Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§24. НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ НА ПРОМІЖКУ

Розв’язування багатьох прикладних задач часто зводиться до знаходження найбільшого і (або) найменшого значення неперервної на деякому проміжку функції. Тому задачу можна розв’язати за допомогою похідної.

1. Найбільше і найменше значення функції

Розглянемо функцію f(x) = х2, яку задано на проміжку [-2; 1]. Її графік зображено на малюнку 24.1.

Найбільшим значенням цієї функції на заданому проміжку буде f(-2) = 4, а найменшим - f(0) = 0. Це записують так:

Зауважимо, що на заданому проміжку функція має точку мінімуму: xmin = 0, але не має точок максимуму.

Від найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на проміжку, залежить її множина значень на цьому проміжку. Так, множиною значень функції f(x) = х2, заданої на проміжку [-2; 1], є множина [0; 4].

Тобто, якщо m — найменше значення неперервної на проміжку [а: b] функції у = f(x), а М - її найбільше значення, то множиною значень функції у = f(x) на проміжку [а; b] буде множина [b; М].

Якщо на проміжку [а; b] функція має екстремуми, це ще не означає, що найбільшого або найменшого значення функція досягає саме в точках екстремуму. Розглянемо функцію у = f(x), визначену на R, графік якої зображено на малюнках 24.2-24.4.

Наприклад, на відрізку [a; d] найменшого і найбільшого значень функція набуває на кінцях проміжки [a; d], хоча має на цьому проміжку точки максимуму і мінімуму (мал. 24.2).

Мал. 24.1

Мал. 24.2

Мал. 24.3

Мал. 24.4

Мал. 24.5

Натомість на проміжку [b; d] найменшого значення функція досягає в точці мінімуму (мал. 24.3), а на проміжку [b; с] - найбільшого значення в точці максимуму (мал. 24.4). Якщо ж розглядатимемо проміжок [b; 0], то найбільшого і найменшого значень функція досягає відповідно в точках максимуму і мінімуму (мал. 24.4). На малюнку 24.5 функція має аж дві точки мінімуму на проміжку [а; b], але вони не є її найменшими значеннями на цьому проміжку.

Можна дійти висновку, що коли функція у = f(х) неперервна і монотонна (тобто або зростає, або спадає) на проміжку [а; b], то найбільшого і найменшого значень ця функція точно набуватиме на його кінцях (мал. 24.6 і 24.7).

Якщо ж функція є неперервною на деякому проміжку і має на ньому лише одну точку екстремуму, то саме в цій точці функція набуватиме найбільшого (якщо ця точка - точка максимуму) або найменшого (якщо ця точка - точка мінімуму) значення на цьому проміжку.

Отже, найбільшого значення на проміжку функція може набувати або в точці максимуму, що належить цьому проміжку, або на його кінцях. Так само найменшого значення на проміжку функція може набувати або в точці мінімуму, що належить цьому проміжку, або на його кінцях. Зрозуміло, що ці значення залежать виключно від заданого проміжку та поведінки функції (її монотонності) на ньому.

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції f(х) на заданому проміжку можна використовувати такий алгоритм:

Мал. 24.6

Мал. 24.7

1) Перевірити, що проміжок належить області визначення функції.

2) Знайти похідну функції.

3) Знайти критичні точки функції.

4) Вибрати ті критичні точки, що належать даному проміжку.

5) Обчислити значення функції у вибраних критичних точках та на кінцях проміжку.

6) Порівняти одержані значення та вибрати з них найбільше і найменше.

7) Записати результат.

2. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції на проміжку

Розглянемо знаходження найбільшого і найменшого значень функції у = f(x) на проміжку [а; b] за допомогою вищезгаданого алгоритма.

Задача 2. Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = 2х3 - 3х2 - 12х + 1 на проміжку [0; 3].

Розв’язання. 1) D(f) R; [0; 3] ⊂ R.

2) f(x) = 6х2 - 6х - 12 = 6(х2 - х - 2).

3) Розв’яжемо рівняння х2 - х - 2 = 0, тоді х1 = -1; х2 = 2 - критичні точки.

4) -1 ∉ [0; 3]; 2 ∈ [0; 3].

5) f(2) = -19; f(0) = 1; f(3) =-8.

6) Отже,

Відповідь.

3. Практичний зміст найбільшого або найменшого значення деякої величини

Розв’язуючи прикладні задачі, пов’язані з найбільшим або найменшим значеннями деякої величини, використовують математичне моделювання так само, як для розв’язування текстових задач.

Зауважимо, що при розв’язуванні деяких прикладних задач необхідно знайти найбільше або найменше значення неперервної функції не на проміжку [а; b], а на проміжку (а; b). Зазвичай у таких випадках на проміжку (а; b) функція має лише одну критичну точку. Якщо це точка максимуму, то саме в цій точці на проміжку (а; b) функція набуває найбільшого значення (мал. 24.8), а якщо це точка мінімуму - то найменшого (мал. 24.9).

Мал. 24.8

Мал. 24.9

Задача 3. Парканом, довжина якого 80 м, треба огородити з трьох сторін ділянку прямокутної форми якомога більшої площі. Знайдіть розміри такої ділянки (мал. 24.10).

Розв’язання. 1) Позначимо через х (у м) довжину однієї з двох паралельних сторін паркана (мал. 24.11), тоді сусідня сторона буде мати довжину 80 - 2х, де 0 < х < 40.

2) Складемо функцію залежності площі ділянки від довжини її сторони х:

S(x) = х(80 - 2х) = 80х - 2х2.

Мал. 24.10

Ця функція є математичною моделлю задачі. Тому задача знаходження розмірів ділянки зводиться до знаходження значення х, при якому функція S(x) на проміжку (0; 40) набуватиме найбільшого значення.

3) Знайдемо найбільше значення функції S(x), за умови х є (0; 40).

S'(x) = 80 - 4х = 0, тоді х = 20. Маємо, що хmах = 20 (мал. 24.12).

Мал. 24.11

4) Оскільки S(x) = 80х - 2х2 неперервна на (0; 40) і має єдину точку екстремуму - точку максимуму хmах = 20, то саме в цій точці S(x) досягає найбільшого значення. Отже, розміри ділянки будуть 20 м і 80 - 2 ∙ 20 = 40 м.

Відповідь. 20 м і 40 м.

Мал. 24.12

Отже, розв’язувати прикладні задачі на знаходження найбільшого або найменшого значень деякої величини, можна за таким алгоритмом:

1) Одну з невідомих величин позначити через х та знайти межі значення х. Інші величини виразити через х.

2) Скласти функцію - математичну модель задачі.

3) Знайти найбільше чи найменше значення отриманої функції на проміжку для значень х.

4) Проаналізувати отриманий результат та записати відповідь до задачі.

Задача 4. 3 аркуша картону прямокутної форми, розміри якого 15x24 см, вирізавши у його кутах квадрати так, як показано на малюнку 24.13, виготовили відкриту коробку найбільшого об’єму. Знайдіть об’єм цієї коробки.

Мал. 24.13

Мал. 24.14

Розв’язання. 1) Позначимо довжину сторони вирізаного квадратика через х(см), тоді кожна зі сторін прямокутника, який буде дном коробки, зменшаться на 2х і дорівнюватиме 24 - 2х (см) і 15 - 2х (см), 0 < х < 7,5.

2) Складемо функцію залежності об’єму коробки від довжини сторони вирізаних квадратів (мал. 24.14):

V(x) = х(15 - 2х)(24 - 2х), тобто V(x) = 360х - 78х2 + 4х3.

3) Знайдемо найбільше значення функції V(x) на проміжку (0; 7,5).

Мал. 24.15

Маємо: V'(x) =360 - 156х + 12х2.

V'(x) = 0, коли х1 = 3; х2 = 10.

Значення х2 = 10 - не належить проміжку (0; 7,5), маємо: хmах = 3 (мал. 24.15).

4) Оскільки V(x) = 360х - 78х2 + 4х3 неперервна на (0; 7,5) і має точку максимуму хmах = 3, то саме в ній V(x) набуватиме найбільшого значення. Знайдемо його: max V(x) = V(3) = 3 ∙ 9 ∙ 18 = 486 (см3).

(0; 7,5)

Відповідь. 486 см3.

Сформулюйте алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції у = f(х) на проміжку [а; b]. Сформулюйте алгоритм розв’язування прикладних задач на знаходження найбільшого або найменшого значень деякої величини.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

24.1. На малюнку 24.16 зображено графік функції у = f(х), заданої на проміжку [1; 7]. Назвіть її найбільше та найменше значення на цьому проміжку. Запишіть відповідні рівності.

24.2. На малюнку 24.17 зображено графік функції у = g(x), заданої на проміжку [-2; 5]. Назвіть її найбільше та найменше значення на цьому проміжку. Запишіть відповідні рівності.

Мал. 24.16

Мал. 24.17

2

24.3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції fix) на заданому проміжку:

24.4. Знайдіть найбільше і найменше значення функції g(x) на заданому проміжку:

24.5. Поділіть відрізок завдовжки 12 см на два таких відрізки, щоб прямокутник, сторонами якого вони будуть, мав найбільшу площу.

24.6. Поділіть відрізок завдовжки 8 см на два таких відрізки, щоб прямокутний трикутник, катетами якого вони будуть, мав найбільшу площу.

24.7. Подайте число 16 у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

24.8. Подайте число 10 у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

3

24.9. Знайдіть найбільше і найменше значення функції g(x) на заданому проміжку:

 

24.10. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) на заданому проміжку:

24.11. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом (х вимірюється в метрах, t — у секундах). Якого найбільшого і найменшого значень набуде x(t) за перші чотири секунди руху?

24.12. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) =  t3 + t2 - -3t + 2 (s вимірюється в метрах, t - у секундах). Якого найбільшого і найменшого значень набуде s(t) за перші три секунди руху?

24.13. Число 24 подайте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб добуток одного з них на куб другого був найбільшим.

24.14. Число 18 подайте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб добуток одного з них на квадрат другого був найбільшим.

24.15. Площа прямокутника дорівнює 16 см2. Якої довжини мають бути його сторони, щоб периметр прямокутника був найменшим?

24.16. Площа прямокутного трикутника дорівнює 18 см2. Якої довжини мають бути його катети, щоб їхня сума була найменшою?

4

24.17. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) на заданому проміжку:

24.18. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку [0; 2].

24.19. Тіло рухається за законом s(t) = 6t2 - t3 (s вимірюється в метрах, t - у секундах). У який момент часу t, де 3 ≤ t ≤ 8, швидкість тіла буде найбільшою і в який найменшою?

24.20. Матеріальна точка рухається за законом x(t) = 3t2 -  t3 (x вимірюється в метрах, t — у секундах). У який момент часу з проміжку [0; 3] швидкість тіла буде найбільшою і в який найменшою?

24.21. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х - cosx на проміжку:

24.22. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = sinx - х на проміжку:

1) [-; 0]; 2) [0; ].

24.23. Акваріум об’ємом 4 м3 має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратним дном. Які розміри цього акваріуму, якщо на його виготовлення витратили найменш можливу кількість скла?

24.24. Бічні сторони і менша основа трапеції мають однакову довжину — по 5 см. Знайдіть довжину її більшої основи, за якої площа трапеції буде найбільшою.

Життєва математика

24.25. Для скління музейних вітрин треба замовити 28 однакових скляних прямокутників, площа кожного з яких дорівнює 0,25 м2. Замовлення можна зробити в одній з трьох фірм. У таблиці наведено ціни на скло і на різання скла. Скільки буде коштувати найдешевше замовлення?

Фірма

Ціна скла (грн за 1 м2)

Різання скла (грн за одне скло)

Додаткові умови

А

140

9

 

Б

150

7

 

В

160

5

Для замовлень від 1200 грн різання скла безкоштовне






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.