Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік
ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА
РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§20. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ
У цьому параграфі розглянемо основні правила диференціювання та похідні степеневих і тригонометричних функцій. Для спрощення записів замість u(x), u'(x), v(x), v'(x) тощо писатимемо u, u', v, v' тощо.
1. Основні правила диференціювання
Нехай функції u і v диференційовні в точці х. Тоді їх сума і різниця теж диференційовні в точці x.
Правило 1. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних (u ± а)' = u' ± v'.
Доведення. Нехай f = u + v. Тоді:
Аналогічно можна довести, що (u - v)' = u’ - v'.
Отже, (u ± v)' - u' ± u'.
Наслідок. Похідна суми трьох і більше доданків дорівнює сумі похідних:
(u1 + u2 + u3 + … + un)' = u1' + u2' + u3' + … + un'.
Приклад 1. 1) (х3 + 5)' = (х3)' + 5' = 3х2 + 0 = 3х2;
Розглянемо правило диференціюваня добутку.
Правило 2. (uv)' = u'v + v'u.
Доведення не наводимо, оскільки воно є доволі складним.
Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак похідної (Сu)' = Сu', де С - стала.
Приклад 2. 1) (5х3)' = 5 ∙ (х3)' = 5 ∙ 3х2 = 15х2;
Розглянемо правило диференціювання частки і доведемо його.
Правило 3.
Доведення. Відступимо від алгоритму, який ми використали під час доведення правила 1, і доведемо в інший спосіб.
Нехай f = , тоді u = fv, тому u' = f'v + v'f. Звідси виразимо f:
f'v = u' - v'f, тобто
Зауважимо, що довести можна було й у той самий спосіб, яким доведено правило 1.
Приклад 3.
2. Похідна степеневої функції
Ми знаємо, що: х' = 1 = 1 ∙ х0;
(х2)' = 2х = 2x1;
(x3)' = 3х2.
За формулою похідної добутку:
(х4)' = (х3х)' = (х3)'х + х'х3 = 3х2х + 1 ∙ х3 = Зх3 + х3 = 4х3.
Аналогічно:
(х5)' = (х4х)' = (х4)'х + х'х4 = 4х3х + 1 ∙ х4 = 4х4 + х4 = 5х4.
Неважко помітити закономірність, що для натурального n:
(хn)' = nхn-1.
Приймемо цей факт без доведення.
Нехай тепер f(х) = хn, де n - ціле від’ємне число. Тоді (-n) - число натуральне. Маємо:
Отже, у цьому випадку також (хn)' = nхn-1. Маємо:
для будь-якого цілого n і будь-якого х (х ≠ 0 при n < 1):
(хn)' = nхn-1.
Похідну степеневої функції з дробовим показником знаходять за цією самою формулою.
Приклад 4. (5х13 - 2х3 + 5)' = (5х13)' - (2х3)' + 5' = 5 ∙ (х13)' - 2 ∙ (х3)' + 0 = 5 ∙ 13х12 - 2 ∙ 3х2 = 65х12 - 6х2.
Задача 1. Знайти похідну функції у точці х0 = -1.
Розв’язання. Оскільки то f(x) = 2х-3.
Тоді f(x) = (2х-3)' = 2(х-3)' = 2 ∙ (-3)-3-1 = -6х-4 =
Маємо:
Відповідь. f'(-1) = -6.
3. Похідні тригонометричних функцій
Приймемо без доведення, що
Використаємо його для доведення формули похідної синуса.
Теорема 1 (похідна синуса). Для х ∈ R маємо:
(sin х)' = cos x.
Доведення. Нехай f(x) = sinx. Тоді:
Якщо ∆х → 0, то й а тому
Отже, (sinx)' = cosx.
Теорема 2 (похідна косинуса). Для х ∈ R маємо:
(cosx)' = -sinx.
Доведення аналогічне до доведення теореми 1.
Теорема 3 (похідна тангенса). Для будь-якого з області визначення тангенса
Доведення. Ураховуючи, що за формулою поxідної частки маємо:
Отже,
Теорема 4 (похідна котангенса). Для будь-якого з області визначення котангенса
Доведення аналогічне доведенню теореми 3.
Приклад 5.
Задача 2. Для функції f(x) = 3cosx - 5ctgx знайти
Розв’язання. f'(x) = 3(cosx)' - 5(ctgx)' =
Відповідь. 2.
Задача 3. Розв’язати рівняння f'(x) = 0, де f(x) = cosx + x.
Розв’язання. 1) f'(x) = (cosx + x)' = (cosx)' + x' = -sinx + 1.
2) Маємо рівняння: -sinx + 1 = 0; sinx = 1; x = + 2
k, k ∈ Z.
Відповідь. + 2
k, k ∈ Z.
4. Таблиця похідних
Систематизуємо дані про похідні функцій у таблицю, яку прийнято називати таблицею похідних.
Чому дорівнює похідна суми, різниці, добутку, частки двох функцій? Чому дорівнює похідна функції Сu, де С - стала? Чому дорівнює похідна функції f(х) = хn, де n - ціле число? Вивчіть таблицю похідних та правила диференціювання.
Розв'яжіть задачі та виконайте вправи
1
Знайдіть похідну функції (20.1—20.10):
20.1. 1) f(х) = х7; 2) g(x) = sinx;
3) t(х) = х9; 4) φ(х) = х-4.
20.2. 1) f(х) = cosx; 2) р(х) = х5;
3) ψ(х) = х-7; 4) t(х) = х11.
20.3. 1) m(х) = 5х; 2) f(х) = Зх6;
3) φ(х) = 2ctgx; 4) ψ(х) = 3х-2.
20.4. 1) g(x) = 7х; 2) φ(х) = 3tgx;
3) f(х) = 5х2; 4) ψ(х) = 5х-3.
20.5. 1) φ(х) = cosx - х8; 2) f(х) = х3 + х17.
20.6. 1) g(x) = х4 + sinx; 2) φ(х) = х10 - 1.
2
20.7.
20.8.
20.9. 1) f(x) = 3х2 - 7x3 + 3; 2) g(x) = 2sinx - 4x5 + .
20.10. 1) f(x) = 2x11 - 3cosx + 7; 2) g(x) = 5x7 + - x.
20.11. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х0:
20.12. Знайдіть значення похідної функції g(x) у точці х0:
Знайдіть похідну функції (20.13—20.16):
20.13. 1) f(х) = x3; 2) g(x) = x4sinx.
20.14. 1) g(x) = ∙ x5; 2) f(x) = x2cosx.
20.15.
20.16.
20.17. Знайдіть похідну функції у точках х0 = 1; х0 = 9; х0 = 25.
20.18. Знайдіть похідну функції g(x) - 2х + у точках х0 = 1; х0 = 16; х0 = 100.
20.19. Знайдіть похідну функції g(x) = sinx + cosx у точках х0 = 0; х0 = .
20.20. Знайдіть похідну функції f(х) = cosx - sinx у точках х0 = ; X0 =
.
20.21. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = 3х2 - 4х у точці з абсцисою х0 = 2.
20.22. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) = 5х - 7х2 у точці з абсцисою х0 = 0.
20.23. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = t3 - 10t (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:
1) t = 2 с; 2) t = 6 с.
20.24. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) - 5t - t3 (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу:
1) t = 1 с; 2) t = 3 с.
20.25. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, де:
1) f(х) = cosx; 2) f(x) - х2 - 6х.
20.26. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, де:
1) g(x) = sinx; 2) g(x) = 8х + х2.
20.27. Розв’яжіть нерівність g'(x) > 0, якщо g(x) = 4х + х2.
20.28. Розв’яжіть нерівність f'(x) ≤ 0, якщо f(х) = х2 - 10х.
3
Знайдіть похідну функції (20.29—20.30):
20.29. 1) f(x) = (3х2 + 7)(2х - 5); 2) g(х) = (3x2 + 4х).
20.30. 1) f(х) = (5х2 - 9)(3х + 4); 2) g(х) = (3х - 5x2).
20.31. Обчисліть похідну функції f(х) = (44х - 3)(х2 + 7) у точці х0 = 1.
20.32. Обчисліть похідну функції f(х) = (2 + 6)(х2 - 3) у точці х0 = 1.
Знайдіть похідну функцій (20.33—20.34):
20.33.
20.34.
20.35. Знайдіть значення похідної функції y точках х0 = 2; 0.
20.36. Знайдіть значення похідної функції у точках х0 = 0; -2.
20.37. Розв’яжіть рівняння f'(х) = 0 та нерівність f'(х) < 0, якщо:
20.38. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0 та нерівність g'(x) > 0, якщо:
20.39. Розв’яжіть рівняння g’(x) = 0, якщо:
20.40. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо:
20.41. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 3t2 - 12t + 7 (х вимірюється в метрах, t - у секундах):
1) У який момент часу швидкість точки дорівнюватиме 18 м/с?
2) У який момент часу точка зупиниться?
20.42. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = 2t2 - 16t + 3 (х вимірюється в метрах, t - у секундах):
1) У який момент часу швидкість тіла дорівнюватиме 12 м/с?
2) У який момент часу тіло зупиниться?
20.43. На графіку функції f(x) = х2 - 3х + 7 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.
20.44. На графіку функції g(x) = 5х + х2 - 9 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.
20.45. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо
20.46. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо f(x) = + cos x.
20.47. Дано функцію Доведіть, що f'(x) > 0 для всіх допустимих значень х.
20.48. Знайдіть абсциси тих точок графіка функції f(x) = х3 + 2х2 - 7х + 5, у яких дотична паралельна осі абсцис.
20.49. Знайдіть абсциси точок графіка функції у яких дотична паралельна прямій у = 2х - 7.
20.50. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(x) = х2 - 4х + 5 в точці з абсцисою х0 = 1.
20.51. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = х2 + 2х - 3 у точці з абсцисою х0 = 0.
20.52. Складіть і розв’яжіть рівняння f'(x) = f'(6), якщо
20.53. Дано функції f(x) = 4cosx і g(x) = 2х + 9. Розв’яжіть рівняння f'(х) = g'(x).
20.54. Дано функції f(x) = 2sinx і g(x) = х + 11. Розв’яжіть рівняння f'(x) = g'(x).
20.55. Знайдіть похідну функції у точці х0 =
.
20.56. Знайдіть похідну функції у точці х0 =
.
4
20.57. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = х2 - 3х + 7, яка паралельна прямій у = 5х - 17.
20.58. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(x) = х2 + 4х - 6, яка паралельна прямій у = 6х - 7.
20.59. Складіть і розв’яжіть рівняння якщо f(х) = -х2 - x - 1.
20.60. Складіть і розв’яжіть рівняння якщо f(х) = х2 + х + 2.
20.61. На синусоїді у = sinx узято точки з абсцисами х1 = 0 і x2 = . Через ці точки проведено січну. У якій точці з абсцисою
слід провести дотичну, щоб вона була
паралельною січній?
20.62. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо f(х) = tgx - 2х.
20.63. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо g(x) = 2х + ctgx.
20.64. До графіка функції складіть рівняння дотичної, яка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°.
Життєва математика
20.65. Сашко і Павло разом можуть пофарбувати паркан за 9 годин, Павло і Ігор разом - за 12 годин, а Сашко і Ігор - за 18 годин. За скільки годин хлопчики пофарбують цей паркан, працюючи втрьох із тією самою продуктивністю праці?
Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
20.66. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції, попередньо схематично накресливши її графік:
20.67. Функцію у = f(x) задано на проміжку [-6; 6] (мал. 20.1). Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції f(x).
Мал. 20.1