ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§20. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ

У цьому параграфі розглянемо основні правила диференціювання та похідні степеневих і тригонометричних функцій. Для спрощення записів замість u(x), u'(x), v(x), v'(x) тощо писатимемо u, u', v, v' тощо.

1. Основні правила диференціювання

Нехай функції u і v диференційовні в точці х. Тоді їх сума і різниця теж диференційовні в точці x.

Правило 1. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних (u ± а)' = u' ± v'.

Доведення. Нехай f = u + v. Тоді:

Аналогічно можна довести, що (u - v)' = u’ - v'.

Отже, (u ± v)' - u' ± u'.

Наслідок. Похідна суми трьох і більше доданків дорівнює сумі похідних:

(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n)' = u₁' + u₂' + u₃' + ... + u_n'.

Приклад 1. 1) (х³ + 5)' = (х³)' + 5' = 3х² + 0 = 3х²;

Розглянемо правило диференціюваня добутку.

Правило 2. (uv)' = u'v + v'u.

Доведення не наводимо, оскільки воно є доволі складним.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак похідної (Сu)' = Сu', де С - стала.

Приклад 2. 1) (5х³)' = 5 ∙ (х³)' = 5 ∙ 3х² = 15х²;

Розглянемо правило диференціювання частки і доведемо його.

Правило 3.

Доведення. Відступимо від алгоритму, який ми використали під час доведення правила 1, і доведемо в інший спосіб.

Нехай f = , тоді u = fv, тому u' = f'v + v'f. Звідси виразимо f:

f'v = u' - v'f, тобто

Зауважимо, що довести можна було й у той самий спосіб, яким доведено правило 1.

Приклад 3.

2. Похідна степеневої функції

Ми знаємо, що: х' = 1 = 1 ∙ х⁰;

(х²)' = 2х = 2x¹;

(x³)' = 3х².

За формулою похідної добутку:

(х⁴)' = (х³х)' = (х³)'х + х'х³ = 3х²х + 1 ∙ х³ = Зх³ + х³ = 4х³.

Аналогічно:

(х⁵)' = (х⁴х)' = (х⁴)'х + х'х⁴ = 4х³х + 1 ∙ х⁴ = 4х⁴ + х⁴ = 5х⁴.

Неважко помітити закономірність, що для натурального n:

(хⁿ)' = nх^n-1.

Приймемо цей факт без доведення.

Нехай тепер f(х) = хⁿ, де n - ціле від’ємне число. Тоді (-n) - число натуральне. Маємо:

Отже, у цьому випадку також (хⁿ)' = nх^n-1. Маємо:

для будь-якого цілого n і будь-якого х (х ≠ 0 при n < 1):

(хⁿ)' = nх^n-1.

Похідну степеневої функції з дробовим показником знаходять за цією самою формулою.

Приклад 4. (5х¹³ - 2х³ + 5)' = (5х¹³)' - (2х³)' + 5' = 5 ∙ (х¹³)' - 2 ∙ (х³)' + 0 = 5 ∙ 13х¹² - 2 ∙ 3х² = 65х¹² - 6х².

Задача 1. Знайти похідну функції у точці х₀ = -1.

Розв’язання. Оскільки то f(x) = 2х^-3.

Тоді f(x) = (2х^-3)' = 2(х-³)' = 2 ∙ (-3^)-3-1 = -6х^-4 =

Маємо:

Відповідь. f'(-1) = -6.

3. Похідні тригонометричних функцій

Приймемо без доведення, що

Використаємо його для доведення формули похідної синуса.

Теорема 1 (похідна синуса). Для х ∈ R маємо:

(sin х)' = cos x.

Доведення. Нехай f(x) = sinx. Тоді:

Якщо ∆х → 0, то й а тому  

Отже, (sinx)' = cosx.

Теорема 2 (похідна косинуса). Для х ∈ R маємо:

(cosx)' = -sinx.

Доведення аналогічне до доведення теореми 1.

Теорема 3 (похідна тангенса). Для будь-якого з області визначення тангенса

Доведення. Ураховуючи, що за формулою поxідної частки маємо:

Отже,

Теорема 4 (похідна котангенса). Для будь-якого з області визначення котангенса

Доведення аналогічне доведенню теореми 3.

Приклад 5.

Задача 2. Для функції f(x) = 3cosx - 5ctgx знайти

Розв’язання. f'(x) = 3(cosx)' - 5(ctgx)' =

Відповідь. 2.

Задача 3. Розв’язати рівняння f'(x) = 0, де f(x) = cosx + x.

Розв’язання. 1) f'(x) = (cosx + x)' = (cosx)' + x' = -sinx + 1.

2) Маємо рівняння: -sinx + 1 = 0; sinx = 1; x = + 2k, k ∈ Z.

Відповідь. + 2k, k ∈ Z.

4. Таблиця похідних

Систематизуємо дані про похідні функцій у таблицю, яку прийнято називати таблицею похідних.

Чому дорівнює похідна суми, різниці, добутку, частки двох функцій? Чому дорівнює похідна функції Сu, де С - стала? Чому дорівнює похідна функції f(х) = хⁿ, де n - ціле число? Вивчіть таблицю похідних та правила диференціювання.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Знайдіть похідну функції (20.1—20.10):

20.1. 1) f(х) = х⁷;   2) g(x) = sinx;

3) t(х) = х⁹;   4) φ(х) = х-⁴.

20.2. 1) f(х) = cosx;   2) р(х) = х⁵;

3) ψ(х) = х^-7;   4) t(х) = х¹¹.

20.3. 1) m(х) = 5х;   2) f(х) = Зх⁶;

3) φ(х) = 2ctgx;   4) ψ(х) = 3х^-2.

20.4. 1) g(x) = 7х;   2) φ(х) = 3tgx;

3) f(х) = 5х²;   4) ψ(х) = 5х-³.

20.5. 1) φ(х) = cosx - х⁸;   2) f(х) = х³ + х¹⁷.

20.6. 1) g(x) = х⁴ + sinx;   2) φ(х) = х¹⁰ - 1.

2

20.7.

20.8.

20.9. 1) f(x) = 3х² - 7x³ + 3;   2) g(x) = 2sinx - 4x⁵ + .

20.10. 1) f(x) = 2x11 - 3cosx + 7;   2) g(x) = 5x⁷ + - x.

20.11. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х₀:

20.12. Знайдіть значення похідної функції g(x) у точці х₀:

Знайдіть похідну функції (20.13—20.16):

20.13. 1) f(х) = x³;   2) g(x) = x⁴sinx.

20.14. 1) g(x) = ∙ x⁵;   2) f(x) = x²cosx.

20.15.

20.16.

20.17. Знайдіть похідну функції у точках х₀ = 1; х₀ = 9; х₀ = 25.

20.18. Знайдіть похідну функції g(x) - 2х + у точках х₀ = 1; х₀ = 16; х₀ = 100.

20.19. Знайдіть похідну функції g(x) = sinx + cosx у точках х₀ = 0; х₀ = .

20.20. Знайдіть похідну функції f(х) = cosx - sinx у точках х₀ = ; X₀ = .

20.21. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = 3х² - 4х у точці з абсцисою х₀ = 2.

20.22. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) = 5х - 7х² у точці з абсцисою х₀ = 0.

20.23. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) =  t³ - 10t (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:

1) t = 2 с; 2) t = 6 с.

20.24. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) - 5t -  t³ (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:

1) t = 1 с; 2) t = 3 с.

20.25. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, де:

1) f(х) = cosx;   2) f(x) - х² - 6х.

20.26. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, де:

1) g(x) = sinx;   2) g(x) = 8х + х².

20.27. Розв’яжіть нерівність g'(x) > 0, якщо g(x) = 4х + х².

20.28. Розв’яжіть нерівність f'(x) ≤ 0, якщо f(х) = х² - 10х.

3

Знайдіть похідну функції (20.29—20.30):

20.29. 1) f(x) = (3х² + 7)(2х - 5);   2) g(х) = (3x² + 4х).

20.30. 1) f(х) = (5х² - 9)(3х + 4);   2) g(х) = (3х - 5x²).

20.31. Обчисліть похідну функції f(х) = (44х - 3)(х² + 7) у точці х₀ = 1.

20.32. Обчисліть похідну функції f(х) = (2 + 6)(х² - 3) у точці х₀ = 1.

Знайдіть похідну функцій (20.33—20.34):

20.33.

20.34.

20.35. Знайдіть значення похідної функції  y точках х₀ = 2; 0.

20.36. Знайдіть значення похідної функції у точках х₀ = 0; -2.

20.37. Розв’яжіть рівняння f'(х) = 0 та нерівність f'(х) < 0, якщо:

20.38. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0 та нерівність g'(x) > 0, якщо:

20.39. Розв’яжіть рівняння g’(x) = 0, якщо:

20.40. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо:

20.41. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 3t² - 12t + 7 (х вимірюється в метрах, t - у секундах):

1) У який момент часу швидкість точки дорівнюватиме 18 м/с?

2) У який момент часу точка зупиниться?

20.42. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = 2t² - 16t + 3 (х вимірюється в метрах, t - у секундах):

1) У який момент часу швидкість тіла дорівнюватиме 12 м/с?

2) У який момент часу тіло зупиниться?

20.43. На графіку функції f(x) = х² - 3х + 7 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.

20.44. На графіку функції g(x) = 5х + х² - 9 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.

20.45. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо

20.46. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо f(x) = + cos x.

20.47. Дано функцію Доведіть, що f'(x) > 0 для всіх допустимих значень х.

20.48. Знайдіть абсциси тих точок графіка функції f(x) = х³ + 2х² - 7х + 5, у яких дотична паралельна осі абсцис.

20.49. Знайдіть абсциси точок графіка функції у яких дотична паралельна прямій у = 2х - 7.

20.50. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(x) = х² - 4х + 5 в точці з абсцисою х₀ = 1.

20.51. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = х² + 2х - 3 у точці з абсцисою х₀ = 0.

20.52. Складіть і розв’яжіть рівняння f'(x) = f'(6), якщо

20.53. Дано функції f(x) = 4cosx і g(x) = 2х + 9. Розв’яжіть рівняння f'(х) = g'(x).

20.54. Дано функції f(x) = 2sinx і g(x) = х + 11. Розв’яжіть рівняння f'(x) = g'(x).

20.55. Знайдіть похідну функції у точці х₀ = .

20.56. Знайдіть похідну функції у точці х₀ = .

4

20.57. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = х² - 3х + 7, яка паралельна прямій у = 5х - 17.

20.58. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(x) = х² + 4х - 6, яка паралельна прямій у = 6х - 7.

20.59. Складіть і розв’яжіть рівняння якщо f(х) = -х² - x - 1.

20.60. Складіть і розв’яжіть рівняння якщо f(х) = х² + х + 2.

20.61. На синусоїді у = sinx узято точки з абсцисами х₁ = 0 і x₂ = . Через ці точки проведено січну. У якій точці з абсцисою слід провести дотичну, щоб вона була

паралельною січній?

20.62. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо f(х) = tgx - 2х.

20.63. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо g(x) = 2х + ctgx.

20.64. До графіка функції складіть рівняння дотичної, яка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°.

Життєва математика

20.65. Сашко і Павло разом можуть пофарбувати паркан за 9 годин, Павло і Ігор разом - за 12 годин, а Сашко і Ігор - за 18 годин. За скільки годин хлопчики пофарбують цей паркан, працюючи втрьох із тією самою продуктивністю праці?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

20.66. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції, попередньо схематично накресливши її графік:

20.67. Функцію у = f(x) задано на проміжку [-6; 6] (мал. 20.1). Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції f(x).

Мал. 20.1