Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§3. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ.ЗОБРАЖЕННЯ ФІГУР У СТЕРЕОМЕТРІЇ

Для стереометрії важливе значення має таке зображення просторових фігур на площині, яке дає максимально повне уявлення про фігуру. Поки що, вивчаючи властивості найпростіших геометричних фігур (точок, прямих, площин), ми використовували суто умовні, інтуїтивно зрозумілі зображення цих найпростіших фігур. У цьому параграфі ми ознайомимося з деякими правилами зображення просторових фігур на площині.

1. Паралельне проектування

Для зображення просторових фігур на площині часто використовують паралельне проектування. Розглянемо цей спосіб зображення фігур.

Нехай а - деяка площина, а l - пряма, яка перетинає цю площину (мал. 3.1). Припустимо, що ми маємо на площині а зобразити фігуру F0, що не лежить у цій площині.

Для цього проведемо через довільну точку А0 фігури F0 пряму, паралельну прямій l. Точка А перетину цієї прямої з площиною а і буде зображенням точки А0 на площині а. Побудувавши у такий спосіб зображення кожної точки фігури F0, отримаємо фігуру F - зображення фігури F0 на площині а.

Мал. 3.1

Точку А при цьому називають зображенням точки А0 на площині а або паралельною проекцією точки А0 на площину а, а фігуру F - зображенням фігури F0 на площині а або паралельною проекцією фігури F0 на площину а. Кажуть також, що фігуру Fотримано з фігури F0 за допомогою паралельного проектування. Пряму l називають проектуючою прямою, а площину а - площиною проекції.

За допомогою паралельного проектування можна зображати на площині як плоскі фігури (пряму, відрізок, трикутник тощо), так і просторові (піраміду, куб тощо). Уявлення про паралельне проектування просторової фігури, наприклад куба, можна отримати, якщо помістити перед екраном виготовлений із дроту каркас куба та освітити його проектором (мал. 3.2).

Мал. 3.2

Мал. 3.3

У побуті прототипом паралельного проектування можна вважати тінь, що падає на плоску поверхню (землю, стіну тощо) при сонячному або електричному освітленні (мал. 3.3).

2. Властивості паралельного проектування

Сформулюємо основні властивості паралельного проектування за умови, що відрізки та прямі, які проектуємо, не паралельні проектуючій прямій l.

1. Проекцією прямої є пряма (мал. 3.4).

2. Проекцією відрізка є відрізок (мал. 3.5).

Мал. 3.4

Мал. 3.5

3. Проекції паралельних відрізків — паралельні відрізки (мал. 3.6) або відрізки, що лежать на одній прямій (мал. 3.7).

4. Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються.

Мал. 3.6

Мал. 3.7

5. Проекції паралельних відрізків або відрізків, що лежать на одній прямій, пропорційні самим відрізкам.

На малюнку 3.8 відрізки А0С0 і С0В0 - відрізки однієї прямої, АС і СВ - відповідно їх проекції. За властивістю 5:

На цьому самому малюнку А0В0 || D0E0, тоді де DE - паралельна проекція відрізка D0E0 на площину а.

Мал. 3.8

Наслідок. Середина відрізка проектується в середину його проекції.

3. Зображення плоских фігур

У стереометрії зображення плоских фігур ґрунтується на властивостях паралельного проектування. Розглянемо кілька прикладів зображення плоских фігур (за умови, що площина фігури не є паралельною проектуючій прямій).

Трикутник та його елементи. Нехай А0В0С0 - трикутник, а А, В, С - проекції відповідно точок А0, В0, С0 на площину а (мал. 3.9). Оскільки проекцією відрізка є відрізок, то трикутник ABC є проекцією трикутника А0В0С0.

Проекцією кожного трикутника може бути трикутник довільного виду.

Наприклад, на малюнку 3.10 зображенням прямокутного рівнобедреного трикутника А0В0С0 (з прямим кутом А0) є різносторонній трикутник ABC.

Виходячи з наслідки властивості 5, маємо:

Мал. 3.9

Мал. 3.10

проекцією медіани трикутника є медіана проекції трикутника, а проекцією середньої лінії трикутника — є середня лінія проекції трикутника.

Якщо в задачі не задано метричних співвідношень між елементами трикутника, то паралельною проекцією його бісектриси буде довільний відрізок, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. Паралельною проекцією висоти трикутника також буде довільний відрізок, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони або з точкою, що лежить на продовженні цієї сторони (у випадку, коли ця висота проведена з вершини гострого кута тупокутного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є також бісектрисою і висотою. Тому паралельною проекцією бісектриси і висоти рівнобедреного трикутника, проведених до основи, є медіана проекції трикутника, проведена до його основи. На малюнку 3.11 трикутник ABC - паралельна проекція рівнобедреного трикутника А0В0С0, у якого А0В0 = А0С0. АК - проекція медіани, бісектриси й висоти цього трикутника, проведених до основи.

Мал. 3.11

Задача 1. Трикутник ABC є паралельною проекцією рівностороннього трикутника (мал. 3.12). Побудувати проекцію центра кола, вписаного в рівносторонній трикутник.

Мал. 3.12

Мал. 3.13

Розв’язання. Центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину його бісектрис. Оскільки трикутник, який ми проектуємо, є рівностороннім, то його бісектриси є також і медіанами, а точка перетину бісектрис відповідно збігається з точкою перетину медіан. Тому для побудови проекції центра кола, вписаного в рівносторонній трикутник, треба побудувати проекцію точки перетину медіан. Для цього маємо провести дві медіани трикутника ABC, наприклад AL і ВК (мал. 3.13), які є проекціями медіан трикутника ABC, отже, і його бісектрис. Тоді точка l перетину відрізків AL і ВК і буде проекцією центра кола, вписаного у рівносторонній трикутник.

Паралелограм та його види. Оскільки проекціями паралельних і рівних між собою відрізків є паралельні і рівні між собою відрізки (за властивостями 3 і 5 паралельного проектування), то проекцією паралелограма є паралелограм.

Проекцією кожного паралелограма є паралелограм довільного виду.

Зокрема, довільний паралелограм може бути проекцією прямокутника (мал. 3.14), ромба, квадрата. І навпаки, квадрат може бути проекцією паралелограма, який не є квадратом.

Мал. 3.14

Мал. 3.15

Трапеція. Оскільки проекцією паралельних відрізків є паралельні відрізки, то проекцією трапеції є трапеція. Якщо ABCD - проекція трапеції A0B0C0D0 з основами A0D0 і B0С0 (мал. 3.15), то (за властивістю 5 паралельного проектування).

Задача 2. ABCD - паралельна проекція рівнобічної трапеції A0B0С0D0, де A0D0 | В0С0, A0D0 > В0С0. Побудувати проекції висот трапеції, що виходять з вершин тупих кутів.

Мал. 3.16

Мал. 3.17

Розв’язання. 1) Нехай A0B0C0D0 - рівнобічна трапеція, A0D0 І B0C0, A0D0 > B0C0 (мал. 3.16), ABCD - її проекція, у якої (мал. 3.17).

2) Нехай Е0 - середина A0D0, F0 - середина В0С0, тому E0F0 - вісь симетрії трапеції. Якщо Е - середина AD, F - середина ВС, то EF - проекція осі симетрії рівнобічної трапеції (за властивістю 5 паралельного проектування).

3) B0K0 і C0L0 - ВИСОТИ трапеції A0B0C0D0, причому В0К0 || F0E0, C0L0 || F0E0. ОСКІЛЬКИ проекціями паралельних відрізків є паралельні відрізки (властивість 3 паралельного проектування), то проекції висот В0К0 і C0L0 мають бути паралельними проекції осі симетрії трапеції. Тому для побудови проекцій висот B0K0 І C0L0 треба з вершин В і С провести відрізки, паралельні відрізку FE. Отже, ВК і CL - зображення висот трапеції, проведених з вершин тупих кутів.

Правильний шестикутник. Нехай A0B0C0D0E0F0 - правильний шестикутник (мал. 3.18). Діагоналі A0D0 і C0F0 ділять його на два центрально симетричні відносно точки Q0 ромби F0E0D0Q0 І C0B0A0Q0.

Для зображення правильного шестикутника спочатку побудуємо паралелограм FEDQ, який є проекцією ромба F0E0D0Q0 (мал. 3.19), далі - симетричний йому відносно точки Q паралелограм CBAQ. Сполучивши точки А і F, С і D, отримаємо зображення ABCDEF правильного шестикутника А0B0C0D0E0F0.

Мал. 3.18

Мал. 3.19

Коло. Паралельну проекцію кола називають еліпсом (мал. 3.20). Точку Q, яка є проекцією центра кола - точки Q0, називають центром еліпса.

Зображення просторових фігур на площині будемо детально розглядати в 11-му класі, коли вивчатимемо деякі з них, зокрема, піраміду, призму, циліндр тощо.

Мал. 3.20

А ще раніше...

Нарисна геометрія - розділ геометри, у якому геометричні властивості предметів, що нас оточують, вивчають за допомогою зображення їх на площині або на будь-якій іншій поверхні.

Об'єктом нарисної геометри є виклад і обґрунтування методів побудови зображень просторових форм на площині та способів розв’язання задач геометричного характеру за заданими зображеннями цих форм. Зображення, побудовані відповідно до правил нарисної геометрії, дають змогу уявити форму предметів, їх взаємне розташування в просторі, визначити розміри. Вивчення нарисної геометрії сприяє розвитку просторової уяви і навичок логічного мислення, що має велике значення в підготовці і творчому розвитку майбутнього фахівця.

Як наука нарисна геометрія існує лише з кінця XVIII століття. Її творцем вважають французького вченого, інженера і політичного діяча Гаспара Монжа (1746-1818).

Головною науковою працею Монжа вважають «Нарисну геометрію», де викладено метод проеціювання предметів на дві взаємно перпендикулярні площини. Ця книжка вийшла друком у 1799 р., ознаменувавши народження нової науки.

Створивши нарисну геометрію, Монж звів у струнку систему розрізнений і різноманітний матеріал, який частково існував і до нього. Стародавні єгиптяни вміли правильно передавати форму і розміри зведених ними пірамід і храмів. За біблійним переказом, під час зведення дивовижного за архітектурою храму Соломона в Єрусалимі (приблизно 3 тисячі років тому) не було чутно ані тесла, ані молота. Складні за формою камені, мабуть, обтісувалися на рудниках і на місце будівництва доставлялися вже готовими. А це було можливо лише за наявності креслень.

У галузі теорії зображень працювали Леонардо да Вінчі, Альбрехт Дюрер, Блез Паскаль. А деякі винахідники й інженери, зокрема І.П. Кулібін та І.І. Ползунов, виконували свої креслення за правилами прямокутного проекціювання ще до появи «Нарисної геометри» Монжа.

Що таке паралельне проектування? Що таке проектуюча пряма, площина проекції? Сформулюйте властивості паралельного проектування. Як зобразити трикутник та його елементи? Як зобразити паралелограм при паралельному проектуванні? Як зобразити ромб, прямокутник, квадрат при паралельному проектуванні? Як зобразити трапецію, правильний шестикутник, коло при паралельному проектуванні?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

3.1. АВ - паралельна проекція відрізка А0В0, CD - паралельна проекція відрізка C0D0. Відомо, що A0B0 || C0D0. Чи можуть відрізки АВ і CD бути:

1) паралельними;   2) перпендикулярними?

3.2. MN - паралельна проекція відрізка M0N0, KL - паралельна проекція відрізка K0L0. Відомо, що M0N0 || K0L0. Чи можуть відрізки KL і MN:

1) належати одній прямій;

2) перетинатися під кутом 30°?

3.3. Точки А0, B0, С0 лежать на одній прямій, А0В0 = 8 CМ, B0C0 = 5 см (мал. 3.21). Точки А, В, С - паралельні проекції точок А0, В0, С0 на площину а. Знайдіть відношення АВ : ВС.

Мал. 3.21

3.4. Точка В0 ділить відрізок А0С0 у відношенні 7 : 4, рахуючи від точки А0 (мал. 3.21). Точки А, В, С - паралельні проекції точок А0, В0, С0 на площину а. Знайдіть відношення ВС : АВ.

3.5. (Усно). Чи може паралельною проекцією трапеції бути:

1) квадрат;   2) трапеція;

3) прямокутник;   4) паралелограм?

3.6. (Усно). Чи може паралельною проекцією ромба бути:

1) паралелограм;   2) ромб;

3) трапеція;   4) квадрат?

3.7. Чи може паралельною проекцією прямокутника бути:

1) квадрат; 2)   паралелограм;

3) прямокутник;   4) трапеція?

2

3.8. 1) Чи можуть різні за довжиною відрізки мати проекції однакової довжини?

2) Чи можуть рівні між собою відрізки мати проекції різної довжини?

3) Чи може довжина паралельної проекції відрізка бути більшою за довжину цього відрізка?

3.9. Які геометричні фігури можуть бути паралельними проекціями:

1) площини; 2) відрізка; 3) двох паралельних прямих?

3.10. Які геометричні фігури можуть бути паралельними проекціями:

1) прямої; 2) променя; 3) двох паралельних відрізків?

3.11. Чи можуть дві прямі, що перетинаються, проектуватися:

1) у дві прямі, що перетинаються;

2) у дві паралельні прямі;

3) в одну пряму;

4) у пряму і точку?

3.12. Чи можуть дві мимобіжні прямі проектуватися:

1) у дві прямі, що перетинаються;

2) у дві паралельні прямі;

3) в одну пряму;

4) у пряму і точку, що їй не належить?

3.13. У просторі дано пряму і точку, яка їй не належить. Чи може паралельна проекція даної точки належати проекції даної прямої? Виконайте малюнок.

3.14. Трикутник ABC - паралельна проекція рівнобедреного трикутника, АВ - проекція основи (мал. 3.22). Побудуйте проекцію:

1) середньої лінії трикутника, що сполучає бічні сторони;

2) висоти трикутника, проведеної до основи.

Мал. 3.22

3.15. Трикутник ABC - паралельна проекція рівностороннього трикутника (мал. 3.22). Побудуйте проекцію:

1) однієї із середніх ліній трикутника;

2) однієї із бісектрис трикутника.

3.16. Трикутник ABC - паралельна проекція рівностороннього трикутника А0В0С0. Побудуйте проекцію центра кола, описаного навколо трикутника А0В0С0.

3.17. Трикутник ABC - паралельна проекція рівнобедреного трикутника (ВС - проекція основи). Побудуйте проекцію серединного перпендикуляра до основи рівнобедреного трикутника.

3

3.18. Паралелограм ABCD - паралельна проекція ромба (мал. 3.23). Побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М, що лежить на стороні CD, до діагоналі АС.

Мал. 3.23

3.19. Паралелограм ABCD - паралельна проекція квадрата (мал. 3.23), точка М лежить на стороні CD. Побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до діагоналі BD.

3.20. Зобразіть проекцію правильного шестикутника та проекцію перпендикуляра, проведеного з його центра до меншої діагоналі.

3.21. Зобразіть проекцію правильного шестикутника та проекцію перпендикуляра, проведеного з його центра до однієї зі сторін.

3.22. Чи можна при паралельному проектуванні паралелограма отримати чотирикутник, два кути якого дорівнюють 85° і 105°? Якщо відповідь позитивна, знайдіть два інших кути цього чотирикутника.

3.23. Чи можна при паралельному проектуванні квадрата отримати чотирикутник, два кути якого дорівнюють 89° і 91°? Якщо відповідь позитивна, знайдіть два інших кути цього чотирикутника.

3.24. Трикутник ABC - паралельна проекція рівностороннього трикутника А0В0С0. Побудуйте проекції перпендикулярів, проведених із середини сторони В0С0 до сторін А0В0 і А0С0.

3.25. Трикутник KLM - паралельна проекція трикутника K0L0M0, у ЯКОГО K0L0 : L0M0 = 1 : 4. Побудуйте проекцію бісектриси кута L0.

3.26. Трикутник ABC - паралельна проекція трикутника А0В0С0, у якого А0В0 : В0С0 = 1 : 3. Побудуйте проекцію бісектриси кута В0.

3.27. Трапеція ABCD - паралельна проекція рівнобічної трапеції A0B0C0D0, де А0В0 і C0D0 - основи, кути А0 і В0 - гострі. Побудуйте проекції висот трапеції A0B0C0D0, проведених із вершин А0 і В0.

4

3.28. Дано паралельну проекцію трикутника і центр кола, описаного навколо нього (мал. 3.24). Побудуйте проекції висот трикутника.

3.29. Паралелограм ABCD є паралельною проекцією ромба з кутом 60°. Побудуйте проекції висот ромба, проведених із вершини цього кута.

3.30. Паралелограм KLMN є паралельною проекцією ромба з кутом 120°. Побудуйте проекції висот ромба, проведених із вершини цього кута.

Мал. 3.24

Мал. 3.25

Мал. 3.26

3.31. Дано паралельну проекцію кола із центром О (мал. 3.25). Побудуйте проекцію діаметра, перпендикулярного до діаметра АВ.

3.32. Дано паралельну проекцію кола із центром О (мал. 3.25). Побудуйте паралельну проекцію квадрата, вписаного у це коло.

3.33. Дано паралельну проекцію кола (мал. 3.26). Побудуйте проекцію його центра.

3.34. Маємо зображення кола, його центра і деякої точки, що належить колу. Побудуйте зображення дотичної, що проходить через цю точку.

3.35. Трикутник ABC є паралельною проекцією прямокутного трикутника з гострим кутом 60°. Побудуйте проекцію бісектриси цього кута.

3.36. Дано проекцію трикутника і двох його висот. Побудуйте проекцію центра кола, описаного навколо трикутника.

Життєва математика

3.37. Використовуючи дані, наведені на малюнку, знайдіть висоту щогли АВ.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

3.38. У ∆АВС точка К - середина АВ, точка L - середина ВС. Знайдіть:

1) KL, якщо АС = 16 см; 2) АС, якщо KL = 3 см.

3.39. Пряма MN паралельна стороні АВ трикутника ABC, М ∈ АС, N ∈ ВС, CM = 2 см, АС = 6 см, MN = 3 см. Знайдіть АВ.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.