Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- пригадаємо аксіоми і основні поняття планіметрії;

- дізнаємося про аксіоми і основні поняття стереометрії, взаємне розміщення прямих і площин у просторі; паралельне проектування та його властивості, ознаки мимобіжності прямих, паралельності прямої і площини, паралельності площин;

- навчимося класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі; встановлювати паралельність прямих, прямої і площини, площин; мимобіжність прямих; будувати паралельні проекції фігур.

§1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ, АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ ТА НАЙПРОСТІШІ НАСЛІДКИ З НИХ

1. Предмет стереометрії

Шкільний курс геометрії складається з планіметрії і стереометрії. У курсі планіметрії 7-9 класів ми вивчали властивості плоских геометричних фігур, тобто фігур, усі точки яких лежать в одній площині (відрізок, коло, трикутник тощо).

Стереометрія — це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

Термін «стереометрія» походить від грец. «стереос» - просторовий, «метрео» - міряти.

У стереометрії розглядають як властивості фігур, всі точки яких лежать в одній площині, - плоских фігур, так і властивості фігур, у яких не всі точки лежать в одній площині, - просторових фігур, які ще називають геометричними тілами.

У курсі математики основної школи ми вже ознайомилися з геометричними тілами - прямокутним паралелепіпедом, кубом, пірамідою, циліндром, конусом та кулею (мал. 1.1). Предмети, що нас оточують, зазвичай повторюють форму просторових фігур або їх комбінацій. Тому геометрія, зокрема стереометрія, має і прикладне (практичне) значення. Геометричні задачі доводиться розв’язувати в архітектурі та будівництві, геодезії і машинобудуванні, інших галузях науки й техніки.

Мал. 1.1

На уроках геометрії в 10-11 класах ми значно розширимо та поглибимо знання про геометричні фігури в просторі.

2. Основні поняття стереометри

Основними (неозначуваними, первісними) поняттями в стереометрії є поняття точки, прямої і площини. Нагадаємо, що уявлення про точку дає, наприклад, слід на папері від дотику добре загостреного олівця, слід на дошці від дотику крейди тощо. Позначати точки, як і раніше, будемо великими латинськими літерами А, В, С, D, ... .

Уявлення про пряму дає промінь світла, струна на гітарі, розмітка між двома смугами прямолінійної дороги тощо. Прямі можна проводити за допомогою лінійки. При цьому отримують зображення лише частини прямої, а всю пряму уявляють нескінченною в обидва боки. Позначати прямі, як і раніше, будемо малими латинськими літерами a, b, с, d, ... або двома великими латинськими літерами за назвами двох точок цієї прямої: АВ, CD, MN, ... .

Уявлення про площину дає поверхня стола, футбольне поле, віконна шибка, стеля тощо. Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою, вона не має краю та не має товщини. На малюнку площину прийнято зображати у вигляді паралелограма (мал. 1.2) або довільної замкненої області (мал. 1.3). При цьому отримують зображення лише частини площини. Позначати площини можна малими грецькими літерами а (альфа), β (бета), у (гама), ....

Мал. 1.2

Мал. 1.3

3. Аксіоми стереометрії

Основні властивості найпростіших геометричних фігур у стереометрії формулюють за допомогою аксіом. Аксіоми є початковими істинними твердженнями. Усі аксіоми планіметрії, які відомі нам з 7 класу, справджуються і в стереометрії. Нагадаємо ці аксіоми та зауважимо, що коли мова йде про «дві точки» або «дві прямі», вважаємо, що ці точки або прямі - різні.

І. Яка не була б пряма, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.

V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.

VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

VIII. На площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну

Оскільки в планіметрії усі фігури, які ми розглядали, лежали в одній площині, а в стереометрії вони можуть лежати в різних площинах, остання аксіома, яку називають аксіомою паралельності прямих, потребує уточнення.

Нове поняття - площина - потребує ще й розширення системи аксіом, тобто доповнення стереометрії аксіомами, що відображають властивості точок, прямих і площин у просторі.

Тому розглянемо нову групу аксіом - групу аксіом С.

CІ. Яка б не була площина, існують точки, які їй належать, і які їй не належать.

На малюнку 1.4 точки М і N належать площині а (площина а проходить через ці точки), а точки С, К і L - не належать цій площині. Для запису, як і у планіметрії, будемо використовувати символи ∈ і ∉. Тому твердження «точка М належить площині а» можна записати так: М ∈ а, а «точка С не належить площині а» - так: С ∉ а.

СІІ. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

Мал. 1.4

Мал. 1.5

Мал. 1.6

У цьому випадку кажуть, що пряма належить площині, або площина проходить через пряму. На малюнку 1.5 точки С і D прямої m належать площині а, тому і пряма т, що проходить через ці точки, належить площині а. Для зручності замість «пряма mналежить площині а» будемо писати: m ⊂ а. Запис n ⊄ а означатиме, що пряма n не належить

площині а, тобто існує така точка прямої n, яка не належить площині а (мал. 1.6 та мал. 1.7). На малюнку 1.6 пряма n і площина а мають одну спільну точку К. У цьому випадку кажуть, що пряма n перетинає площину а в точці К.

Це записують так: n ∩ а = К.

Аксіома СII має різні практичні застосування. Одне з них - перевірка «рівності» лінійки. Із цією метою лінійку прикладають краєм, який перевіряють, до плоскої поверхні, наприклад столу. Якщо край лінійки рівний, то він усіма своїми точками прилягає до поверхні столу. Якщо ж край нерівний, то в деяких місцях між ним і поверхнею столу утворюється просвіт.

Мал. 1.7

Якщо через пряму т проходить дві різні площини а і β, то кажуть, що площини а і β перетинаються по прямій m (мал. 1.8), і записують так: а ∩ β = m.

СIII. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Мал. 1.8

Мал. 1.9

На малюнку 1.8 площини а і β мають спільну точку P, тобто належить як площині а, так і площині β. Аксіома СIII стверджує, що тоді площини а і β перетинаються по прямій m, причому точка Р, в свою чергу, належатиме цій прямій m.

CIV. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Практичною ілюстрацією цієї аксіоми є, наприклад, стійкість на підлозі будь-якої триноги (табурета на трьох ніжках, фотоштатива тощо). Три точки А, В, С, які є кінцями триноги, завжди можна розмістити у площині підлоги а (мал. 1.9), таку площину називають трьома її точками - площиною ABC і позначають (ABC). Якщо ж узяти чотири довільні точки, то через них може не проходити жодна площина. Практичною ілюстрацією цього факту може стати стілець, ніжки якого різні за довжиною. Тоді стілець буде стояти на трьох ніжках, тобто спиратися на три точки площини підлоги, а кінець четвертої ніжки (четверта «точка») не буде лежати у цій площині і тому стілець буде хитатися.

4. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії

Теорема 1 (про існування і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить). Через пряму і точку, що їй не належить, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Розглянемо пряму а і точку М, М ∉ а (мал. 1.10). 1) Позначимо на прямій а довільні точки С і D. Точки С, D і М не лежать на одній прямій, тому через них за аксіомою CIV можна провести площину а. Точки С i D лежать у площині а, а тому за аксіомою СII вся пряма а належить площині а. Отже, площина а проходить через пряму а і точку М.

Мал. 1.10

2) Доведемо, що така площина єдина. Припустимо, що через пряму а і точку М проходить ще якась площина а1. Але тоді ця площина має проходити і через точки С і D, що лежать на прямій а. Маємо, що через точки С, D і М, які не лежать на одній прямій, проходять дві різні площини, а і a1, що суперечить аксіомі CIV.

Отже, наше припущення хибне, а тому через пряму а і точку М, що їй не належить, проходить єдина площина а.

Теорема 2 (про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються). Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Розглянемо прямі а і b, причому a ∩ b = С (мал. 1.11). Позначимо на прямій b точку М, а на прямій а - точку D, обидві відмінні від точки С. Маємо три точки М, С і D, які не лежать на одній прямій, а тому далі доведення аналогічні до доведення попередньої теореми. Пропонуємо завершити його самостійно.

Мал. 1.11

З аксіоми CIV та теорем 1 і 2 випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, що не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що їй не належить;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задания площини розглянемо пізніше.

Задача 1. Довести, що через три точки, які лежать на одній прямій, можна провести площину. Скільки існує таких площин?

Доведення. Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій - прямій а (мал. 1.12). 1) За аксіомою 1 існує точка, що прямій а не належить, назвемо її M1. За теоремою 1 через пряму а і точку М1 можна провести площину, назвемо її a1. Вона проходитиме через три дані точки.

2) За аксіомою СI існують точки, які не належать площині a1. Розглянемо точку М2, яка не належить площині a1, а тому не належить і прямій а, оскільки а ⊂ а1. Тоді через пряму а і точку М2 можна провести площину а2. Ця площина також, як і площина а1, проходить через три дані точки.

Міркуючи аналогічно, можна дійти висновку, що існує безліч площин, які проходять через три точки, що лежать на одній прямій.

Відповідь. Безліч.

Мал. 1.12

Задача 2. Дано площину а і паралелограм ABCD. Чи може площині а належати:

1) тільки одна вершина паралелограма;

2) тільки дві вершини паралелограма;

3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. У випадках 1) і 2) може (мал. 1.13 та 1.14).

Мал. 1.13

Мал. 1.14

Мал. 1.15

3) Припустимо, що три вершини паралелограма А, В і D належать площині а, а вершина С - ні (мал. 1.15). Проведемо діагоналі паралелограма АС і BD. Нехай О - точка їх перетину. Оскільки В ∈ а і D ∈ а, то BD ⊂ а, а тому О ∈ а. Оскільки А ∈ а і О ∈ а, то АО ⊂ а. Але С ∈ АО, тому С ∈ а. Маємо, що всі чотири вершини паралелограма належать площині а, що суперечить умові. Отже, наше припущення хибне, а тому тільки три із чотирьох вершин паралелограма ABCD не можуть належати площині а.

Відповідь. 1) Так; 2) так; 3) ні.

5. Найпростіші задачі з геометричними тілами

Оскільки ми вже знаємо деякі відомості про прямокутний паралелепіпед, куб і піраміду, розглянемо кілька задач, пов’язаних з цими фігурами.

Задача 3. На малюнку 1.16 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

1) Чи належить точка С1 площині CDD1?

2) У якій точці пряма АВ перетинає площину В1С1С?

3) Яка площина проходить через точку В і пряму CD?

4) По якій прямій перетинаються площини ABC і А1В1В?

Мал. 1.16

Розв’язання. 1) Грань прямокутного паралелепіпеда CDD1C1 належить площині CDD1. Тому точка С1 належить цій площині.

2) Оскільки B ∈ АВ і B ∈ (B1С1С), то АВ ∩ (B1С1С) = B.

3) Через точку B і пряму CD проходить площина BCD.

4) Оскільки АВ ⊂ (ABC) і АВ ⊂ (А1B1B), то (ABC) ∩ (A1B1B) = АВ.

Відповідь. 1) Так; 2) B; 3) (BCD); 4) АВ.

Задача 4. На малюнку 1.17 зображено трикутну піраміду ABCD. Укажіть:

1) усі площини, яким належить пряма KL;

2) точку перетину прямої BN з площиною CAD;

3) пряму перетину площин DKB і ABC.

Розв’язання.

1) KL ⊂ (ACD), KL ⊂ (DLB).

2) Оскільки L ∈ BN і L ∈ (CAD), то BN ∩ (CAD) = L.

3) Оскільки LB a (DKB) і LB a (ABC), то (DKB) ∩ (ABC) = LB.

Відповідь. 1) (ACD), (DLB); 2) L; 3) LB.

Мал. 1.17

A ще раніше...

Давньогрецький учений Евклід у своїй видатній праці «Начала» зібрав і узагальнив досвід грецьких математиків. Були відомі Евкліду й аксіоми стереометрії, які ми розглянули є цьому параграфі. Так, наприклад, аксіому СІІ Евклід сформулював так: «Частини прямої лінії не можуть лежати одно над площиною, а інша - у самій площині», а аксіому СІІІ - так: «Дві площини перетинаються по прямій лінії».

Безсумнівно, «Начала» Евкліда вже понад два тисячоліття слугують зразком дедуктивної побудови геометри. Однак математики впродовж сторіч наголошували на основному недоліку евклідових аксіом - їх неповноті, тобто недостатносте їх для чіткої логічної побудови геометрії, за якої кожне твердження має бути логічно виведене з аксіом та доведених раніше тверджень.

Д. Гільберт (1862-1943)

Упродовж століть математики вдавалися до спроб дедуктивної побудови геометри, завершився цей процес лише наприкінці XIX cm. завдяки роботам математиків М. Паша, Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пієрі, і в першу чергу завдяки видатному німецькому математику Давиду Гільберту. У своїй класичній праці «Основи геометри» (1899) Гільберт сконструював аксіоматику геометрії таким чином, що логічна структура геометри стала абсолютно прозорою. Так, наприклад, Гільберт не дав прямого означення основних геометричних об’єктів: точки, прямої, площини. Те, що необхідно знати про ці об’єкти, він виклав в аксіомах, які є, по суті, їх непрямими означеннями.

Серед аксіом Гільберта є й аксіоми стереометри. Наприклад, одну з аксіом цього параграфа Гільберт сформулював так: «Якщо точки А і В прямої а лежать в площині а, то будь-яка точка цієї прямої лежить в площині а».

Що таке стереометрія? Які фігури називають плоскими, а які - просторовими? Наведіть приклади плоских і просторових фігур. Назвіть основні поняття стереометрії. Як зображають та позначають площини у стереометрії? Сформулюйте аксіоми стереометрії. Сформулюйте й доведіть найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

1.1. Намалюйте площину а, точку М, що належить цій площині, та точку N, яка цій площині не належить. Запишіть відповідні твердження за допомогою символів.

1.2. Намалюйте площину β та пряму а, що їй належить. Запишіть відповідне твердження за допомогою символів.

1.3. Дано пряму m, що належить площині β. Виконайте малюнок та позначте на ньому точки А і В, які належать площині β, але не належать прямій m.

1.4. Точки А і В належать площині а. Виконайте малюнок та позначте на ньому точку С, яка належить площині а, але не належить прямій АВ, та точку К, яка не належить площині а.

1.5. Намалюйте площину у та пряму а, що перетинає її у точці М. Скільки точок прямої а лежить у площині у?

1.6. (Усно). Які з тверджень істинні:

1) будь-які дві точки завжди належать одній прямій;

2) будь-які три точки завжди належать одній прямій;

3) будь-які три точки завжди належать одній площині;

4) будь-які чотири точки завжди належать одній площині?

1.7. На малюнку 1.18 зображено куб АBСBА1B1С1B1.

1) Чи належить точка С площині ABD?

2) Чи належить точка B площині DCC1?

3) У якій точці пряма АА1 перетинає площину АBС?

4) Укажіть деяку пряму, що перетинає площину АА1В.

5) Яка площина проходить через точку B і пряму С1С?

6) Укажіть деяку пряму, що належить площині А1В1С1.

Мал. 1.18

1.8. На малюнку 1.19 зображено трикутну піраміду SABC, точку М, що належить ребру АВ, та точку N, що належить ребру SC.

1) Чи належить точка М площині АВС?

2) Чи належить точка B площині SAC?

3) У якій точці пряма SB перетинає площину ABC?

4) Укажіть деяку пряму, що перетинає площину SBC.

5) Яка площина проходить через точку N і пряму SA?

6) Укажіть деяку пряму, що належить площині SAB.

Мал. 1.19

2

1.9. (Усно). Чи можуть дві різні площини мати лише:

1) одну спільну точку;   2) дві спільні точки;

3) три спільні точки;   4) 2010 спільних точок?

1.10. Чи можуть пряма і площина мати лише:

1) одну спільну точку;   2) дві спільні точки;

3) три спільні точки;   4) 999 спільних точок?

1.11. На малюнку 1.19 зображено трикутну піраміду SABC. Укажіть:

1) пряму перетину площин ASB і SMC;

2) площину, яка проходить через прямі BN і SC.

1.12. На малюнку 1.18 зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть:

1) пряму перетину площин DD1C1 і ABD;

2) площину, яка проходить через прямі А1В і AB1.

1.13. (Усно). Чи однакові за змістом твердження «пряма належить площині» і «пряма й площина мають спільну точку»? Відповідь обґрунтуйте.

1.14. Відомо, що через три дані точки можна провести принаймні дві площини.

1) Яке взаємне розміщення цих точок?

2) Скільки площин можна провести через ці три точки?

1.15. Відомо, що через дані пряму і точку можна провести принаймні дві площини.

1) Яке взаємне розміщення прямої і точки?

2) Скільки площин можна провести через ці пряму і точку?

Дано дві прямі, через які не можна провести площину.

Чи можуть ці прямі перетинатися? Відповідь обґрунтуйте.

1.17. Дано дві площини, які не перетинаються. Чи можуть ці площини мати спільну точку? Відповідь обґрунтуйте.

1.18. Площини а і β мають спільні точки А, В і С.

1) Чи можна дійти висновку, що а і β збігаються?

2) У якому випадку можна дійти висновку, що а і β збігаються?

1.19. (Усно). Чому мотоцикл з коляскою стоїть на дорозі стійко, а для мотоцикла без коляски потрібна додаткова опора?

1.20. Чому незамкнені двері відчиняються, а замкнені двері нерухомі?

1.21. Прямі АВ і CD перетинаються. Доведіть, що прямі АС і BD лежать в одній площині.

1.22. Через прямі АВ і АС проведено площину. Доведіть, що цій площині належить медіана AM трикутника ABC.

1.23. Доведіть, що через будь-яку пряму і точку можна провести площину. Розгляньте два випадки.

1.24. Доведіть, що через будь-які три точки можна провести площину. Розгляньте два випадки.

1.25. Три прямі, які проходять через точку Р, перетинають пряму а відповідно в точках А, В і С. Доведіть, що точки А, В, С і Р лежать в одній площині.

1.26. Прямі АВ і АС перетинають пряму а в точках М і N відповідно. Доведіть, що точки А, В, С, М і N лежать в одній площині.

1.27. Пряма а проходить через центр кола. Чи можна стверджувати, що пряма перетинає коло? Виконайте відповідний малюнок.

3

1.28. Пряма B проходить через центри вписаного і описаного кіл трикутника ABC. Чи можна стверджувати, що пряма B належить площині ABC?

1.29. Пряма с перетинає сторони АВ і АС трикутника ABC. Чи можна стверджувати, що пряма с належить площині ABC?

1.30. На малюнку 1.20 зображено трикутну піраміду DABC. Укажіть:

1) площини, яким належать прямі ТЕ, MN, DB, АВ, ЕС (враховуйте всі можливі випадки);

2) точку перетину прямої DN з площиною ABC; прямої СЕ із площиною ABD;

3) точки, що належать як площині ADB, так і площині ABC;

4) пряму, по якій перетинаються площини DTC і ABC.

Мал. 1.20

Мал. 1.21

1.31. На малюнку 1.21 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Укажіть:

1) точки, що належать як площині DCC1, так і площині BTB1;

2) усі площини, яким належить пряма DL;

3) точку перетину прямої КМ із площиною ABC; прямої BN із площиною А1B1С1;

4) пряму, по якій перетинаються площини NB1C1 і ABC.

1.32. (Усно). Як за допомогою двох ниток столяр може перевірити, чи лежать кінці чотирьох ніжок стола (або стільця) в одній площині?

1.33. Площини а і β перетинаються. Пряма а належить площині а і перетинає площинуβр в точці А. Пряма b належить площині β і перетинає площину а в точці В. Доведіть, що АВ - пряма перетину площин а і β.

1.34. Площини а і β перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині а і перетинає площину β. Чи перетинаються прямі а і с? Відповідь обґрунтуйте.

1.35. Точка М не належить площині трикутника АВС. Доведіть, що прямі МА і ВС не перетинаються.

1.36. Дано пряму l і точку Р, що їй не належить. Точка К не лежить у площині, що проходить через пряму l і точку β. Доведіть, що прямі l і РК не перетинаються.

1.37. (Усно). Чи однакові за змістом твердження «прямі а і b належать різним площинам» і «прямі а і b не належать одній площині»? Відповідь обґрунтуйте.

1.38. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 1.22).

1) Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте точку перетину прямої KL із площиною ABC та точку перетину прямої KL із площиною А1В1С1. Побудову обґрунтуйте.

2) За якої умови вказані точки побудувати неможливо?

Мал. 1.22

Мал. 1.23

Мал. 1.24

1.39. РАВС - трикутна піраміда (мал. 1.23).

1) Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте точку перетину прямої MN із площиною ABC. Побудову обґрунтуйте.

2) За якої умови вказану точку побудувати неможливо?

1.40. Дві вершини паралелограма та точка перетину його діагоналей належать площині а. Чи можна стверджувати, що дві інші вершини паралелограма також належать площині а?

4

1.41. Вершина А опуклого плоского чотирикутника належить площині а (мал. 1.24), а вершини В, С і D не належать цій площині. Прямі СВ і CD перетинають площину а відповідно в точках М і N. Чи правильно виконано малюнок 1.24? Відповідь обґрунтуйте.

1.42. Вершина D плоского чотирикутника ABCD належить площині β, а всі інші вершини - їй не належать. Прямі ВС і АС перетинають площину р відповідно в точках К і L. Доведіть, що точки К, L і D лежать на одній прямій.

1.43. РАВС - трикутна піраміда (мал. 1.23). Пряма MN не паралельна прямій ВС. Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте пряму перетину площин AMN і ABC. Побудову обґрунтуйте.

1.44. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 1.22). Пряма KL не паралельна прямій AD. Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте пряму перетину площин KLC і ABC. Побудову обґрунтуйте.

1.45. 1) Нехай А, В, С - три точки простору. Доведіть для простору нерівність АВ ≤ ВС + СА.

2) Скільки площин можна провести через точки М, N і Р, якщо MN = 0,5 дм, NP - 40 мм, МР = 8 см?

1.46. Скільки площин можна провести через точки К, L і М, якщо KL = 5 см, LM =110 мм, КМ = 0,6 дм?

1.47. Кожна з трьох прямих перетинається із двома іншими. Скільки різних площин можна провести через дані прямі, взяті попарно? Укажіть і обґрунтуйте всі можливі випадки.

1.48. Основи трьох бісектрис трикутника належать площині а. Чи належать площині а вершини трикутника? Відповідь обґрунтуйте.

1.49. Середини трьох сторін трикутника належать площині а. Чи належать площині а вершини трикутника? Відповідь обґрунтуйте.

1.50. Основи трьох висот трикутника належать площині β. Чи можна стверджувати, що площині β належать і вершини трикутника?

Життєва математика

1.51. Відношення висоти до ширини екрана монітора дорівнює 9 : 16. Діагональ екрана монітора дорівнює 40 дюймів. Знайдіть ширину екрана в сантиметрах.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

1.52. На площині дано пряму m і точку А, що цій прямій не належить. Скільки прямих, паралельних прямій m, можна провести через точку А?

1.53. ABCD - паралелограм. У площині паралелограма проведено пряму KL, паралельну ВС. Доведіть, що KL || AD.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.