Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§4. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

1. Взаємне розміщення прямої і площини

Як стверджується в аксіомі СII, якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма (тобто всі її точки) належить цій площині. Пряма і площина можуть також мати одну спільну точку або не мати спільних точок узагалі. Отже, можна зробити висновок, що є три випадки взаємного розміщення прямої і площини:

1) пряма може належати площині (мал. 4.1);

2) пряма і площина можуть мати одну спільну точку, тобто перетинатися (мал. 4.2);

3) пряма і площина можуть взагалі не мати спільних точок (мал. 4.3).

Мал. 4.1

Мал. 4.2

Мал. 4.3

2. Паралельність прямої і площини

Пряму і площину називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

На малюнку 4.3 пряма а паралельна площині а, що позначають так: а || а.

Уявлення про пряму і площину, паралельні між собою, у повсякденному житті можна отримати, наприклад, спостерігаючи за туго натягнутими електричними дротами, які паралельні поверхні землі (мал. 4.4), або за лінією перетину стіни кімнати зі стелею, яка паралельна підлозі (пряма а на малюнку 4.5 паралельна площині а). Зауважимо, що у площині підлоги є пряма b, яка паралельна прямій а. Доведемо, що наявність у площині а прямої b, паралельної прямій а, є ознакою паралельності прямої і площини.

Мал. 4.4

Мал. 4.5

Теорема 1 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині.

Мал. 4.6

Доведення. Нехай пряма а не лежить у площині a, a пряма b лежить у площині а, причому а || b (мал. 4.6). Доведемо, що а || а.

1) Оскільки а || b, то через прямі а і b можна провести площину, назвемо її β (мал. 4.6).

2) Тоді пряма b лежить у кожній із площин а і β, отже, є прямою їх перетину.

3) Припустимо, що пряма а не паралельна площині а, тоді вона її перетинає, тобто має з нею спільну точку М (мал. 4.6).

4) Оскільки М ∈ а, а ⊂ β, то М ∈ β. Тобто точка М належить і площині а, і площині β, а тому належить прямій b перетину площин а і β.

5) Отже, отримали, що прямі а і b перетинаються в точці М, що суперечить умові. Тому наше припущення хибне.

6) Отже, пряма а паралельна площині а.

Для розв’язування задач корисною буде теорема, обернена до ознаки паралельності прямої і площини.

Теорема 2 (обернена до ознаки паралельності прямої і площини). Якщо дана пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній прямій.

Доведення. Нехай а - дана пряма, а - дана площина, а || а (мал. 4.7).

Мал. 4.7

1) У площині а виберемо довільну точку N. Через пряму а і точку N, що їй не належить, проведемо площину β.

2) Площина β відмінна від площини а, оскільки проходить через пряму а, яка не належить площині а.

3) Оскільки площини а і β мають спільну точку — точку N, то вони перетинаються по деякій прямій b, що проходить через цю точку. Доведемо, що b || а.

4) Прямі а і b лежать в одній площині - площині β і не збігаються. Припустимо, що вони перетинаються в точці М. Оскільки М ∈ b, а b ⊂ а, то М ∈ а. Маємо, що точка М - точка перетину прямої а з площиною а, а це суперечить умові.

5) Отже, наше припущення хибне, тому а || b.

Наслідок. Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Довести, що коли одна з двох паралельних прямих паралельна деякій площині, то друга пряма або паралельна цій площині, або лежить у цій площині.

Доведення. Нехай а і b - дані прямі, а || b, а || а.

1) Пряма b може належати площині а (мал. 4.8) (у цьому випадку умова задачі виконується).

Мал. 4.8

Мал. 4.9

2) Пряма b може не належати площині а (мал. 4.9). У площині а, за теоремою, оберненою до ознаки паралельності прямої і площини, існує пряма с, паралельна а. Отже, а || с, а || b. Тоді, за ознакою паралельності прямих, b || с. Ураховуючи, що с ⊂ а, за ознакою паралельності прямої і площини, отримаємо, що b || а. Отже, b ⊂ а або b || а.

Задача 2. Довести, що коли площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину площин паралельна даній прямій.

Доведення. Нехай через дану пряму а, паралельну площині а, проходить площина β, яка перетинає а по прямій Ъ (мал. 4.6). Доведемо, що b || а, від супротивного.

1) Прямі а і b лежать в одній площині - площині β.

2) Припустимо, що а і b перетинаються в точці М. Але тоді точка М - точка перетину прямої а і площини а, що суперечить умові.

3) Отже, наше припущення хибне, тому а || b.

Задача 3. Площина, паралельна стороні АВ трикутника ABC, перетинає сторону АС у точці А1, а сторону ВС - в точці B1. Знайти довжину сторони АВ, якщо А1В1 - 10 см і АС : А1С = 5 : 2.

Розв’язання. 1) Прямі АВ і А1В1 лежать в одній площині - площині трикутника АВС (мал. 4.10).

2) Припустимо, що АВ і А1В1 перетинаються в точці М.

3) Оскільки М ∈ A1B1, А1В1 ∈ а, то М ∈ а. Тоді точка М є точкою перетину прямої АВ і площини а, що суперечить умові. Отже, АВ || А1В1.

4) Розглянемо ∆АСВ і ∆А1В1. Кут С у них спільний, ∠CB1A1 = ∠CBA (як відповідні при паралельних прямих АВ і А1В1 та січній СВ). Тому ∆АСВ ∾ ∆А1СВ1 (за двома кутами).

Мал. 4.10

5) Тоді тобто звідки АВ = 25 (см).

Відповідь. 25 см.

Яким може бути взаємне розміщення прямої і площини? Дайте означення паралельних прямої і площини. Сформулюйте й доведіть ознаку паралельності прямої і площини. Сформулюйте та доведіть теорему, обернену до ознаки паралельності прямої і площини. Сформулюйте наслідок із цієї теореми.

Pозв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

4.1. Основа АВ трапеції ABCD належить площині а (мал. 4.11), а основа DC не належить цій площині. Як розміщена пряма DC відносно площини а?

Мал. 4.11

Мал. 4.12

Мал. 4.13

4.2. Сторона AD паралелограма ABCD належить площині β, а сторона ВС не належить цій площині (мал. 4.12). Яке взаємне розміщення прямої ВС відносно площини β?

4.3. Площина проходить через одну з двох паралельних прямих і не проходить через другу. Яке взаємне розміщення площини і другої прямої?

4.4. Площини а і β перетинаються по прямій n (мал. 4.13). У площині а проведено пряму m, паралельну прямій n. Яке взаємне розміщення прямої m і площини β?

4.5. Скільки прямих, паралельних даній площині, можна провести через точку, що не лежить у цій площині? Виконайте малюнок.

4.6. ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед (мал. 4.14). Запишіть усі прямі:

1) паралельні площині ABC;

2) які перетинають площину АВВ1;

3) які належать площині AA1D.

4.7. ABCDA1B1C1D1 - куб (мал. 4.14). Знайдіть деякі дві прямі:

1) які паралельні площині ВВ1С1;

2) які перетинають площину DСС1;

3) які належать площині А1В1С1.

Мал. 4.14

4.8. Чи можливо, щоб пряма а перетинала площину а, але у площині а існувала пряма, паралельна а?

4.9. Доведіть, що коли площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу.

4.10. Прямі а і b паралельні. Яким може бути взаємне розташування прямої b і площини а, якщо:

1) а і а паралельні; 2) а і а перетинаються;

3) пряма а лежить у площині а?

Виконайте відповідні малюнки.

4.11. Прямі а і b перетинаються. Яким може бути взаємне розташування прямої b і площини а, якщо:

1) а і а паралельні; 2) а і а перетинаються;

3) пряма а лежить у площині а?

Виконайте відповідні малюнки.

4.12. Пряма т перетинає площину а. Яким може бути взаємне розташування прямих m і n, якщо:

1) а і n паралельні; 2) а і n перетинаються;

3) n належить а?

Виконайте відповідні малюнки.

4.13. Пряма m лежить у площині а. Яким може бути взаємне розташування прямих m і n, якщо:

1) а і n паралельні;

2) а і n перетинаються;

3) n належить а?

Виконайте відповідні малюнки.

4.14. Точка N не лежить у площині прямокутника ABCD. Доведіть, що пряма CD паралельна площині ABN.

4.15. Точка L не лежить у площині паралелограма ABCD. Доведіть, що пряма АВ паралельна площині DLC.

4.16. Через сторону ML чотирикутника KLMN, у якого ∠LNK = ∠NLM, проведено площину а (мал. 4.15). Доведіть, що NK || а.

4.17. Через сторону ML чотирикутника KLMN, у якого ∠NKL + ∠KLM = 180°, проведено площину а (мал. 4.15). Доведіть, що NK || a.

4.18. Сторона АВ трикутника ABC паралельна площині а, а сторони СА і СВ перетинають площину а в точках К і L відповідно.

1) Доведіть, що ∆CKL ∾ ∆САВ.

2) Знайдіть KL, якщо СК = 3 см, СА = 7 см, АВ = 14 см.

Мал. 4.15

4.19. Сторона ВС трикутника ABC паралельна площині р, а сторони АВ і АС перетинають площину β в точках М і N відповідно.

1) Доведіть, що ∆AMN ∾ ∆АВС.

2) Знайдіть ВС, якщо MN = 2 см, АВ = 9 см, AM = 3 см.

4.20. Площина а, яка паралельна основам АВ і CD трапеції ABCD, перетинає бічні сторони AD і ВС в точках М і N відповідно. Знайдіть АВ, якщо М - середина AD, MN = 6 см, DC = 10 см.

4.21. Площина β, яка паралельна основам AD і ВС трапеції ABCD, перетинає бічні сторони АВ і CD в точках К і L відповідно. Знайдіть KL, якщо К - середина АВ, AD = 12 см, ВС = 4 см.

3

4.22. Доведіть, що коли пряма n паралельна кожній із двох площин а і β, які перетинаються, то пряма n паралельна прямій перетину площин а і β.

4.23. Точка Р не належить площині паралелограма ABCD (мал. 4.16). Запишіть усі пари прямих і площин, паралельних між собою.

Мал. 4.16

Мал. 4.17

4.24. Точка А не належить площині трапеції KLMN з основами KL і MN (мал. 4.17). Запишіть усі пари прямих і площин, паралельних між собою.

4.25. Площина а і пряма а, що не лежить у площині а, паралельні одній і тій самій прямій b. Яке взаємне розташування прямої а і площини а? Відповідь обґрунтуйте.

4.26. Пряма а паралельна площині β. Через пряму а проведено площину а, яка перетинає площину β по прямій с. Яке взаємне розташування прямих а і с? Відповідь обґрунтуйте.

4.27. Площина а паралельна стороні АВ трикутника ABC та перетинає сторони АС і ВС у точках D і Е відповідно. Знайдіть АС, якщо AD = 8 CМ, DE = 3 см, АВ = 7 см.

4.28. Площина β паралельна стороні ВС трикутника ABC та перетинає сторони АВ і АС у точках М і N відповідно. Знайдіть AN, якщо MN = 9 см, ВС = 13 см, NC = 8 см.

4.29. Доведіть, що коли пряма а паралельна площині а, то будь-яка пряма, яка паралельна прямій а і проходить через точку площини а, лежить у площині а.

4.30. Трикутник АВР і прямокутник ABCD мають спільну сторону АВ і лежать у різних площинах. Через сторону DC і точку М - середину відрізка АР проведено площину, яка перетинає РВ у точці N.

1) Доведіть, що прямі АВ і MN паралельні.

2) Знайдіть АВ, якщо MN = 5 см.

3) Визначте вид чотирикутника DMNC.

4.31. Трикутник ADF і ромб ABCD мають спільну сторону AD і лежать у різних площинах. Через сторону ВС і точку Р - середину DF проведено площину, яка перетинає AF у точці Т.

1) Доведіть, що прямі AD і ТР паралельні.

2) Знайдіть ТР, якщо AD = 12 см.

3) Визначте вид чотирикутника ВТРС.

4

4.32. Площини а і β перетинаються по прямій п, пряма m є мимобіжною із прямою n і паралельна площині β. Яким може бути взаємне розміщення прямої m і площини а? Відповідь обґрунтуйте.

4.33. Площини а і β перетинаються по прямій с, пряма d паралельна площині а і паралельна прямій с. Яким може бути взаємне розміщення прямої d і площини β? Відповідь обґрунтуйте.

4.34. Точка D не лежить у площині трикутника ABC (мал. 4.18). На відрізках AD, CD і ВС взято точки К, L і М відповідно так, що DK : КА = DL : LC = ВМ : МС =1 : 3.

1) Доведіть, що пряма АС паралельна площині KLM.

2) Яким є взаємне розміщення прямої BD і площини KLM?

3) Побудуйте точку N - точку перетину площини KLM і відрізка АВ. Побудову обґрунтуйте.

4) Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо АС = 8 см, BD = 12 см.

Мал. 4.18

Мал. 4.19

4.35. Точка L не лежить у площині трикутника ABC (мал. 4.19). На відрізках LC, ВС і ВА взято точки Е, F і G відповідно так, що LE : EC = BF : FC = BG : GA =1 : 2.

1) Доведіть, що пряма BL паралельна площині EFG.

2) Яким є взаємне розміщення прямої АС і площини EFG?

3) Побудуйте Н - точку перетину площини EFG і прямої AL.

4) Знайдіть PEFGH, якщо АС = 9 см, BL = 15 см.

4.36. Доведіть, що через будь-яку точку простору, яка не лежить на жодній із двох даних мимобіжних прямих, можна провести площину, паралельну кожній із двох даних прямих. Скільки таких площин можна провести?

4.37. Прямі АС і BD - мимобіжні. Точка М лежить на прямій АВ між точками А і В. Побудуйте площину, яка проходить через точку М паралельно прямим АС і BD. Скільки таких площин можна побудувати?

4.38. Точка Р не належить площині трикутника ABC, М - середина АР. Яким є взаємне розміщення площини МРВ та прямої, що проходить через середини сторін СА і СВ?

4.39. Точка L лежить поза площиною паралелограма ABCD.

1) Побудуйте пряму перетину площин LAB і LCD.

2) Яким є взаємне розміщення побудованої прямої і площини паралелограма?

4.40. Точка М лежить поза площиною трикутника ABC, точки Е і D - середини ВС і АС відповідно.

1) Побудуйте пряму перетину площин МАВ і MED.

2) Яким є взаємне розміщення побудованої прямої і площини трикутника?

Життєвa мaтемaтикa

4.41. Іван та Іванка, розлучившись на перехресті, пішли по взаємно перпендикулярним дорогах, Іван зі швидкістю 3,6 км/год, Іванка - 2,7 км/год. Яка відстань (в км) буде між ними через 45 хв?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

4.42. Відомо, що а || b, m || n (мал. 4.20). Укажіть вид чотирикутника KLMN.

Мал. 4.20









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.