Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§18. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ. ПОХІДНІ НАЙПРОСТІШИХ ФУНКЦІЙ

1. Поняття про приріст аргументу і приріст функції

На практиці нас часто цікавить приріст величини, а не її значення.

Приріст величини позначають великою літерою грецького алфавіту ∆ (дельта).

Спочатку розглянемо поняття приросту аргументу. Нехай х0 - деяке фіксоване значення аргументу, а х - деяке довільне його значення.

Різницю х — х0 називають приростом аргументу (незалежної змінної) у точці х0 і позначають ∆x (читають: «дельта ікс»).

Отже, ∆х = х - х0, звідки х = х0 + ∆х.

Зауважимо, що значення ∆х може бути і додатним, і від’ємним. Зрозуміло, що коли ∆х > 0, то х > х0, а коли ∆х < 0, то х < х0 (мал. 18.1).

Розглянемо значення функції f(х) у точках х та х0, тобто f(х) та f(х0). Значення функції f(x) змінилося при переході від точки х0 до точки х на значення ∆f = f(х) - f(х0).

Мал. 18.1

Різницю f(х) - f(х0) називають приростом функції у точці х0 і позначають ∆f (читають: «дельта еф»).

Мал. 18.2

Оскільки х - х0 + ∆х, то ∆f = f(х) - f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0), звідки f(х0 + ∆х) = f(х0) + ∆f (мал. 18.2).

Задача 1. Знайти приріст функції а(х) = 3х - 2 в точці х0 = 1, що відповідає приросту аргументу ∆х = 0,1.

Розв’язання. х0 + ∆х = 1 + 0,1 = 1,1;

f(х0) = f(1) = 31-2 = 1;

f(х0 + ∆х) = f(1,1) = 3 ∙ 1,1 - 2 = 1,3.

Тоді ∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0) = 1,3 - 1 = 0,3.

Відповідь. 0,3.

2. Похідна функції

Для функції поняття похідної є одним з найважливіших понять математичного аналізу. За допомогою похідної можна досліджувати властивості функції, знаходити її найбільше і найменше значення на проміжку тощо. Похідну застосовують у фізиці, економіці, інших науках.

Границю відношення приросту функції ∆f у точці х0 до приросту аргументу ∆х, коли ∆х → 0, називають похідною функції у = f(х) у точці х0.

Похідну позначають так: f'(х0) (читають: «f штрих у точці х0») або так: у’(х0) (читають: «у штрих у точці х0»).

Отже, означення похідної у вигляді формули можна записати так:

Якщо врахувати, що ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0), то

Функцію у = f(х), що має похідну в точці х0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція у = f(х) має похідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що функція диференційовна на цьому проміжку. Дію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Знайти похідну функції f(х) у точці х0 за означенням можна за таким алгоритмом:

знайти приріст функції ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0), що відповідає приросту аргументу ∆х;

2) знайти відношення та спростити його;

3) знайти границю

Задача 2. Знайти похідну функції f(х) = х2 в точці х0 = 7.

Розв’язання. 1) ∆f(х0) = f(х0 + ∆х) - f(х0) = (7 + ∆х)2 - 72 = 49 + 14∆х + ∆х2 - 49 = 14∆х + ∆х2;

Відповідь. f'(7) = 14.

3. Похідні найпростіших функцій

Оскільки для кожного значення х0 значення f'(х0) або єдине або взагалі не існує, будемо розглядати похідну f'(x) як функцію від х.

Для деяких функцій можна знайти формули їх похідних. Це дозволить знаходити похідну функції в точці не за означенням, а за формулою.

Знайдемо формули похідних деяких найпростіших функцій за означенням, замінивши у запропонованому вище алгоритмі х0 на х.

Задача 3. Нехай f(х) = С, де С - число. Тоді за алгоритмом:

Отже, С = 0.

Нехай f(х) = х. Тоді:

Задача 5. Нехай f(x) = x2. Тоді:

Аналогічно можна знайти похідні й інших функцій шкільного курсу математики.

Радимо запам’ятати похідні функцій, які найчастіше використовують в курсі алгебри і початків аналізу:

Зверніть увагу, що похідна функції - це також функція, а похідна функції в точці - це число. Отже, тепер, знаючи формули похідних, похідні функцій у даних точках можна обчислювати простіше, ніж за означенням. Для цього достатньо у формулу похідної підставити дану точку і виконати обчислення.

Задача 6. Дано функцію f(x) = х3. Знайти f'(-1), f(2).

Розв’язання. Відомо, що похідною функції f(x) = х3 є функція f(x) = 3х2. Тоді f’(-1) = 3 ∙ (-1)2 = 3 і f'(2) = 3 ∙ 22 = 12.

Відповідь. f'(-1) = 3; f(2) = 12.

А ще раніше...

Розділ математики, у якому вивчають похідні функцій та їх застосування, називають диференціальним численням. Диференціальне числення сформувалося не так давно, у кінці XVII cм., завдяки Ньютону і Лейбніцу. Вони майже одночасно прийшли до поняття похідної. Ньютон прийшов до цього поняття, розглядаючи питання механіки, зокрема питання миттєвої швидкості, функцію він називав флюентою, а похідну - флюксією, функції позначав літерами х; у; z; u; v; w, їхні похідні - тими самими буквами з крапками над ними: х; у тощо.

Лейбніц прийшов до поняття похідної, виходячи з геометричних задач, а саме, розглядаючи задачу про побудову дотичної до кривої. Замість відомого нам Ах він використовував позначення dx (буква d - перша літера латинського слова differentia - різниця).

І. Ньютон (1643-1727)

І.Ф. Лейбніц (1646-1716)

М.В. Остроградський (1801-1862)

М.П. Кравчук (1892-1942)

Подальший внесок у розвиток диференціального числення зробили, зокрема А. Лопіталь (1661-1704), Л. Ейлер (1707- 1783), О. Коші (1789-1857), К.Ф. Гаус (1777-1855) та українські математики М.В. Петроградський і М.П. Кравчук.

Що називають приростом аргументу і приростом функції в точці х0? Що називають похідною функції у = f(x) в точці х0? а Яку функцію називають диференційовною в точці х0?Укажіть алгоритм знаходження похідної функції за означенням. Укажіть, чому дорівнюють похідні функцій f(х) = С, f(x) = х, f(x) = х2, f(x) = х3, f(x) = , f(x) = .

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1

Знайдіть приріст аргументу ∆х, якщо (18.1—18.2):

18.1. 1) х0 = 2; х = 2,001;   2) х0 = 3; х = 2,9.

18.2. 1) х0 = 5; х = 5,01;   2) х0 = 0; х = -0,001.

Які з похідних знайдено правильно, а які - ні (18.3—18.4):

18.3.

18.4.

2

18.5. Знайдіть приріст функції f(х) у точці х0 для даного приросту аргументу:

1) f(x) = 3х - 4, х0 = 5, ∆х = 0,1;

2) f(х) = х2 + 1, х0 = 2, ∆х = -0,2.

18.6. Знайдіть приріст функції g(x) у точці х0 для даного приросту аргументу:

1) g(x) - 2х + 3, х0 = 1, ∆х = -0,1;

2) g(x) - х2 - 5, х0 = -1, ∆х = 0,2.

18.7. Знайдіть приріст функції g(x) = sinx у точці х0 = 0, якщо:

18.8. Знайдіть приріст функції f(x) = cosx у точці х0 = , якщо:

Використовуючи формулу, знайдіть похідну функції (18.9— 18.10):

18.9.

18.10.

18.11. 1) Запишіть приріст функції f(x) = 2х - 3 в точці х0 через х0 і ∆х.

2) Знайдіть ∆f(х0), якщо х0 = 1; ∆х = 0,5.

3) Накресліть графік функції.

4) Проілюструйте це на малюнку.

18.12. 1) Запишіть приріст функції g(x) = 2 - 3х в точці х0 через х0 і ∆х.

2) Знайдіть ∆g(x0), якщо х0 = 2; ∆х = 0,5.

3) Накресліть графік функції.

4) Проілюструйте це на малюнку.

3

Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f(x) у точці х0 (18.13—18.14):

18.13.

18.14.

18.15. Порівняйте ∆f(х0) і ∆g(x0) у точці х0 = 1 для функцій f(x) = - і g(x) = х2 - 1, якщо ∆х = 0,1.

Складіть і розв’яжіть рівняння (18.16—18.17):

18.16. 1) f'(x) = f(х), якщо f(х) = х3;

2) g'(x) = -4, якщо g(x) = .

18.17. 1) f(х) = f(х), якщо f(х) = x2;

2) g'(x) = 0,125, якщо g(x) = .

18.18. Розв’яжіть нерівність f'(x) ≥ 3(х), якщо f(х) = x2.

18.19. Порівняйте f'(3) і f'(-3), якщо f(х) = x3.

18.20. Порівняйте якщо g(x) = .

4

За означенням похідної знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х0 (18.21-18.22):

18.21.

18.22.

Користуючись означенням, знайдіть формулу похідної функції (18.23-18.24):

18.23. 1) f(х) = 4 - 7х;   2) g(x) = 3х + х2.

18.24. 1) f(x) = 2х + 5;   2) f(х) = х2 - 5х.

18.25. Складіть і розв’яжіть нерівність f'(х) + g'(x) - 5 > 0, якщо f(х) = х2, g(x) = х3.

18.26. Складіть і розв’яжіть рівняння |f'(х)| = f(х), якщо f(х) = х2.

Життєва математика

18.27. Придбавши товар, ви сплатили 50 грн податку на додану вартість (ПДВ). Знайдіть вартість товару, якщо ставка ПДВ складає 20 % від вартості товару.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

18.28. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої:

18.29. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку К(-1; 4) паралельно осі абсцис.

18.30. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку М(2; -1) і має кутовий коефіцієнт:

1) 3;   2) -7;   3) 0;   4) 0,5.

18.31. Знайдіть кут, який утворює з додатним напрямом осі абсцис пряма:

1) у = х + 2;   2) у = 7 - х; 3) у = 5;   4) у = х?

18.32. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку L(2; -3) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 45°;   2) 120°.

18.33. Серед даних прямих укажіть пари паралельних прямих:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.