Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§23. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І ПОБУДОВИ ЇХНІХ ГРАФІКІВ

Раніше нам вже траплялися функції, вигляд графіків яких на той час ми не знали. У таких випадках ми будували їхні графіки по точках. Так було побудовано, наприклад, графіки функцій у = х2; у = ; у = , де k ≠ 0, тощо.

Але, застосовуючи такий спосіб побудови для складніших функцій, які нам не траплялися, можна пропустити важливі особливості графіка функції. Для того щоб уникнути подібних помилок, треба спочатку дослідити поведінку функції, виявити її особливості, а тільки потім будувати графік. До особливостей поведінки функції належать і її зростання, спадання та екстремуми. Тому для побудови графіка будемо використовувати похідну.

Досліджувати функцію у = f(x) та будувати її графік можна за таким алгоритмом:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат (якщо це можливо).

4) Знайти похідну функції та її критичні точки.

5) Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції.

6) Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо це можливо.

7) За необхідності знайти ще кілька точок графіка та, використовуючи отримані результати, побудувати графік функції.

Застосовуючи цей алгоритм, слід пам’ятати, що відомими нам методами не завжди вдається розв’язати рівняння f(x) = 0, тобто знайти точки перетину з віссю абсцис. Також іноді важко дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення чи поблизу точок розриву. У такому разі доцільно знайти кілька точок графіка, абсциси яких є дуже близькими до абсцис згаданих точок.

Результати дослідження по пункту 5 зручно подавати у вигляді таблиці.

Розглянемо приклади дослідження функції та побудови її графіка за вказаним алгоритмом.

Задача 1. Дослідити функцію f(x) = х4 - 2х2 - 3 та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) D(f) - R.

2) f(-x) = (-х)4 - 2(-х)2 - 3 = х4 - 2х2 - 3 = f(х); функція парна, тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3) f(0) = 04 - 2 ∙ 02 - 3 = -3, тобто (0; -3) - точка перетину з віссю у. Нехай у = 0, тоді маємо: х4 - 2х2 -3 = 0, звідки х1,2 ±, отже, (; 0), (-; 0) - точки перетину з віссю Ох.

4) f'(х) = 4х3 - 4х = 4х(х2 - 1) = 4х(х - 1)(х + 1); тоді х1 = 0; х2 = 1; х3 = -1 - критичні точки.

5) Складемо таблицю, у якій зазначимо проміжки зростання, спадання, критичні точки функції та висновки щодо поведінки функції:

6) Оскільки D(f) = R, то область визначення не має кінців.

7) Будуємо графік функції, використовуючи результати дослідження та значення функції ще у двох додаткових точках, наприклад, f(-2) = f(2) = 5.

Графік зображено на малюнку 23.1.

Метод побудови графіка з використанням похідної значно розширює коло задач, які доцільно розв’язувати графічно (з’ясування кількості коренів рівняння, пошук наближених значень коренів тощо).

Мал. 23.1

Задача 2. Дослідити функцію та побудувати її графік. Скільки коренів має рівняння залежно від значення а?

Розв’язання. 1) D(f) = (-∞; -1) ∪ (-1; +∞).

2) Оскільки область визначення функції не симетрична відносно нуля, то функція ні парна, ні непарна.

3) Точка перетину з віссю у: точки перетину з віссю 0х: у = 0; х1 = 0; х2 = 3.

Отже, (0; 0), (3; 0) - точки перетину з осями координат.

тоді х1 = 1; х2 = -3 - критичні точки.

5) Дослідимо функцію на монотонність і екстремуми:

6) Точка х = -1 не належить області визначення функції. Дослідимо поведінку функції в околі точки - 1.

Нехай спочатку х → -1, але х < -1 (кажуть: зліва від -1). Тоді х + 1 → 0 і х + 1 < 0. Зауважимо, що х2 - 3х → 4 при х → -1. Чим ближче х до числа -1, тим більшим за модулем

стає значення дробу і є від’ємним. Можна сказати, що при х → -1, за умови, що х < -1, значення функції прямує до -∞.

Аналогічно: у випадку х → -1, де х > -1 значення функції прямує до +∞.

Проведемо (пунктиром) пряму х = -1, тоді зліва від прямої х = -1 графік буде прямувати вниз, а справа від прямої х = -1 буде прямувати вгору. Пряму х = -1 у такому разі називають асимптотою. Графік функції зображено на малюнку 23.2.

Тепер з’ясуємо, скільки коренів має рівняння залежно від значень а, графічно. Для цього розглянемо графіки функцій та у = а, де а - число (мал. 23.3) та знайдемо кількість точок їх перетину, це й буде кількість коренів рівняння. Для різних значень а їх кількість буде різною.

Мал. 23.2

Мал. 23.3

За малюнком 23.3 маемо, що, коли а < -9, то графіки перетинаються у двох точках, а тому рівняння має два корені. Якщо а = -9, то графіки перетинаються в одній точці, а тому рівняння має один корінь. У випадку -9 < а < -1 графіки не перетинаються, а тому рівняння не має коренів. При а = -1 графіки перетинаються в одній точці, тому рівняння має один корінь; а якщо а > -1, то графіки перетинаються у двох точках і рівняння має два корені.

Відповідь. Якщо а < -9 або а > -1, то рівняння має два корені; якщо а = -9 або а = -1, то рівняння має один корінь; якщо -9 < а < -1, то рівняння не має коренів.

Задача 3. Знайти множину значень функції f(x) = (х - 3) та з’ясувати, при яких значеннях а має корені рівняння (х - 3) = а2 + а - 2.

Розв’язання. Розв’яжемо задачу графічно, тобто знайдемо множину значень функції за її графіком. Для цього І дослідимо поведінку функції.

1) D(f) = [0; +∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, бо її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у - f(0) = 0; точки перетину з віссю Ox: f(x) = 0, тобто (х - 3) = 0; звідки х1 = 3; х2 = 0.

Отже, (0; 0), (3; 0) - точки перетину з осями координат.

Тоді х = 1 - критична точка.

5)

6) Точка (0; 0) належить графіку функції.

7) Графік зображено на малюнку 23.4.

За графіком легко встановити, що у ≥ -2 на області визначення функції, тобто множиною значень є проміжок [-2; +∞).

Щоб рівняння (х - 3) = а2 + а - 2 мало корені, треба, щоб значення виразу а2 + а - 2 належало множині значень функції f(x) = (х - 3), тобто, щоб справджувалася умова а2 + а - 2 ≥ -2, звідки а2 + а ≥ 0. Розв’яжемо нерівність відносно а, отримаємо, що а ≤ -1 або а ≥ 0 (розв’яжіть нерівність самостійно).

Відповідь. [-2; +∞), а ≤ -1 або а ≥ 0.

Мал. 23.4

Сформулюйте алгоритм дослідження функції та побудови її графіка. Поясніть на прикладі 2, як можна використовувати графік функції для дослідження кількості коренів рівняння. Поясніть, як за графіком функції знайти множину її значень.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

2

Дослідіть функцію та побудуйте її графік (23.1—23.2):

23.1.

23.2.

23.3. Побудуйте схематично графік функції g(x) та знайдіть множину її значень:

23.4. Побудуйте схематично графік функції φ(х) та знайдіть множину її значень:

3

Дослідіть функцію та побудуйте її графік (23.5—23.6):

23.5.

23.6.

23.7. 1) Дослідіть функцію та побудуйте схематично її графік.

2) Скільки коренів має рівняння

23.8. 1) Дослідіть функцію у = х3 - х2 - 3х -1 та побудуйте схематично її графік

2) Скільки коренів має рівняння х3 - х2 -3х-1 = 0?

23.9. 1) Дослідіть функцію та побудуйте схематично її графік.

2) Знайдіть множину значень функції

23.10. 1) Дослідіть та побудуйте схематично графік функції

2) Знайдіть множину значень функції

4

Дослідіть функцію та побудуйте схематично її графік (23.11-23.12):

23.11.

23.12.

23.13. 1) Дослідіть функцію f(x) = 2 - х та побудуйте її графік. 2) Знайдіть область значень функції f(х) = 2 - х.

23.14. 1) Дослідіть функцію g(x) = х - 4 та побудуйте її графік. 2) Знайдіть область значень функції g(x) = x - 4.

23.15. 1) Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

2) Скільки коренів має рівняння залежно від значень а?

23.16. 1) Знайдіть область значень функції f(х) = (х - 1).

2) Чи має розв’язки рівняння

23.17. 1) Дослідіть функцію f(х) = х( - 6) та побудуйте її графік.

2) Знайдіть область значень функції f(х) = x( - 6).

3) При яких значеннях а рівняння x( - 6) = a - 20 має розв’язки?

Життєва математика

23.18. Висота над землею підкинутого вгору м’яча змінюється за законом h(t) = 1,6 + 8t - 5t2, де h - висота в метрах, t - час, що минув з моменту підкидання, у секундах. Скільки секунд м’яч перебуватиме на висоті не менше трьох метрів?

Підготуйтеся де вивчення нового матеріалу

23.19. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = х2 - 4х на проміжку:

1) [-2; 1];   2) [-1; 3];   3) [-3; 3];   4) [4; 5].









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.