Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§21. ОЗНАКИ СТАЛОСТІ, ЗРОСТАННЯ ТА СПАДАННЯ ФУНКЦІЇ

З усіх способів задання функції найбільш наочним є графічний. У попередніх класах ми навчилися «читати» графіки, тобто визначати властивості функції за її графіком.

За допомогою похідної можна розв’язати й обернену задачу: побудувати графік функції, знаючи її властивості.

Одне з основних завдань під час дослідження функції і побудови її графіка - це знаходження проміжків зростання, спадання та сталості функції. Таке дослідження можна провести за допомогою похідної.

Нагадаємо, що

функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції;

функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.

Проміжки, на яких функція зростає чи спадає, ще називають проміжками монотонності.

На малюнку 21.1 зображено зростаючу на проміжку (а; b) функцію у = f(x). У якій би точці цього проміжку ми не провели дотичну до графіка функції, кут а, який вона утворюватиме з додатним напрямом осі абсцис, буде гострим. Оскільки а - гострий, то tga > 0. Але tga = f'(x0), де x0 - абсциса точки дотику, тому для будь-якої точки х0 ∈ (а; b) справджується умова f'(x0) > 0.

Мал. 21.1

Мал. 21.2

На малюнку 21.2 зображено графік спадної на проміжку (а; b) функції у = f(x). У кожній точці цього проміжку дотична до графіка функції утворюватиме з додатним напрямом осі абсцис кут а, що є тупим. Оскільки а - тупий, то tga < 0 і тому f'(x0) < 0 для кожної точки x0 ∈ (а; b).

Отже, знаючи, зростає чи спадає функція на певному проміжку, можна визначити знак похідної на цьому проміжку. А можна і навпаки, за знаком похідної функції на проміжку визначити, зростає ця функція, спадає чи є сталою на цьому проміжку.

Теорема 1 (ознака сталості функції). Функція у = f(x) є сталою на проміжку (a; b) тоді і тільки тоді, коли f'(x) = 0 для кожного х із цього проміжку.

Теорема 2 (ознака зростання, спадання функції). Якщо f'(x) > 0 в кожній точці проміжку (a; b), то функція у = f(x) зростає на (a; b). Якщо f'(x) < 0 в кожній точці проміжку (а; b), то функція у = f(x) спадає на (а; b).

Строгі доведення цих теорем є досить громіздкими, тому ми їх не наводимо. Зауважимо лише, що теорему 1 ще називають необхідною і достатньою умовою сталості функції, а теорему 2 - достатньою умовою зростання або спадання функції.

Задача 1. Знайти проміжки зростання і спадання функції:

1) f(x) = х3 + 2х;   2) f(х) = cosx - 1,5х.

Розв’язання. 1) За теоремою 2, щоб знайти проміжки зростання функції, треба розв’язати нерівність f'(x) > 0. Маємо: f'(x) - 3х2 + 2. Оскільки 3х2 + 2 > 0 для всіх значень х, то f’(x) > 0 для всіх значень х. Отже, функція f(х) = х3 + 2х зростає на всій області визначення, тобто на R.

2) Маємо: f'(х) = -sinx - 1,5. Але -1 ≤ -sinx ≤ 1, тому -sinx - 1,5 < 0 для всіх значень х, тобто f'(x) < 0 для всіх значень х. Отже, функція f(х) = cosx - 1,5х спадає на всій області визначення, тобто на R.

Відповідь. 1) Зростає на R; 2) спадає на R.

На малюнку 21.3 схематично зображено графік функції У = х2.

Оскільки у' = 2х, то у' > 0, коли 2х > 0, тобто при х > 0, і у' < 0, коли 2х < 0, тобто при х < 0. Отже, на (-∞; 0) функція спадає, на (0; +∞) функція зростає, що підтверджується графіком. У точці х = 0, що розділяє два проміжки, на одному з яких функція спадає, а на іншому зростає, похідна дорівнює нулю: у’(0) = 0.

Мал. 21.3

На малюнку 21.4 схематично зображено графік функції

Оскільки у' = 6 ∙ (х-2) = 6 ∙ (-2) ∙ х-3 = то у' > 0, коли тобто коли х3 < 0, а значить при х < 0, і у' < 0, коли х > 0. Отже, на (-∞; 0) функція зростає, на (0; +∞) спадає, що підтверджується графіком. У точці х = 0, що розділяє ці два проміжки, похідна не існує.

Отже, можемо припустити, що два сусідніх проміжки, на одному з яких функція зростає, а на іншому спадає, можуть розділятися точкою, у якій похідна не існує або дорівнює нулю. Якщо така точка належить області визначення функції, то її називають критичною.

Мал. 21.4

Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення, у яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Для функції у = х2 точка х = 0 є критичною, а для не є критичною, оскільки не належить області визначення функції. Отже, точки, які не належать області визначення,

також можуть ділити графік на проміжки, на одному з яких функція зростає, а на іншому спадає.

Виходячи з наведених вище міркувань, можна сформулювати послідовність дій для дослідження функції у = f(x) на зростання і спадання.

Алгоритм дослідження функції f(x) на зростання і спадання:

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну функції.

3) Знайти критичні точки функції.

4) Поділити знайденими критичними точками область визначення функції на проміжки та з’ясувати знак похідної на кожному з них (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в одній довільній точці проміжку).

5) За знаком похідної визначити проміжки зростання і спадання функції.

Зауважимо, що якщо функція у = f(x) неперервна в точці, що є кінцем проміжку зростання чи спадання, то цю точку приєднують до цього проміжку. Таким чином, можна стверджувати, що функція у = х2 зростає на проміжку [0; +∞) і спадає на проміжку (-∞; 0], оскільки в точці х = 0 функція у = х2 неперервна. Проміжки зростання і спадання функції залишаються без змін, оскільки в точці х = 0 ця функція не є неперервною (має розрив, адже х = 0 не належить області визначення функції).

Розглянемо вправи на знаходження проміжків зростання і спадання функції за запропонованим вище алгоритмом. Критичні точки будемо позначати зафарбованими (їх прийнято приєднувати до проміжків монотонності), а точки, які не належать області визначення функції, зображатимемо «порожніми» (їх не прийнято приєднувати до проміжків монотонності). Символом ↗ будемо позначати зростання, а символом ↘ - спадання функції на проміжку.

Задача 2. Знайти проміжки зростання і спадання функції

у = 2х3 + 6X2 + 3.

Розв’язання. Скористаємося вищезгаданим алгоритмом.

1) D(y): х ∈ R.

2) у’ = 6х2 + 12х = 6х(х + 2).

3) Похідна існує в усіх точках області визначення. Щоб знайти критичні точки, розв’яжемо рівняння у' = 0. Маємо: 6х(х + 2) = 0, звідки х1 = 0; х2 = -2.

4) Позначимо критичні точки на області визначення функції і визначимо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 21.5). На проміжку (-∞; -2) виберемо, наприклад, точку х = -3, маємо: y'(-3) = 6 ∙ (-3) ∙ (-1) > 0. На проміжку (-2; 0) виберемо, наприклад, х = -1, тоді у'(-1) = 6 ∙ (-1) ∙ 1 < 0. На проміжку (0; +∞) виберемо точку х = 2. Маємо: у'(2) = 6 ∙ 2 ∙ 4 > 0. 5) Отже, функція зростає на проміжках (-∞; -2] та [0; +∞) і спадає на проміжку [-2; 0].

Відповідь. (-∞; -2] і [0; +∞) - проміжки зростання; [-2; 0] - проміжок спадання.

Мал. 21.5

Задача 3. Знайти проміжки монотонності функції

Розв’язання. 1)D(f): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

3) f(x) = 0, тобто тоді х1 = 4, х2 = -4 - критичні точки.

4) Позначимо ці точки на області визначення функції та з’ясуємо знак похідної (зробіть це самостійно) на кожному з проміжків (мал. 21.6).

5) Функція зростає на проміжках (-∞; -4] і [4; +∞), спадає на проміжках [-4; 0) і (0; 4].

Відповідь. (-∞; -4] і [4; +∞) - проміжки зростання, [-4; 0) і (0; 4] - проміжки спадання.

Мал. 21.6

Знаючи проміжки монотонності, можна розв’язувати деякі задачі, пов’язані зі знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості; наближеного значення кореня).

Задача 4. Довести, що рівняння х5 + 2х3 + х = 0 має тільки один корінь.

Доведення. Розглянемо функцію f(x) = x5 + 2х3 + x.

Знайдемо її похідну: f’(x) = 5х4 + 6х2 + 1. Очевидно, що : f'(x) > 0 для всіх х, тобто f(x) зростає на R. Тоді графік функції f(x) = х5 + 2х3 + х може перетинати вісь абсцис не більше ніж в одній точці, відповідно і початкове рівняння матиме не більше одного кореня. Зауважимо, що в цій задачі легко помітити, що х = 0 — розв’язок рівняння, адже 05 + 2 ∙ 03 + 0 = 0.

Мал. 21.7

Мал. 21.8

Якщо функція у = f(x) є зростаючою (спадною) на проміжку [а; b] і на кінцях цього проміжку набуває числових значень різного знаку, це означає, що графік функції у = f(х) на проміжку [а; b] перетинає вісь абсцис лише в одній точці (мал. 21.7 і 21.8).

Задача 5. Чи має рівняння 2х4 + 8х - 3 = 0 корінь на проміжку [0; 1]?

Розв’язання. Розглянемо функцію f(x) = 2х4 + 8х - 3 та знайдемо її проміжки монотонності. Маємо: f'(x) = 8х3 + 8.

Розв’яжемо рівняння: 8х3 + 8 = 0; х3 = -1; звідки х = -1 — критична точка.

Функція f(х) зростає на проміжку [-1; +∞) (мал. 21.9), а тому зростає і на проміжку [0; 1]. На кінцях проміжку [0; 1] значення функції f(х) мають різні знаки: f(0) = -3; f(1) = 7, отже, графік функції на проміжку [0; 1] перетинає вісь х, і тому рівняння на цьому проміжку має корінь.

Відповідь. Так.

Мал. 21.9

Що таке проміжок монотонності? Сформулюйте ознаку зростання, спадання функції. Які точки називають критичними точками функції? Сформулюйте алгоритм дослідження функції на зростання і спадання.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

21.1. На малюнку 21.10 зображено графік функції у = f(х), яка визначена на проміжку [-3; 5]. На яких проміжках ця функція зростає, а на яких спадає?

Мал. 21.10

21.2. На малюнку 21.11 зображено графік функції у = g(x), яка визначена на проміжку [-4; 4]. На яких проміжках ця функція зростає, а на яких спадає?

21.3. Функція у = g(x) визначена на проміжку [0; 8], причому f'(x) < 0 на проміжку [0; 5) і f'(x) > 0 на проміжку (5; 8]. Опишіть характер зміни функції на проміжку [0; 8].

Мал. 21.11

Мал. 21.12

21.4. Знак похідної функції у = f(х), визначеної на R, змінюється за схемою, зображеною на малюнку 21.12. Визначте, на яких проміжках функція зростає, а на яких спадає.

2

21.5. На малюнках 21.13-21.15 зображено графіки функцій, визначених на R. Укажіть проміжки, на яких похідна функції додатна, а на яких від’ємна.

Мал. 21.13

Мал. 21.14

Мал. 21.15

Мал. 21.16

21.6. На малюнку 21.16 зображено графік функції у = φ(х). Визначте знак похідної функції на проміжку:

1) (-∞; -2);   2) (-2; -1);   3) (-1; 2);   4) (2; +∞).

Знайдіть критичні точки функції (21.7—21.8):

21.7. 1) у = х2 - 2х;   2) у = х3 + 3х2.

21.8. 1) у = 4х - х2;   2) у = 6х2 + х3.

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції (21.9—21.10):

21.9. 1) f(x) = 5х - 7;   2) g(x) = 7 - 9х;

3) t(х) = 2х2 - 4х + 7;   4)   р(х) = -х2 + 2х;

5) φ(х) = х3 - 9х2 + 5;   6)   ψ(х) = 12х - х3.

21.10. 1) m(х) = 4 - х;   2) f(х) = 2х - 11;

3) g(x) = х2 + 2х - 11;   4)   t(х) = 4 - 6х - х2;

5) φ(х) = х3 + Зх2;   6)   ψ(х) = х3 - 3х.

Доведіть, що функція (21.11—21.12):

21.11. 1) f(x) = 3х3 + х - 7 зростає на R;

2) g(x) = -х - х3 спадає на R.

21.12. 1) g(x) = х3 + 2х - 5 зростає на R;

2) f(x) = -2х3 - х спадає на R.

3

Знайдіть критичні точки функції (21.13—21.14):

21.13.

21.14.

Знайдіть проміжки монотонності функції (21.15—21.16):

21.15.

21.16.

Доведіть, що функція (21.17-21.18):

21.17. 1) f(x) = х3 - х2 + 7х - зростає на R;

2) g(x) = sin4x - 5х спадає на R.

21.18.

4

Знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції (21.19-21.20):

21.19.

21.20.

21.21. При яких значеннях а функція f(х) зростає на R:

21.22. При яких значеннях а функція g(x) = 2х3 + 3ах2 + 24х - 8 зростає на R?

21.23. Доведіть, що рівняння має єдиний корінь:

1) х7 + 3х5 + 2х = 0;   2) sinx - х = 0.

21.24. Доведіть, що рівняння х9 + х + 3 = 0 має єдиний корінь.

21.25. Чи має рівняння х4 + 4х - 2 = 0 корінь на проміжку:

1) [-1; 0]; 2) [0; 1]?

21.26. Чи має рівняння х6 - 6х + 1 = 0 корінь на проміжку:

1) [-1; 0]; 2) [0; 1]?

21.27. (Задача-дослідження). Відомо, що рівняння х8 + 8х -5 = 0 має два корені.

1) Знайдіть деякі проміжки, яким належать ці корені.

2) Перевірте результат, побудувавши графік функції у = х8 + 8х - 5 за допомогою якої-небудь комп’ютерної програми.

Життєва математика

21.28. Заробітна плата оператора колл-центру пропорційна кількості відпрацьованих годин. За місяць було відпрацьовано 170 годин і за них нараховано 4590 грн. Скільки годин має відпрацювати оператор наступного місяця, щоб заробити 4860 грн?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

21.29. Використовуючи малюнок 21.17, укажіть таку точку х0, щоб на проміжку (-∞; х0] функція f(x) зростала, а на проміжку [х0; +∞) функція f(х) спадала.

Мал. 21.17

Мал. 21.18

21.30. Використовуючи малюнок 21.18, укажіть таку точку х0, щоб на проміжку (-∞; х0] функція g(x) спадала, а на проміжку [х0; +∞) функція g(x) зростала.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.