Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§19. ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Розглянемо деякі задачі, що приводять до поняття похідної.

1. Середня та миттєва швидкості руху точки вздовж прямої

Нехай точка рухається вздовж прямої, і відомо її координату x(t) у момент часу t. За інтервал часу від t0 до t = t0 + ∆t точка подолає відстань x(t0 + ∆t) - x(t0). Тоді середня швидкість руху за цей час визначається формулою

Зауважимо, що якщо ∆t < 0, то розглядаємо інтервал часу від t0 + ∆t до t0, а відповідна відстань у цьому разі дорівнює х(t0) - х(t0 + ∆t). Тоді

Отже, в обох випадках середня швидкість точки, що рухається вздовж прямої, дорівнюватиме

У кожний момент часу точка рухається з певною швидкістю. Як знайти миттєву швидкість руху в момент часу t0? Природно припустити, що якщо ∆t досить мале, то за цей інтервал часу швидкість практично не зміниться, тобто середня швидкість за цей момент часу практично не відрізнятиметься від миттєвої швидкості vмит(t0). Тому спосіб знаходження миттєвої швидкості полягає в тому, щоб знайти спочатку середню швидкість vc(∆t) і далі її границю за умови, що ∆t → 0. Отже,

Права частина останньої рівності є, за означенням, похідною функції x(t) у точці t0, тобто

Маємо:

миттєва швидкість v(t) визначена для будь-якої диференційовної функції x(t) і при цьому

v(t) = x'(t),

або коротко:

похідна від координати за часом є швидкістю.

У цьому полягає фізичний зміст похідної.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що

похідна від швидкості за часом є прискоренням.

Задача 1. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = t2 (х вимірюється в метрах, t - у секундах). Знайти швидкість точки в момент часу t - 5 с.

Розв’язання. Оскільки v(t) = x'(t), то v(t) = x'(t) = (t2)' = 2t. Тоді v(5) = 2 ∙ 5 = 10 (м/с).

Відповідь. 10 м/с.

2. Дотична до графіка функції

Розглянемо графік функції у = f(х). Пряму с, яка проходить через будь- які дві точки графіка функції f(х), називають січною цього графіка (мал. 19.1). З курсу геометрії відомо, що кутовий коефіцієнт k прямої, яка проходить через точки А(х0; y0) і В(х; у), дорівнює Знаючи поняття приросту функції та приросту аргументу, це можна записати так:

Дотичною в точці (х0; у0) до графіка функції у = f(х) називають граничне положення січної, що проходить через цю точку, коли ∆х → О (мал. 19.1).

Мал. 19.1

На малюнку 19.1 пряма m - дотична до графіка функції у = f(х), проведена в точці А. Для прямої m маємо:

Оскільки то k = f'(x0). Отже,

кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x), проведеної в точці з абсцисою х0, дорівнює похідній функції у цій точці:

k = f (х0).

У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Оскільки f'(x0) = k = tg φ, де φ - кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі абсцис, то коли f'(x0) > 0, кут φ - гострий; коли f'(х0) - 0, то φ = 0°, тобто дотична паралельна осі абсцис (або збігається з нею); коли f(x0) < 0, кут φ - тупий.

Задача 2. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(x) = х3, у точці з абсцисою х0 = -2.

Розв’язання. f(x) = (х3)' = 3х2, тоді k = f(-2) = 3 ∙ (-2)2 = 12.

Відповідь. k = 12.

Задача 3. Знайти тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції а(х) = , яка проведена в точці А(4; 2).

Розв’язання. Маємо:

Тоді

Відповідь. 0,25.

3. Рівняння дотичної до графіка функції

Нехай рівняння прямої, що є дотичною до графіка функції у = f(х) у точці А(х0; f(х0)), має вигляд у = kx + l. Оскільки k = f'(x0), то воно набуває вигляду: у = f'(х0) ∙ х + 1.

Оскільки дотична проходить через точку А(х0; f(х0)), то координати цієї точки задовольняють рівняння дотичної, тобто f(x0) = f'(x0) ∙ х0 + l, звідки l = f(х0) - f(x0) ∙ х0.

Отже, підставимо знайдені вирази для k і l в рівняння дотичної:

y = f'(x0) ∙ x + f(х0) - f'(х0) ∙ х0, тобто

y = f(x0) + f(x0)(x - x0).

Отримали рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0.

Задача 4. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(х) = в точці з абсцисою х0 = -4.

Розв’язання. Маємо: f(х0) = f(-4) =-; f'(x0) = f'(- 4)=-.

Підставимо отримані значення в рівняння дотичної:

Спростивши вираз у цьому рівнянні, матимемо:

Відповідь.

A ще раніше...

Нагадаємо, що Ньютон прийшов до поняття похідної, розглядаючи питання механіки, зокрема, миттєвої швидкості, а Лейбніц - виходячи з геометричних задач, а саме, задачі про побудову дотичної до кривої.

Однак питання побудови дотичних до кривих цікавило математиків задовго до Лейбніца. Так, наприклад, Евклід в «Началах» дав спосіб побудови дотичної до кола, Архімед побудував дотичну до спіралі, яку названо на його честь, Аполоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Однак стародавні вчені так і не розв’язали задачу про побудову дотичної до довільної кривої в будь-якій її точці.

Із самого початку XVII століття багато вчених намагалися вирішити цю проблему, зокрема Торрічеллі, Вівіані, Робервалъ, Барроу, однак першим загальний метод побудови дотичних запропонував Лейбніц у 1684 році.

Як знайти миттєву швидкість точки, що рухається за законом х = x(t)? У чому полягає фізичний зміст похідної? Що називають дотичною до графіка функції у = f(х) в точці х0? У чому полягає геометричний зміст похідної? Запам’ятайте рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х0.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

19.1. (Усно). Відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 дорівнює 0,4. Чому дорівнює значення похідної функції у = f(x) у цій точці?

19.2. Відомо, що f'(3) = 5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), проведеної у точці з абсцисою х0 = 3.

19.3. Відомо, що f'(4) = 1. Знайдіть:

1) кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що проведена в точці з абсцисою х0 = 4;

2) кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі абсцис.

19.4. Дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°. Знайдіть f'(x0).

2

19.5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) = у точці з абсцисою х0 = -1.

19.6. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) = у точці з абсцисою х0 = 0,25.

19.7. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(x) = х2 у точці з абсцисою х0 = -2.

19.8. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = х3 у точці з абсцисою х0 = -1.

19.9. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = t3 (t вимірюється у секундах; х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:

1) t = 2 с; 2) t = 3 с.

19.10. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t) = t2 (t вимірюється у секундах; х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:

1) t = 4 с; 2) t = 10 с.

19.11. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х0 = 1.

19.12. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х0 = 1.

19.13. На графіку функції f(х) = х2 знайдіть точку, у якій дотична до цього графіка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.

19.14. На графіку функції f(x) = знайдіть точку, у якій дотична до цього графіка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.

19.15. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = . У який момент часу t (t > 0) швидкість точки буде дорівнювати - м/с, якщо t вимірюється в секундах, х - у метрах?

19.16. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = t3 (t вимірюється в секундах, х - у метрах). У який момент часу t (t > 0) швидкість точки буде дорівнювати 48 м/с?

19.17. Знайдіть точки, у яких дотична до графіка функції f(x) = х3 паралельна прямій у = 12х - 17.

19.18. Знайдіть точки, у яких дотична до графіка функції f(x) = паралельна прямій у = 8 - x.

19.19. Одна з матеріальних точок рухається прямолінійно за законом x(t) - t2, а інша - за законом х(t) = t3 (t вимірюється в секундах; х - у метрах). У який момент часу t (t > 0) їх швидкості будуть однаковими?

4

19.20. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = , яка паралельна прямій у = х + 5.

19.21. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х2, яка паралельна прямій у = -2х + 7.

19.22. Дано функцію f(х) = .

1) Складіть рівняння дотичної до її графіка у точці з абсцисою х0 = -1.

2) Виконайте малюнок.

3) Знайдіть площу трикутника, обмеженого відрізками дотичної й осей координат.

19.23. Дано функцію f(х) = х3.

1) Складіть рівняння дотичної до її графіка у точці з абсцисою х0 = -1.

2) Виконайте малюнок.

3) Знайдіть площу трикутника, обмеженого відрізками дотичної й осей координат.

19.24. У якій точці перетинаються дотичні до параболи у = х2, проведені в точках з абсцисами х0 = -2 і х0 = 1?

Життєва математика

19.25. Ставка податку на доходи фізичних осіб (зарплату) у 2015 році становила 15 % для зарплати розміром до 12 180 грн плюс 20 % від суми, що перевищувала 12 180 грн. Із 2016 р. ця ставка становить 18 % без обмежень. Директорка підприємства у 2015 році отримувала зарплату 13 000 грн на місяць, а в 2016 році - 15 000 грн на місяць; старший менеджер у 2015 році отримував зарплату 9000 грн на місяць, а у 2016 році - 10 000 грн на місяць. На яку суму змінився щомісячний податок кожного з них у порівнянні з 2015 роком?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

19.26. Подайте вираз у вигляді степеня з основою х:

19.27. Дано функцію f(x) = sin х - cos х. Знайдіть:









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.