Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§2. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ

1. Прямі у просторі

Як відомо з курсу планіметрії, для двох прямих на площині є лише два випадки взаємного розміщення: вони або перетинаються, або паралельні. Оскільки в просторі існують площини і у цих площинах справджуються планіметричні властивості, то згадані розміщення прямих зберігаються також і у просторі.

Проте у просторі можливий ще один випадок розміщення прямих. Розглянемо куб (мал. 2.1). Прямі AD і D1C1 не мають спільних точок і не паралельні. У такому випадку кажуть, що дві прямі не лежать в одній площині, тобто не існує жодної площини, що проходила б через обидві ці прямі.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

На малюнку 2.1 прямі AD і D1C1 - мимобіжні. Наочне уявлення про мимобіжні прямі дають дві дороги, одна з яких проходить по мосту, а інша під мостом (мал. 2.2).

Мал. 2.1

Мал. 2.2

Нагадаємо, що планіметрія — це геометрія на площині, а, отже, усі фігури належать цій одній площині. Натомість у стереометрії розглядають не одну, а безліч площин, тому фігури можуть належати різним площинам. Отже, означення паралельних прямих у стереометрії порівняно з означенням паралельних прямих на площині потребує уточнення.

Дві прямі у просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Паралельність прямих а і b позначать як і у планіметрії: а || b.

Отже, у просторі є три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку, тобто це прямі, що перетинаються (мал. 2.3);

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок, тобто це паралельні прямі (мал. 2.4);

3) прямі не лежать в одній площині, тобто це мимобіжні прямі.

Прикладами всіх випадків розташування прямих можуть бути прямі, по яких перетинаються стіни кімнати між собою та зі стелею й підлогою, або прямі, що містять ребра куба. Так, на малюнку 2.1 прямі АВ і ВС перетинаються в точці В, прямі AD і ВС - паралельні, прямі AD і D1C1 - мимобіжні.

Мал. 2.3

Мал. 2.4

2. Паралельні прямі у просторі

З означення паралельних прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину. Ця площина єдина. Якщо припустити, що через паралельні прямі а і b можна провести дві різні площини, то це означатиме, що дві різні площини проведено через пряму а і деяку точку М прямої b. А це суперечить теоремі про існування і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить. Отже,

через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Тепер до трьох способів задання площини, які ми розглянули у попередньому параграфі, можна додати ще один: площину можна задавати двома паралельними прямими.

Як відомо з курсу планіметрії, на площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельності прямих на площині). Така сама властивість справджується і у просторі.

Теорема 1 (про існування прямої, паралельної даній). Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення. Розглянемо пряму а і точку М, що їй не належить (мал. 2.5). Через пряму а і точку М можна провести єдину площину, яку позначимо через а. У площині а має місце аксіома паралельності прямих, тобто через точку М можна провести єдину пряму b, паралельну прямій а. Отже, у просторі через точку М, яка не лежить на даній прямій а, можна провести єдину пряму, паралельну прямій а.

Мал. 2.5

Сформулюємо і доведемо властивість паралельних прямих.

Теорема 2 (про перетин площини паралельними прямими). Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то і друга пряма перетинає цю площину.

Доведення. Розглянемо паралельні прямі а і b. Нехай пряма а перетинає площину a y точці М (мал. 2.6). Доведемо, що пряма b також перетинає площину а, тобто має з нею одну спільну точку.

1) Оскільки а || b, то через ці прямі можна провести площину β. Оскільки а і β мають спільну точку - точку М, то вони перетинаються по прямій. Позначимо цю пряму через с (мал. 2.7). Вона належить площині β і перетинає пряму а у точці М, тому вона перетинає і пряму b, паралельну а, у деякій точці N. Оскільки N ∈ с, с ⊂ а, то N ∈ а. Отже, точка N - спільна точка прямої b і площини а.

2) Доведемо, що пряма b не має з площиною а інших спільних точок. Припустимо, що пряма b має з площиною а ще одну спільну точку. Тоді точки прямої b належать площині а, а тому вся пряма належить площині а. Оскільки пряма b належить площині р, то пряма b є прямою перетину площин а і β, тобто збігається з прямою с. Це неможливо, оскільки с ∩ а = М, а за умовою а || b. Отже, наше припущення хибне, тому пряма b має з площиною а одну спільну точку - точку N.

Мал. 2.6

Мал. 2.7

З курсу планіметрії нам відомо, що на площині дві прямі, які паралельні третій прямій, паралельні між собою. Ця властивість справджується і у просторі.

Теорема 3 (ознака паралельності прямих). Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Доведення. Нехай а || с і b || с. Доведемо, що а || b.

1) Позначимо точку N на прямій b та проведемо через пряму а і точку N площину a (мал. 2.8). Доведемо, що b ⊂ а.

Припустимо, що пряма b перетинає площину а (в точці N). Тоді за попередньою теоремою площину а також перетинає і пряма с, яка паралельна прямій b. Оскільки a || c і с перетинає а, то, за попередньою теоремою, пряма а перетинає а. Але це неможливо, оскільки а ⊂ а. Отже, наше припущення хибне, тому b с а.

Мал. 2.8

2) Припустимо, що а і b перетинаються в деякій точці. Тоді через цю точку проходять дві прямі, а і b, паралельні прямій с, що суперечить теоремі про існування прямої, паралельної даній.

Отже, прямі а і b лежать в одній площині і не перетинаються. Тому вони паралельні.

Задача 1. Довести, що всі паралельні прямі, які перетинають дану пряму, лежать в одній площині.

Доведення. 1) Нехай паралельні прямі а1 і а2 перетинають пряму m в точках А1 і А2 відповідно (мал. 2.9). Проведемо через прямі а1 і а2 площину а. Оскільки А1 ∈ а і А2 ∈ а, то m ⊂ а.

2) Проведемо пряму а3, яка паралельна а1 і а2 і перетинає пряму m у точці А3. Доведемо, що а3 ⊂ а. Припустимо, що пряма а3 має з площиною а лише одну спільну точку - А3, тобто, що пряма а3 перетинає площину а.

Оскільки а1 || а3 і пряма а3 перетинає а, то за теоремою про перетин площини паралельними прямими отримаємо, що пряма а1 перетинає площину а. Але це суперечить тому, що пряма а1 належить а. Отже, наше припущення хибне, тому, а3 ⊂ а.

3) Оскільки а3 - довільна пряма, яка паралельна прямим а1 і а2 і перетинає пряму m, то всі паралельні прямі, які перетинають дану пряму, лежать в одній площині, а саме, в площині а.

Мал. 2.9

Задача 2. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку М цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках В1 і М1 відповідно (мал. 2.10). Знайти довжину відрізка MM1, якщо ВВ1 = 15 см і ВМ : МА = 1 : 2.

Розв’язання. 1) Оскільки ВВ1 || MM1, то через прямі ВВ1 і ММ1 можна провести площину, назвемо її β.

2) Площини а і β перетинаються по прямій B1М1, А ∈ а. Оскільки А є ВМ, ВМ ⊂ β, то А ∈ β. Отже, А ∈ а, А ∈ β, а ∩ β = В1М1, тому А ∈ В1М1.

Мал. 2.10

3) Розглянемо ∆АММ1 і ∆ABB1, у яких кут А - спільний, ∠АВВ1 = ∠AMM1 (як відповідні кути при паралельних прямих ВВ1 і ММ1 та січній АВ). Тоді ∆АММ1 ∾ ∆АВВ1 (за

двома кутами), том

4) Оскільки ВМ : МА = 1 : 2, то ВМ = х (см), МА = 2х (см). Тоді АВ = ВМ + МА = х + 2х - 3х (см).

Маємо: звідки ММ1 = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

Зауважимо, що паралельними бувають не лише прямі, а й промені та відрізки. Відрізки або промені називають паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

3. Мимобіжні прямі

Доведемо теорему, що є ознакою мимобіжності прямих.

Теорема 4 (ознака мимобіжності прямих). Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то ці прямі — мимобіжні.

Доведення. Нехай пряма АВ належить площині а, а пряма CD перетинає цю площину в точці С (мал. 2.11). Доведемо, що прямі АВ і CD - мимобіжні. Припустимо, що прямі АВ і CD не є мимобіжними, тобто лежать у деякій площині β. Тоді площина βвизначається прямою АВ і точкою С, яка не належить цій прямій. Але така площина, що проходить через пряму АВ і точку С вже існує, це площина а. А оскільки така площина єдина, то β збігається з а. Проте це неможливо, адже пряма CD, за умовою, не належить площині а. Прийшли до протиріччя з умовою, бо наше припущення є хибним. Отже, прямі АВ і CD - мимобіжні.

Мал. 2.11

Зауважимо, що якщо одна з двох прямих лежить у площині а, а друга не лежить у цій площині, то ці прямі не обов’язково мимобіжні. На малюнку 2.12: а ⊂ а, b ⊄ а, с ⊄ а, але а і b - не є мимобіжними (вони паралельні), також а і с - не є мимобіжними (вони перетинаються).

Мал. 2.12

Задача 3. Точка Р не лежить у площині трикутника ABC, CM - медіана цього трикутника (мал. 2.13). Яке взаємне розміщення прямих CM і АР.

Розв’язання. Оскільки CM ∈ (ABC), АР ∩ (ABC) = А, А ∉ CM, то прямі CM і АР - мимобіжні (за ознакою мимобіжності прямих).

Відповідь. Прямі мимобіжні.

Для доведення мимобіжності прямих часто використовують метод від супротивного.

Мал. 2.13

Задача 4. Прямі АВ і CD - мимобіжні. Довести, що прямі AD і ВС також мимобіжні.

Доведення. 1) Припустимо, що прямі AD і ВС не є мимобіжними, тобто або паралельні, або перетинаються.

2) Тоді в кожному із цих двох випадків через прямі AD і ВС можна провести площину, і тому всі чотири точки А, В, С, D будуть належати цій площині, тобто прямі АВ і CD - не будуть мимобіжними, що суперечить умові задачі.

3) Отже, наше припущення про те, що прямі AD і ВС не є мимобіжними, хибне, а тому прямі AD і ВС - мимобіжні.

Які дві прямі називають мимобіжними? Які дві прямі у просторі називають паралельними? Назвіть усі випадки взаємного розміщення двох прямих у просторі. Сформулюйте й доведіть теорему про існування прямої, паралельної даній. Сформулюйте й доведіть теорему про перетин площини паралельними прямими. Сформулюйте й доведіть ознаки паралельності та мимобіжності прямих.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

2.1. На малюнку 2.14 зображено куб. Яким є взаємне розміщення прямих:

1) АВ і АВ1;   2) AD і ВС;   3) AD1 і ВС;

4) DD1 і СС1;   5) A1D1 і B1А1;   6) D1C1 і ВС?

Мал. 2.14

Мал. 2.15

2.2. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 2.15).

Яким є взаємне розміщення прямих:

1) АВ і CD;   2) АС і BD;   3)AD i A1D1;

4) AC i AD1;   5) ВВ1 і DD1;   6) A1D1 і DC?

2.3. (Усно). Скільки різних площин можна провести:

1) через дві прямі, що перетинаються;

2) через дві паралельні прямі;

3) через дві мимобіжні прямі?

2

2.4. Прямі а і b не паралельні і не перетинаються. Скільки площин можна провести через ці прямі?

2.5. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 2.15). Доведіть, що AD || В1С1.

2.6. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 2.14). Доведіть, що DC || А1B1.

2.7. Пряма MN, що не лежить у площині ромба ABCD, паралельна стороні АВ цього ромба. З’ясуйте взаємне розміщення прямих:

1) MN і CD;   2) AM і CD. Відповідь обґрунтуйте.

2.8. Пряма KL, що не лежить у площині квадрата ABCD, паралельна стороні ВС цього квадрата. З’ясуйте взаємне розміщення прямих:

1) KL і AD;   2) LB і CD. Відповідь обґрунтуйте.

2.9. Прямі m і n не паралельні, пряма а паралельна прямій m. Чи можна стверджувати, що пряма а перетинає пряму n:

1) на площині;   2) у просторі?

2.10. Чи можна стверджувати, що пряма, яка перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає й іншу:

1) на площині;   2) у просторі?

2.11. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Чи можуть прямі АВ і CD:

1) бути паралельними;   2) перетинатися;

3) бути мимобіжними?

Відповідь обґрунтуйте.

2.12. Точки А, В, С і D лежать в одній площині. Чи можуть прямі АВ і CD:

1) бути паралельними;   2) перетинатися;

3) бути мимобіжними?

Відповідь обґрунтуйте.

2.13. Через кінці А, В і середину М відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину а в точках A1, В1 і M1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка MM1, якщо відрізок АВ не перетинає площину а і АА1 = 8 см, ВВ1 = 4 см.

2.14. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і середину С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках В1 і С1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка ВВ1, якщо СС1 = 7 см.

2.15. Прямі а і b - паралельні. Пряма с перетинає пряму а і не перетинає пряму b. Доведіть, що прямі b і с- мимобіжні.

2.16. Прямі m і n перетинаються, пряма а паралельна прямій m і не перетинає пряму n. Доведіть, що прямі n і а - мимобіжні.

2.17. Пряма n, яка не лежить у площині трикутника ABC, перетинає його сторону ВС в точці К.

1) Чи може пряма n перетинати сторону АВ? Відповідь обґрунтуйте.

2) Яким є взаємне розміщення прямих п і АСІ

2.18. Пряма m проходить через вершину А трикутника ABC і не лежить у площині цього трикутника.

1) Чи може пряма m перетинати сторону ВС? Відповідь обґрунтуйте.

2) ВМ - медіана трикутника ABC. Яким є взаємне розміщення прямих m і ВМ?

2.19. (Усно). У кубі ABCDA1B1C1D1 К - середина АВ, L - середина АА1 (мал. 2.16). Яким є взаємне розміщення прямих:

Мал. 2.16

Мал. 2.17

2.20. Паралелограм ABCD і трикутник CDP не лежать в одній площині (мал. 2.17), К - середина CP, L - середина PD.

1) Доведіть, що KL || ВА.

2) Знайдіть KL, якщо АВ = 8 см.

2.21. Паралелограм ABCD і трапеція ABKL, у якої АВ || KL, не лежать в одній площині (мал. 2.18), М - середина ВК, N - середина AL.

1) Доведіть, що MN || CD.

2) Знайдіть MN, якщо CD = 10 см, KL = 4 см.

Мал. 2.18

2.22. Точки М і N належать прямій а, а точки К і L прямій b, причому а || b. Чи можуть прямі КМ і LN:

1) перетинатися;   2) бути паралельними;

3) бути мимобіжними?

2.23. Точки А і В належать прямій m, а точки С і D прямій n, причому m і n перетинаються. Чи можуть прямі АС і BD:

1) перетинатися;   2) бути паралельними;

3) бути мимобіжними?

3

2.24. Прямі а і b перетинаються. Яким може бути взаємне розміщення прямих b і с, якщо прямі а і с:

1) паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні? До кожного можливого розміщення виконайте відповідний малюнок. Якщо розміщення неможливе, доведіть це.

2.25. Прямі а і с паралельні. Яким може бути взаємне розміщення прямих b і с, якщо прямі а і b:

1) паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні? До кожного можливого розміщення виконайте відповідний малюнок. Якщо розміщення неможливе, доведіть це.

2.26. Три прямі розміщено так, що кожні дві з них перетинаються. Чи лежать всі три прямі в одній площині? Відповідь обґрунтуйте.

2.27. Прямі а і b мимобіжні, с || а, d || b. Чи можна стверджувати, що прямі с і d мимобіжні?

2.28. Відомо, що а || b, с || a, d || b. Чи правильно, що с || d?

2.29. Через кінець С відрізка CD проведено площину а. Через кінець D і точку А цього відрізка проведено паралельні прямі, що перетинають площину а в точках D1 і А1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка АА1, якщо DD1 = 12 см і СА : AD = 3 : 1.

2.30. Через кінець М відрізка MN проведено площину β. Через кінець N і точку В цього відрізка проведено паралельні прямі, що перетинають площину β в точках N1 і В1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка NN1, якщо MB : BN = 3 : 2 і ВВ1 = 15 см.

2.31. На малюнку 2.19 прямі а, b і с попарно перетинаються і перетинають площину а відповідно в точках А, В і С. Чи є помилки на малюнку? Якщо так, виконайте малюнок правильно.

Мал. 2.19

Мал. 2.20

2.32. На малюнку 2.20 прямі m і n паралельні, а пряма р перетинає кожну з прямих m і n. Прямі m, n і р перетинають площину β відповідно в точках М, N і Р. Чи є помилки на малюнку? Якщо так, виконайте малюнок правильно.

2.33. ABCD - паралелограм, PABCD = 40 см, точка N не належить площині паралелограма. Точки A1, B1, C1, D1 - середини відрізків NA, NB, NC і ND відповідно. Знайдіть РA1B1C1D1.

2.34. Точка М не лежить у площині квадрата ABCD, АВ = 3 см, точки А1, B1, C1, D1 - середини відрізків МА, MB, МС і MD відповідно. Знайдіть РA1B1C1D1.

2.35. Скільки існує прямих, паралельних прямій а, кожна з яких має принаймні одну спільну точку з прямою b, якщо прямі а і b:

1) перетинаються; 2) паралельні; 3) мимобіжні?

4

2.36. Через кінці А, В і середину М відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину β в точках А1, В1 і М1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка BB1, якщо АA1 = 9 см, ММ1 = 1 см, АА1 > ВВ1 і відрізок АВ перетинає площину β.

2.37. Через кінці М, N і середину А відрізка MN проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину а в точках М1, N1 і А1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка АA1, якщо NN1 = 10 см, ММ1 = 2 см і відрізок MN перетинає площину а.

2.38. Паралелограм KLMN не перетинає площину а (мал. 2.21). Через вершини К, L, М і N проведено паралельні прямі, що перетинають площину а відповідно в точках К1, L1, М1 і N1. Знайдіть KK1, якщо LL1 = 8 см, ММ1 = 12 см, NN1 = 9 см.

Мал. 2.21

Мал. 2.22

2.39. Через вершину А паралелограма ABCD проведено площину β так, що вершини В, С і D їй не належать (мал. 2.22). Через точки В, С і D проведено паралельні прямі, які перетинають площину р відповідно в точках B1, С1 і D1. Знайдіть СС1, якщо ВВ1= 2 см, DD1 = 10 см.

2.40. Трикутники ABC і ABD не лежать в одній площині (мал. 2.23). Точки К, L, М і N - відповідно середини відрізків AD, BD, СВ і АС.

1) Визначте вид чотирикутника KLMN.

2) Знайдіть PKLMN, якщо АВ - а см, CD = b см.

Мал. 2.23

Життєва математика

2.41. У центрі Киева у 2008 році біля Майдану Незалежності зробили найбільший на той час у світі квітковий годинник. Годинниковий механізм на тлі квіткового панно розмістився на схилі біля Жовтневого палацу.

Діаметр годинника - 19,5 м, діаметр циферблата - 16,5 м, а довжина стрілок - 4 м і 7 м. Знайдіть довжини кіл, які описують кінці годинної та хвилинної стрілок протягом однієї години. (Для спрощення обчислень прийміть  ≈ 3)?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

2.42. На малюнку 2.24 прямі А1А2, В1В2, С1С2 паралельні між собою. Що треба записати замість пропусків, щоб утворилися правильні співвідношення:

Мал. 2.24









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.