k, k ∈ Z. Отже, маємо формулу коренів рівняння tg t = а:

t = arctga + k, k ∈ Z.   (3)

Задача 4. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Відповідь. - + k, k ∈ Z.

2) 2х = arctg5 + k, k ∈ Z. Поділивши ліву і праву частини рівняння на 2, знайдемо, що  k ∈ Z.

Таку відповідь прийнято записувати у вигляді:

Відповідь.  k ∈ Z.

Рівняння ctgt = а.

Оскільки ctgt може набувати будь-яких дійсних значень, то рівняння ctgt = а має розв’язки для будь-якого а.

Міркуючи, як і у випадку рівняння tgt = а та використовуючи лінію котангенсів (мал. 16.8), отримаємо формулу коренів рівняння ctgt = а:

Мал. 16.8

t = arcctga + k, k ∈ Z.   (4)

Задача 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Відповідь. 1) + k, k ∈ Z.

2) Очевидно, що кут х задано в градусах. Тому, враховуючи, що arcctg(-1) = = 135°; k = 180°k, k ∈ Z, матимемо:

х + 40° = 135° + 180°k;

х = 135° - 40° + 180°k;

х = 95° + 180°k, k ∈ Z.

Відповідь. 95° + 180°k, k ∈ Z.

6. Тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших

За допомогою перетворень тригонометричних виразів розв’язування тригонометричних рівнянь, що не є найпростішими, можна звести до розв’язування найпростіших рівнянь. Розглянемо це на прикладах.

Задача 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

1) Оскільки

маємо:

Відповідь. + 3k, k ∈ Z.

2) Помножимо ліву і праву частини рівняння на 2, матимемо: 2 sin х cos х = -1. Оскільки 2 sin х cos х = sin 2х, отримаємо рівняння: sin2x = -1.

Розв’яжемо його:

Відповідь. - + k, k ∈ Z.

Які рівняння називають тригонометричними? ЩО називають арксинусом числа а; арккосинусом числа а; арктангенсом числа а; арккотангенсом числа а? Запишіть формули для розв’язування рівняння cos t = а у загальному випадку та для часткових випадків. Запишіть формули для розв’язування рівняння sin t = а у загальному випадку та для часткових випадків. Запишіть формулу для розв’язування рівняння tgt = а. Запишіть формулу для розв’язування рівняння ctg t = а.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Чи має корені рівняння (16.1—16.2):

16.1.

16.2.

Знайдіть за допомогою таблиць (с. 146—147) (16.3—16.4):

16.3.

16.4.

Обчисліть (16.5—16.6):

16.5.

16.6.

Знайдіть значення виразу (16.7—16.8):

16.7.

16.8.

Розв’яжіть рівняння (16.9—16.12):

16.9.

16.10.

16.11.

16.12.

Знайдіть усі корені рівняння (16.13—16.16):

16.13.

16.14.

16.15.

16.16.

3

Знайдіть область визначення функції (16.17—16.18):

16.17.

16.18.

Розв’яжіть рівняння (16.19—16.23):

16.19.

16.20.

16.21.

16.22.

16.23.

16.24. Запишіть хоча б одне рівняння, розв’язками якого є числа:

Використовуючи тригонометричні формули, зведіть рівняння до найпростішого і розв’яжіть його (16.25—16.26):

16.25.

16.26.

4

Розв’яжіть рівняння (16.27—16.28):

16.27.

16.28.

16.29. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння:

16.30. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння:

16.31. Знайдіть найменший додатний і найбільший від’ємний корені рівняння

16.32. Розв’яжіть рівняння та знайдіть ті його корені, що належать проміжку

16.33. При яких значеннях а має корені рівняння:

Життєва математика

16.34. Ви хочете орендувати автомобіль на одну добу для поїздки на відстань 400 км. У таблиці наведено характеристики трьох автомобілів та вартість їх оренди. Крім оренди, ви маєте оплатити паливо для автомобіля на всю поїздку. Скільки коштуватиме ця поїздка, якщо ви виберете найдешевший варіант?

Вартість дизельного палива - 20 грн за літр, бензину - 22 грн за літр, газу - 12 грн за літр.

Автомобіль

Паливо

Витрата палива (л на 100 км)

Орендна плата (грн за добу)

А

Дизельне

7

500

Б

Бензин

10

400

В

Газ

14

450

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

16.35. Дано функцію:

1) Знайдіть її область визначення та побудуйте її графік.

2) Чи можна знайти f(2)?

3) Знайдіть за допомогою калькулятора f(1,9), f(1,99), f(1,999) та f(2,001), f(2,01), f(2,1). До якого значення наближаються значення функцій у зазначених точках?

16.36. Для яких з наведених функцій можна знайти f(1), а для яких — ні:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.