Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- пригадаємо, що таке область визначення та множина значень, зростання і спадання функції; як знайти значення функції для даного значення аргументу і значення аргументу за відповідним йому значенням функції;

- дізнаємося, що таке парність, непарність, неперервність, монотонність функції; корінь n-го степеня із числа; степінь з раціональним показником; степенева функція;

- навчимося описувати властивості функції, у тому числі за її графіком; спрощувати, обчислювати, оцінювати й порівнювати значення виразів, що містять степені з раціональними показниками та ірраціональні вирази.

§1. ЧИСЛОВА ФУНКЦІЯ. ГРАФІК ФУНКЦІЇ

1. Поняття функції, її області визначення і множини значень

З функцією ми почали знайомитися в курсі алгебри основної школи. Нагадаємо означення функції.

Числовою функцією (або функціональною залежністю) називають таку залежність між двома змінними, при якій кожному значенню незалежної змінної з деякої множини відповідає за певним правилом єдине значення залежної змінної.

Нагадаємо, що функції, зазвичай, позначають латинськими (інколи грецькими) літерами.

Розглянемо функцію f, у якої кожному натуральному значенню х від 1 до 5 відповідає число у, удвічі більше за х (мал. 1.1). Стрілка вказує на число у, яке відповідає числу х. Число у називають значенням функції f у точці х і позначають через f(x). На малюнку 1.1, зокрема, f(3) = 6.

Мал. 1.1

Нагадаємо, що незалежну змінну х

ще називають аргументом функції, а про залежну змінну у кажуть, що вона є функцією від цього аргументу.

Областю визначення функції у = f(x) називають множину всіх значень, яких може набувати аргумент х.

Позначають область визначення символом D(f) або D(y). Наприклад, областю визначення функції, яку ми розглянули вище, є множина, що складається із чисел 1, 2, 3, 4, 5, тобто D(f) = (1; 2; 3; 4; 5), а областю визначення функції у = х2 - 2х + 3 є множина всіх дійсних чисел, що можна записати так: D(y) = R.

Задача 1. Знайти область визначення функції:

Розв’язання. 1) Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то областю визначення функції є множина усіх значень х, для яких х + 1 ≠ 0, тобто х ≠ -1. Отже, D (y) = (-∞;-1) ∪ (-1; +∞).

2) Оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним, то областю визначення функції є множина всіх тих значень х,

для яких х - 2 ≥ 0, тобто х ≥ 2. Отже, D(y) = [2; +∞).

Відповідь. 1) D(y) = (-∞;-1) ∪ (-1; +∞); 2) D(y) = [2; +).

Множиною (або областю) значень функції у = f(x) називають множину, що складається з усіх чисел f(х), де х ∈ D(f).

Позначають множину значень символом E(f) або Е(у). Для функції на малюнку 1.1 маємо: E(f) = {2; 4; 6; 8; 10}. Щоб знайти множину значень функції у = х2 - 2х + 3, перетворимо вираз, який записано у формулі функції:

х2 - 2х + 3 = х2 - 2х + 1 + 2 = (х - 1)2 + 2.

Отже, функцію можна записати у вигляді: у = (х - 1)2 + 2. Оскільки (х - 1)2 ≥ 0, то (х - 1)2 + 2 ≥ 2. Тому Е(у) = [2; +∞).

Задача 2. Знайти область значень функції у = 3 - .

Розв’язання. За означенням арифметичного квадратного кореня: ≥ 0. Тоді: - ≤ 0. Далі додамо до обох частин цієї нерівності число 3, отримаємо: 3 - ≤ 3, тобто у ≤ 3. Тому E(у) = (-∞; 3].

Відповідь. E(у) = (-∞; 3].

Як відомо, функції є математичними моделлями реальних процесів і явищ навколишнього світу. Тому їх часто застосовують під час дослідження різноманітних проблем у фізиці, економіці, біології тощо.

Задача 3. Початкова вартість деякого обладнання складає 200 000 грн. Щороку вона зменшується на 5 %. Знайти:

1) Функцію Р залежності вартості обладнання від терміну експлуатації t (років).

2) Вартість обладнання через 4 роки, використовуючи функцію Р.

Розв’язання. 1) 3а умовою щороку вартість обладнання становитиме 100 % - 5 % = 95 % від вартості обладнання за минулий рік. Тому вартість обладнання складатиме:

через рік - 200 000 ∙ 0,95,

через 2 роки - 200 000 ∙ 0,95 ∙ 0,95 = 200 000 ∙ 0,952, ...,

через t років - 200 000 ∙ 0,95t.

Маємо функцію:

P(t) = 200 000 ∙ 0,95t, де t ∈ N.

2) Якщо t = 4, то Р(4) = 200 000 ∙ 0,954 = 162 901,25 (грн).

Відповідь. 1) Р(t) = 200 000 ∙ 0,95t;

2) 162 901,25 грн.

Зауважимо, що функцію залежності вартості обладнання Р від терміну експлуатації можна було знайти і за формулою складних відсотків1:

Тобто P(t) = 200 000 ∙ 0,95t.

Задача 4. Записати формулу для обчислення кінетичної енергії кульки масою 50 г. З’ясувати, чи задає ця формула функцію, і, якщо так, указати її аргумент.

Розв’язання. Як відомо, кінетичну енергію Wk обчислюють за формулою

Тому маємо: тобто Wk(v) = 25V2

Відповідь. Wk є функцією від аргументу v, де v ≥ 0.

2. Способи задання функцій

Нагадаємо, що функцію можна задавати різними способами: формулою, графіком, таблицею, словесно тощо.

Наприклад, кожну з функцій, які ми розглянули вище,

P(t) = 200 000 0,95t, задано формулою. Цей спосіб задання функції є досить зручним, адже дає змогу для довільного значення аргументу з області визначення функції знайти відповідне йому значення функції, а часто розв’язати й обернену задачу.

Задача 5. Функцію задано формулою

1) Знайти значення функції для х - 4.

2) Порівняти у(0) і у(1).

3) Знайти, при якому значенні аргументу значення функції дорівнює 0.

Розв’язання.

2) Оскільки

3) Оскільки у = 0, маємо рівняння: звідки х = -3.

Відповідь. 1) y(4) = -7; 2) у(0) > у( 1); 3) х = -3.

1 Формулу складних відсотків можна знайти в підручнику «Алгебра. 9 клас» («Генеза», 2017, автор Істер О.С., с. 178-179) або в іншій математичній літературі.

Задача 6. Формула описує зміну температури води в баку (у °С) залежно від часу t (у хв):

Знайти: 1) р(10); 2) р(45); 3) р(80).

Розв’язання. 1) Оскільки 0 < 10 < 40, то р(10) обчислюємо за формулою p(t) - 2t + 20. Отже, р(10) = 2 ∙ 10 + 20 = 40.

2) Оскільки 40 < 45 < 50, то р(45) = 100.

3) Оскільки 50 < 80 < 120, то р(80) обчислюємо за формулою р = -0,8t + 140. Отже, р(80) = -0,8 ∙ 80 + 140 = 76.

Відповідь. 1) 40; 2) 100; 3) 76.

Функцію також можна задавати таблицею. Табличний спосіб задания дозволяє безпосередньо вказати значення функції, але лише для скінченного набору значень аргументу.

Припустимо, щогодини, починаючи з дев’ятої ранку і до п’ятнадцятої, вимірювали атмосферний тиск і результат заносили в таблицю:

Час t, год

9

10

11

12

13

14

15

Атмосферний тиск р, мм. рт. ст.

754

755

757

755

754

753

754

У результаті отримали функцію, область визначення якої складається із чисел 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15 (числа першого рядка таблиці), а множина значень - із чисел 753; 754; 755; 757 (числа другого рядка таблиці).

Часто функцію задають за допомогою графіка. Графічний спосіб задания дає можливість унаочнити властивості функції.

Наприклад, на малюнку 1.2 зображено, як за графіком функції можна знайти її область визначення і множину значень.

На малюнку 1.3 зображено вольт-амперні характеристики деяких електричних елементів, тобто залежність сили струму від напруги задано графічно. Цю залежність отримано не за допомогою формули, а експериментальним шляхом.

На малюнку 1.4 зображено кардіограму людини. Кардіограму можна вважати графіком зміни електричного потенціалу на волокнах серцевого м’яза під час його скорочень.

Мал. 1.2

Мал. 1.3

Мал. 1.4

Задача 7. За графіком функції у = f(х) на малюнку 1.5 знайти: 1) область визначення функції; 2) множину значень функції; 3) значення функції для х = -1; х = 2; 4) значення аргументу, при яких у = -1; у = 3.

Розв’язання. 1) Спроектуємо всі точки графіка на вісь х. Отримаємо проміжок [-2; 5]. Отже, D(y) = [-2; 5].

2) Спроектуємо всі точки графіка на вісь у. Отримаємо проміжок [-2; 4].

Отже, Е(у) = [-2; 4].

3) За графіком: у(-1) = -1; у(2) = 0.

4) Оскільки пряма у = -1 перетинає графік у точках з абсцисами х = -1 і х = 1, то f (х) = -1 для х = -1 або х = 1. Пряма у = 3 перетинає графік у точці з абсцисою 4. Отже, f(x) - 3, якщо х = 4.

Відповідь. 1) D(y) = [-2; 5]; 2) Е(у) = [-2; 4]; 3) y(-1) = -1; у(2) = 0; 4) f(x) = -1, якщо х = -1 або х = 1; f(х) = 3, якщо х = 4.

Мал. 1.5

Словесний спосіб задания функції полягає в тому, що функціональну залежність формулюють словами. Наприклад, «кожному числу х ставимо у відповідність квадрат цього числа, зменшений на 10». Якщо сказане задати формулою, то вона виглядатиме так: у = х2 - 10. Словесний спосіб задания функції використовують дуже рідко.

3. Графік функції

Графіком функції називають множину всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють

значенням аргументу, а ординати — відповідним їм значенням функції.

Раніше ми вже працювали з функціями вигляду у = kx + b, у = х2, у = , у = , у = ах2 + bх + с. Використовуючи довідкову літературу та комп’ютерні програми для побудови графіків функцій, пригадайте властивості цих функцій та вигляд їх графіків.

A ще раніше...

Функція - одне з найважливіших понять сучасної математики. Його появу у XVII cм. пов’язують із розвитком механіки та втіленням у життя ідеї використання поняття змінної.

Так, французькі математики Рене Декарт (1596-1650) та П'єр Ферма (1601-1665) розглядали функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси.

Термін «функція» (від лат. functio - виконання, звершення) для назви залежностей вперше ввів німецький філософ, фізик і математик Готфрід Лейбніц (1646-1716). Він пов’язував функцію з графіками.

Швейцарські математики Йоганн Бернуллі (1667-1748) та його видатний учень Леонард Ейлер (1707-1783) розглядали функцію як аналітичний вираз, тобто вираз, утворений зі змінних чисел за допомогою тих чи інших аналітичних операцій (математичних дій). Функцію як залежність однієї змінної величини від іншої ввів чеський математик Бернард Больцано (1781-1848).

Найзагальніше сучасне означення функції запропонувала в середині XX cм. група математиків, яка працювала під псевдонімом Нікола Бурбакі.1

Що називають числовою функцією? Що називають областю визначення функції і що множиною значень функції? Назвіть способи задания функцій, до кожного наведіть приклади. Що називають графіком функції? Пригадайте, як будувати графіки за допомогою перетворень графіків функцій.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

1.1. (Усно). Чи є функцією залежність:

Для функцій назвіть незалежну змінну (аргумент) та залежну (значення функції).

1.2. Для функції f(x) = (х - 2)3 знайдіть f(2), f(1).

1.3. Для функції g(x) = (х + 1)2 знайдіть g’(0), g(-1).

1.4. (Усно). На малюнках 1.6 і 1.7 зображено відповідність між числами. Яка з них є функцією? Чому?

Мал. 1.6

Мал. 1.7

1 Детальніше про виникнення і розвиток учення про функцію можна прочитати в підручнику «Алгебра. 9 клас» (видавництво «Генеза», автор О.С. Істер, с. 71-72) та в додатковій літературі.

2

Знайдіть значення функції (1.5—1.6):

1.5. 1) у точках -1; 2; 0,1;

2) у точках 0; 2; -2.

1.6. 1) у точках 0; -1; 0,8;

2)

1.7. (Усно). Чи є графіками функцій у = f(x) фігури, зображені на малюнках 1.8-1.11?

Мал. 1.8

Мал. 1.9

Мал. 1.10

Мал. 1.11

Побудуйте графік функції (1.8—1.9):

1.8.

1.9.

1.10. Функцію задано формулою Знайдіть:

1) f(5);

2) таке значення х, при якому f(x) - 3.

1.11. Функцію задано формулою Знайдіть:

1) g(-1);

2) таке значення х, при якому g(x) = -5.

Знайдіть область визначення функції (1.12—1.13):

1.12.

1.13.

1.14. Функцію задано таблицею:

x

1

2

3

4

5

6

y

5

-1

0

5

0

4

Знайдіть: 1) значення функції, якщо х - 2; 5; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 4; 5;

3) область визначення функції; 4) область значень функції.

1.15. Функцію задано таблицею:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

4

-1

0

5

3

4

0

Знайдіть: 1) значення функції, якщо х = -2; 3;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0; 4;

3) область визначення функції;

4) область значень функції.

3

1.16. За допомогою перетворень графіка функції у = х2 побудуйте графік функції:

1) у = х2 + 1;   2) у = х2 - 2;

3) у = (х - 3)2;   4) у = (х + 2)2.

1.17. За допомогою перетворень графіка функції у = Vх побудуйте графік функції:

1.18. Під час вільного падіння тіло долає відстань S = 0,5gt2, де t - час у секундах, g ≈ 10 м/с2. Побудуйте графік цієї функції. Яку відстань подолає тіло за 1 с? За який час тіло подолає 20 м?

1.19. На малюнках 1.12-1.14 функції задано графіками. Для кожної з функцій укажіть:

1) область визначення;   2) область значень;

3) координати точок перетину з осями координат.

Мал. 1.12

Мал. 1.13

Мал. 1.14

1.20. Побудуйте графік деякої функції у = f(х), область визначення якої - проміжок [0; 5], а область значень - проміжок [-3; 3].

Знайдіть область визначення функції (1.21-1.22):

1.21.

1.22.

1.23. Дано функцію Знайдіть f(-2); f (0); f (1); f (-3).

1.24. Дано функцію Знайдіть g(-3); g (-1); g (0); g (2).

1.25. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:

1) множина всіх дійсних чисел;

2) множина всіх дійсних чисел, крім числа 2;

3) множина всіх дійсних чисел, крім чисел 1 і -3;

4) множина всіх дійсних чисел, більших або рівних числу 4.

Знайдіть множину значень функції (1.26—1.27):

1.26.

1.27.

1.28. Знайдіть координати вершини параболи у = 3х2 - 6х + 5. Побудуйте схематично графік функції та знайдіть її область значень.

4

1.29. Побудуйте графік функції:

1.30. Побудуйте графік функції

Знайдіть множину значень функції (1.31—1.32):

1.31.

1.32.

Побудуйте графік функції (1.33—1.34):

1.33.

1.34.

Життєва математика

1.35. Пляшечка шампуню коштує 40 грн. Яку найбільшу кількість таких пляшечок можна придбати на 170 грн під час дії акції, коли знижка на цей шампунь складає 25 % ?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

1.36. Побудуйте схематично графік функції та знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції:

1.37. Дано: f(x) = х4. Порівняйте:

Чи можна дійти висновку, що для будь-якого значення х справджується рівність: f(-x) = f(x)?

1.38. Дано: g(x) = х3. Порівняйте:

Чи можна дійти висновку, що для будь-якого значення х справджується рівність: g(-x) = -g(x)?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.