Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§22. ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ

Для дослідження функції та побудови її графіка важливо знати точки екстремуму та екстремуми функції.

1. Екстремуми функції

Досліджуючи поведінку функції поблизу деякої точки, зручно користуватися поняттям околу точки.

Околом точки х0 називають будь-який проміжок, що містить цю точку.

Наприклад, околом точки 2 може бути кожен з проміжків (1,9; 2,1) або (1; 2,5); околом точки -3 - проміжок (-3,8; -2,9) або (-3,01; -2,99) тощо.

Приклад 1. Розглянемо графік функції у = f(х), зображений на малюнку 22.1.

Бачимо, що існує такий окіл точки -2, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найбільшого значення саме в точці -2. Таку точку називають точкою максимуму функції, а значення функції в цій точці - максимумом функції.

Мал. 22.1

Точку х0 називають точкою максимуму функції у = f(x), якщо для всіх х з деякого околу точки справджується нерівність f(x0) > f(x). Значення функції в точці максимуму називають максимумом функції.

Будемо позначати точки максимуму через хmах, а максимуми функції через fmах або ymах. Отже, у прикладі 1 хmах = -2, а ymax = y(-2) = 3.

Повертаючись до малюнка 22.1, помічаємо, що існує деякий окіл точки 1, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найменшого значення саме в точці 1. Таку точку називають точкою мінімуму функції, а значення функції в цій точці - мінімумом функції.

Точку х0 називають точкою мінімуму функції у = f(x), якщо для всіх х з деякого околу точки x0 справджується нерівність f(х0) < f(x). Значення функції в точці мінімуму називають мінімумом функції.

Через xmin позначають точки мінімуму, а через fmin або уmіn - мінімуми функції. У прикладі 1 xmin = 1, а уmіm = у( 1) = -2.

Точки максимуму і мінімуму разом називають точками екстремуму функції (від лат. extremum - крайній), а значення функції в цих точках - екстремумами функції.

Зауважимо, що оскільки в точці максимуму (мінімуму) функція набуває найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями цієї функції в точках деякого околу, то точки максимуму (мінімуму) називають ще локальними екстремумами.

2. Необхідна умова екстремуму

Покажемо, що точками екстремуму можуть бути лише критичні точки функції. Сформулюємо та доведемо відповідну теорему, яку називають теоремою Ферма (на честь французького математика П’єра Ферма).

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму).

Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції f(x) і в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю:

f'(х0) = 0.

Приймемо цей факт без доведення і зауважимо, що теорема Ферма є лише необхідною умовою екстремуму. Умова f'(х0) = 0 необов’язково означає, що х0 - точка екстремуму функції.

Мал. 22.2

Мал. 22.3

Приклад 2. Зокрема для функції f(x) = x3 (мал. 22.2) f'(x) = 3х2 і f'(0) = 0, але х0 = 0 — не є точкою екстремуму.

Приклад 3. Розглянемо функцію f(x) = |х| (мал. 22.3), для якої х0 = 0 — точка мінімуму. З’ясуємо, чи має функція f(x) = |х| похідну в точці х0 = 0.

Знайдемо

Отже, при ∆х → 0 не існує, а тому не існує і похідної функції f(х) = |х| у точці 0.

З теореми Ферма та прикладу 2 дійдемо висновку, що

точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки.

Тому, знаходячи точки екстремуму функції, у першу чергу знаходять її критичні точки. При цьому треба пам’ятати, що не кожна критична точка є точкою екстремуму (приклад 2).

3. Достатня умова екстремуму

З’ясувати, чи є критична точка точкою екстремуму, можна за допомогою теореми - достатньої умови екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму). Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 та:

1) f'(x) > 0 на проміжку (a;х0) і f' (x) < 0 на проміжку (х0; b), то х0 є точкою максимуму функції f(x);

2) f'(х) < 0 на проміжку (а; х0) і f'(x) > 0 на проміжку (х0; b), то х0 є точкою мінімуму функції f(х).

Доведення. 1) Функція f(х) неперервна в точці х0 і f'(x) > 0 на проміжку (а; х0), тому функція f(x) зростає на (а; х0] і f(х) f(x0) для всіх x ∈ (a; x0).

На проміжку [х0; b) функція f(x) спадає (доведення аналогічне), тому f(x) < f(x0) для всіх х ∈ (х0; b).

Отже, f(х) < f(x0) для всіх х ≠ х0 з проміжку (а; b), тому х0 - точка максимуму функції f(х).

2) Доведення аналогічне до пункту 1.

Зрозуміло, що в точках екстремуму відбувається зміна монотонності функції. Адже те, що похідна функції при переході через точку змінює знак з «-» на « + », означає, що спадання функції змінюється на зростання. Отже, точка мінімуму - це абсциса такої точки на графіку функції, у якій спадання функції змінюється на зростання. Той факт, що похідна функції при переході через точку змінює знак з « + » на «-», означає, що зростання функції змінюється на спадання. Отже, точка максимуму — це абсциса такої точки на графіку функції, у якій зростання функції змінюється на спадання.

Сформулюємо висновки.

Якщо в точці х0 похідна змінює знак з « + » на «-» (рухаючись у напрямі зростання х), то х0 — точка максимуму (мал. 22.4), а якщо з «-» на «+», то х0 — точка мінімуму (мал. 22.5).

Якщо зміни знаків не відбулося (мал. 22.6 і 22.7), то х0 не є точкою екстремуму.

Мал. 22.4

Мал. 22.5

Мал. 22.6

Мал. 22.7

Таким чином, проміжки зростання, спадання та екстремуми функції пов’язані між собою. Тому для знаходження екстремумів функції можна застосувати такий алгоритм:

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну функції.

3) Знайти критичні точки функції.

4) Позначити знайдені критичні точки на області визначення функції та знайти знак похідної на кожному з отриманих проміжків.

5) Для кожної критичної точки за знаком похідної на проміжках зліва і справа від неї визначити, чи є вона точкою екстремуму, і якою саме, максимуму чи мінімуму. Записати результат.

4. Задачі на пошук точок екстремуму та екстремумів функції

Розглянемо кілька задач.

Задача 1. Знайти точки екстремуму функції

Розв’язання. Скористаємося вище згаданим алгоритмом. 1) D(у) = R.

2) у’ = х2 + х - 2 = (х - 1)(х + 2).

3) D(y') = R, у' = 0, маємо рівняння: (х - 1)(х + 2) = 0, звідки х1 = 1; х2 = -2 — критичні точки.

4) Позначимо критичні точки на D(y) (числовій осі) і визначимо знак похідної на кожному з отриманих проміжків: у'(-5) = (-5 - 1)(-5 + 2) > 0, тобто у' > 0 на (-∞; 2);

у'(0) = (0 - 1)(0 + 2) < 0, тобто у' < 0 на (-2; 1);

у'(2) = (2 - 1)(2 + 2) > 0, тобто у' > 0 на (1; +∞).

Мал. 22.8

Результат зображено на малюнку 22.8. 5) Отже, хmах = -2; хmіn = 1.

Відповідь. хmах = -2; хmіn = 1.

Задача 2. Знайти екстремуми функції

Розв’язання. 1) D(y) - (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

точки.

4) Позначимо критичні точки на області визначення функції та з’ясуємо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 22.9).

5) Отже, хmах = 1; хmіn = 3 - точки екстремуму.

Мал. 22.9

Тоді

Відповідь: уmах = у( 1) = 2; уmіn = у(3) = 3.

A ще раннiше...

Латинські слова maximum і minimum означають відповідно «найбільше» і «найменше» значення.

Деякими питаннями визначення найбільших і найменших значень геометричних величин займалися ще давньогрецькі математики. Так, наприклад, у 27-му реченні VI книги «Начал» Евклід виключно геометричними методами доводить, що з усіх паралелограмів, вписаних у даний трикутник, найбільшу площу має той, основа якого дорівнює половині основи трикутника.

Задачею знаходження максимумів і мінімумів функції вчені почали займатися в середньовіччі. У 1615 році Кеплер висловив ідею про те, що поблизу максимума величини зміна її непомітна, передбачивши таким чином ідею прирівнювання до нуля похідної при знаходженні максимуму.

Вперше системний підхід до знаходження екстремумів було викладено П. Ферма у його праці «Метод дослідження максимумів і мінімумів» (праця вийшла друком частково у 1642- 1644 рр., а повністю - у 1779 р. після смерті автора). Листи ж Ферма кажуть про те, що цим методом він володів уже в 1629 р.

У подальшому цей метод вдосконалили Ньютон у праці «Метод флюксий» (1671 р.) і Лейбніц у своєму «Новому методі» (1684 р.).

Що називають околом точки х0? Яку точку називають точкою максимуму функції, а яку - точкою мінімуму? Що називають максимумом функції, а що - мінімумом? Які точки називають точками екстремуму, що називають екстремумом функції? Сформулюйте теорему Ферма (необхідну умову екстремуму).

Сформулюйте і доведіть достатню умову екстремуму. Сформулюйте алгоритм дослідження функції на точки екстремуму та екстремуми?

Розв'яжіть задачы та виконайте вправи

1

22.1. На малюнку 21.11 зображено графік функції у = g(x), визначеної на проміжку [-4; 4]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

22.2. На малюнку 21.10 зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку [-3; 5]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

22.3. (Усно). Функція у = f(x) неперервна в точці х0 = 2, причому f'(х) < 0 на проміжку (1; 2) і f'(x) > 0 на проміжку (2; 3). Чи є точка х0 = 2 точкою мінімуму? А точкою максимуму?

22.4. (Усно). Функція у = t(x) неперервна в точці x0 = -1, причому t'(x) > 0 на проміжку (-2; -1) і t'(x) < 0 на проміжку (-1; 0). Чи є точка х0 = -1 точкою мінімуму? А точкою максимуму?

22.5. Знаки похідної функції у = g(x), визначеної на R, зображено на малюнку 22.10. Назвіть точки мінімуму і точки максимуму цієї функції.

Мал. 22.10

2

22.6. Зобразіть схематично графік функції та впевніться в тому, що функція не має точок екстремуму:

Знайдіть точки екстремуму функції у = f(x). Які з них є точками максимуму, а які - точками мінімуму (22.7—22.8)?

22.7. 1) f(x) = 2х - 7;   2) f(x)   = 2х2 - 4х + 5;

3) f(x) = 6 - 12х - х2;   4) f(x) = 3х2 - х3.

22.8. 1) f(x) = 4 - 2х;   2) f(x)   = х2 + 6х - 8;

3З) f(x) = 3 + 8х - 2х2;   4) f(x) = х3 - 6х2.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (22.9— 22.10):

22.9.

22.10. 1) у = 2х3 + 6х2 - 18х;   2) у = 2 + 12х + 9х2 - 10х3;

3) у - х3 - 3х;   4) у - х4 - 2х2 + 3.

3

22.11. Знайдіть точки максимуму і точки мінімуму функції:

22.12. Знайдіть точки мінімуму і точки максимуму функції:

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (22.13—22.14):

22.13.

22.14.

4

Знайдіть точки екстремуму функції (22.15—22.16):

22.15.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (22.17—22.18):

22.17. f(x) = 15х3 - х5.

22.18. f(x) = 7х5 - 5х7.

22.19. При яких значеннях а функція у = 2х3 + 3ах2 + 6х - 2 не має точок екстремуму?

Життєва математика

22.20. Відстань l (у км) від спостерігача, що знаходиться на невеликій висоті h м над землею до лінії горизонту, за якою він спостерігає, обчислюється за формулою де R — 6400 км - радіус Землі.

На якій найменшій висоті слід розташовуватися спостерігачеві, щоб він бачив горизонт на відстані не менше ніж 4 кілометри?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

22.21. 1) Знайдіть координати вершини параболи, що є графіком функції f(x) = х2 - 2х + 3, визначте напрям її гілок та побудуйте схематично її графік.

2) Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х2 - 2х + 3, екстремуми функції та її проміжки зростання і спадання. Побудуйте схематично графік функції.

3) Порівняйте отримані у пунктах 1) і 2) графіки функцій.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.